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第二講 函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用（講）
【典例1】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【解讀】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可
【答案】C
【目標(biāo)】本題考查判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】對于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因?yàn)椋@然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：C.
【典例2】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】試題以比較數(shù)的大小為背景，在選取的數(shù)值上精心設(shè)計(jì)，使得考生需要充分利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，并且靈活應(yīng)用這些性質(zhì)才能比較所給數(shù)的大小．試題考查了考生邏輯思維能力、分析問題與解決問題的綜合能力．
【答案】A
【目標(biāo)】試題考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查考生對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解與掌握，考查考生靈活運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力與計(jì)算能力．
【分析】令，則開口向下，對稱軸為，
因?yàn)椋?br/>所以，即
由二次函數(shù)性質(zhì)知，
因?yàn)椋?br/>即，所以，
綜上，，
又為增函數(shù)，故，即.
故選：A.
【典例3】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【解讀】函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，是解決數(shù)學(xué)問題的主要工具．函數(shù)概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)．試題以基本初等函數(shù)的簡單組合為載體，考查函數(shù)的奇偶性、運(yùn)算求解能力及分析問題解決問題的能力．試題解答雖有技巧，但也是通性通法，考生也可以通過代入a的值，驗(yàn)證函數(shù)的奇偶性，試題設(shè)問簡單，指向明確，有利于考生尋找思路．試題側(cè)重對基礎(chǔ)知識(shí)和必備能力的考查，對高中教學(xué)有很好的導(dǎo)向作用．
【答案】D
【目標(biāo)】試題以基本初等函數(shù)為背景考查函數(shù)的奇偶性概念，主要考查基本的運(yùn)算求解能力以及函數(shù)與方程的思想．
【分析】思路1 由于，因此．
故，即得，所以選D．
思路2 由題設(shè)可知．由于是偶函數(shù)，因此，
即，從而，故，正確選項(xiàng)是D．
思路3 由于是偶函數(shù)，因此，即，
故．
由題設(shè)可知，則，即得，故選D．
思路4 代入驗(yàn)證法
將，，1分別代入函數(shù)的表達(dá)式，計(jì)算和，驗(yàn)證可知，從而當(dāng)，，1時(shí)都不是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A，B，C都不正確，正確選項(xiàng)是D．
思路5 由題設(shè)，是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)是奇函數(shù)．
由可得．
結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知只有當(dāng)時(shí)，成立，故選D．
【典例4】（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【解讀】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項(xiàng)，即得答案.
【答案】D
【目標(biāo)】考查函數(shù)奇偶性的定義與判斷，判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀，識(shí)別三角函數(shù)的圖象（含正、余弦，正切），根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式
【分析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，
由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；
故選：D
【典例5】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解讀】題干以指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)等考生熟悉的初等函數(shù)為背景，考查考生對函數(shù)單調(diào)性的理解和掌握．通過簡單的邏輯推理，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義就可以正確求解．試題突出對基本概念的考查，要求能夠利用定義來判定函數(shù)單調(diào)性．試題回歸教材，對中學(xué)教學(xué)有較好的導(dǎo)向作用．
【答案】D
【目標(biāo)】考查考生對函數(shù)單調(diào)性的理解與掌握，以及靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．
【分析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
【典例6】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
【解讀】試題設(shè)計(jì)簡潔，問題明確，給出了一個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)解析式，要解決的是關(guān)于函數(shù)奇偶性的問題．其中函數(shù)的主干部分為對數(shù)函數(shù)，其基本性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容和必備知識(shí)，屬于考生熟悉的知識(shí)范疇．具體來說，本試題包含如下諸多亮點(diǎn)．
（1）突出基礎(chǔ)性要求，助力“雙減”政策落地．高考“四翼”考查要求中的基礎(chǔ)性表現(xiàn)為深刻理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能，學(xué)會(huì)實(shí)際應(yīng)用．這就要求考生對基本概念、基本原理有比較深刻的理解，對學(xué)科的研究對象、研究內(nèi)容、研究方法等有整體把握，對教材的知識(shí)能融會(huì)貫通，為進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)展提供可靠的基礎(chǔ)支撐．本試題首先就是要求考生對函數(shù)的奇偶性、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等主干知識(shí)有整體把握，并能熟練地加以運(yùn)用．
（2）注重解題思路的多元性和解題方法的靈活性．突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重通性通法．本試題的求解，既可以通過驗(yàn)證函數(shù)奇偶性的定義，也可以巧妙應(yīng)用奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，使不同思維水平的考生都能充分發(fā)揮．
（3）試題位于試卷靠前位置，考查對數(shù)函數(shù)等考生熟悉的內(nèi)容，有利于穩(wěn)定考生情緒，助力考生正常發(fā)揮，體現(xiàn)了高考“立德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能．
【答案】B
【目標(biāo)】試題以對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)為主干，考查函數(shù)的奇偶性和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力
【分析】因?yàn)?為偶函數(shù)，則 ，解得，
當(dāng)時(shí)，，，解得或，
則其定義域?yàn)榛颍P(guān)于原點(diǎn)對稱.
，
故此時(shí)為偶函數(shù).
故選：B.
【典例7】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)
【解讀】試題是多項(xiàng)選擇題中相對較難的題目，大部分考生對抽象函數(shù)，尤其是函數(shù)方程的有關(guān)內(nèi)容不是非常熟悉．本題需要較強(qiáng)的邏輯思維能力，有利于考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，選拔創(chuàng)新性人才．
試題是一道重思維、輕計(jì)算的題目，題目中關(guān)于函數(shù)的方程的形式具有“齊次性”，即把函數(shù)換成時(shí)，方程是不變的，而D選項(xiàng)所陳述的性質(zhì)與“齊次性”相悖．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)較好的考生，在判斷D選項(xiàng)時(shí)，會(huì)注意到方程式的齊次性這一性質(zhì)，快速排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而節(jié)省時(shí)間．多選題的題型設(shè)置為不同能力水平的考生提供了發(fā)揮的空間，試題源于教材，緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，對考生的能力進(jìn)行了很好的區(qū)分，具有較好的選拔功能．
【答案】ABC
【目標(biāo)】試題以抽象函數(shù)為背景，考查了考生邏輯推理的核心素養(yǎng)，以及關(guān)于抽象函數(shù)的綜合分析能力．
【分析】思路1 （1）代入可得，即，故選項(xiàng)A正確．
（2）代入可得，即，故選項(xiàng)B正確．
（3）對，代入可得，即，代入可得，因此恒成立，是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確．
（4）由于且，我們對正實(shí)數(shù)考慮函數(shù)（這樣由可推出的所有取值）．題設(shè)可轉(zhuǎn)化為對任意正實(shí)數(shù)，成立，由這個(gè)式子比較容易想到的解為，對應(yīng)的（），且．當(dāng)參數(shù)時(shí)，是的極大值點(diǎn)而非極小值點(diǎn)．故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
思路2 處理抽象函數(shù)類型的問題，一般思路是先代入一些特殊值，希望得到關(guān)于函數(shù)取值的信息．這要求代入的變量的特殊值能使得題目中的式子變得盡量簡單，例如本題對變量依次代入特殊值，，，都滿足，這時(shí)題設(shè)式子可以合并同類項(xiàng)，呈現(xiàn)出較為簡單的形式．通過帶入這些特殊值，得到的信息足以判斷ABC三個(gè)選項(xiàng)均正確．
對于選項(xiàng)D，可以觀察到當(dāng)函數(shù)滿足題意時(shí)，另一個(gè)函數(shù)也滿足題意．因此如果D正確，則是的極小值點(diǎn)，也是的極小值點(diǎn)，這樣既是的極小值點(diǎn)，又是極大值點(diǎn)，導(dǎo)致矛盾，因此選項(xiàng)D不正確．
【典例8】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，存在最大值；
③設(shè)，則；
④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【解讀】先分析的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對于④，取，結(jié)合圖像可知此時(shí)存在最小值，從而得以判斷.
【答案】②③
【目標(biāo)】考查分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，函數(shù)圖象的應(yīng)用，求平面兩點(diǎn)間的距離，直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值
【分析】依題意，，
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；
對于①，取，則的圖像如下，
顯然，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；
對于②，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，顯然取得最大值；
當(dāng)時(shí)，，
綜上：取得最大值，故②正確；
對于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且接近于處，，
此時(shí)，，故③正確；
對于④，取，則的圖像如下，
因?yàn)椋?br/>結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點(diǎn)在上，點(diǎn)在，
同時(shí)的最小值為點(diǎn)到的距離減去半圓的半徑，
此時(shí)，因?yàn)榈男甭蕿椋瑒t，故直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，
顯然在上，滿足取得最小值，
即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯(cuò)誤.
故答案為：②③.
【典例9】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
【解讀】試題表述簡潔規(guī)范，給出了一個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)解析式，要解決的是關(guān)于函數(shù)奇偶性的問題．所給的函數(shù)包括二次函數(shù)與正弦函數(shù)兩部分，這兩種函數(shù)的基本性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容和必備知識(shí)，屬于考生熟悉的知識(shí)范疇．
試題貼近教材，突出基礎(chǔ)性要求．試題要求考生對函數(shù)的奇偶性、正弦函數(shù)的性質(zhì)等基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)、基本原理有整體把握和深入理解，對教材的知識(shí)融會(huì)貫通，并能熟練地加以運(yùn)用．試題科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)，促進(jìn)教考銜接，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械、無效的學(xué)習(xí)，落實(shí)高考評價(jià)體系中“四翼”的考查要求，助力“雙減”政策落地．
試題注重解題思路的多元性和解題方法的靈活性．突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重通性通法，展現(xiàn)考生的思維過程．試題的求解，既可以通過驗(yàn)證函數(shù)奇偶性的定義，也可以巧妙應(yīng)用奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，使得不同思維水平的考生都能得到充分展示．
【答案】2
【目標(biāo)】試題考查函數(shù)的奇偶性和正弦函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．
【分析】思路1 利用偶函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算．
由知，．
由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而整理可得，所以．
思路2 代入特殊值進(jìn)行計(jì)算．
容易看出，同時(shí)．由可得，所以．
思路3 利用奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．
本題中，由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式知，這是一個(gè)偶函數(shù)．由題設(shè)，為偶函數(shù)，故作為偶函數(shù)與偶函數(shù)的差，仍是一個(gè)偶函數(shù)，所以．
【典例10】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
【解讀】試題設(shè)計(jì)一個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)，將其性質(zhì)的研究分層設(shè)計(jì)，層層遞進(jìn)．第（1）問給定參數(shù)值，求曲線在確定點(diǎn)處的切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考點(diǎn)常規(guī)且基本，面向大部分考生，符合低起點(diǎn)的命題要求．試題第（2）問通過合理設(shè)計(jì)，引進(jìn)曲線，求出使得曲線關(guān)于直線對稱的常數(shù)a，b，對考生的思維能力有更高的要求，需要考生利用對稱曲線的性質(zhì)，特別是函數(shù)定義域的特殊性．首先確定常數(shù)，再利用對稱性得到常數(shù)a，該問也可以利用對稱的定義直接求常數(shù)a，b，但需要考生具備較強(qiáng)的觀察能力以及恒等變形能力．試題第（3）問給出函數(shù)存在極值點(diǎn)的條件，要求確定參數(shù)的取值范圍，將函數(shù)與不等式有機(jī)結(jié)合，為考生解答提供了廣闊的想象空間．該問需要考生打破常規(guī)思路，綜合利用函數(shù)特征，利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，將證明在存在零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為證明在存在零點(diǎn)，從多角度考查考生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，對邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、分類與整合的能力提出了較高要求，尤其對邏輯推理能力的考查，層次分明，區(qū)分度較高，突出選拔功能．
試題分步設(shè)問，逐步推進(jìn)，考查由淺入深，層次分明，重點(diǎn)突出，內(nèi)容豐富，很好地達(dá)到考查目的，使理性思維深度、知識(shí)掌握的牢固程度、運(yùn)算求解的嫻熟程度不同的考生都能得到充分展示，較好地考查了考生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有較好的引導(dǎo)作用．
【答案】(1)；
(2)存在滿足題意，理由見解析.
(3).
【目標(biāo)】考試題考查導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義；考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)的方法；考查靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析、解決問題的能力；綜合考查考生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力以及分類討論的思想．
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線方程為，
即.
（2）令，
函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，
由對稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號零點(diǎn);
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，在區(qū)間上無零點(diǎn)，不合題意;
當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以在區(qū)間上無零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，
據(jù)此可得恒成立，
則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以.
令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點(diǎn)，符合題意.
綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.
應(yīng)用一 奇偶性解抽象函數(shù)不等式
【例1】（2023上·河南·高三開封高中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：求函數(shù)定義域：由題可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>第二步：分析函數(shù)性質(zhì)，并由單調(diào)性求不等式解集：∵，
∴是偶函數(shù)，
∴由可得，即.
當(dāng)時(shí)，，∵和在上都是單調(diào)遞增的，
∴在上單調(diào)遞增，又因是偶函數(shù)，
∴在上單調(diào)遞減.
又∵，由函數(shù)的定義域知有，
∴由可得，解得：；
由可得，解得：.
綜上，不等式的解集為.
故選：D.
應(yīng)用二 構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值
【例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】第一步：分析函數(shù)性質(zhì)：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，則，即，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，所以，，可得，
第二步：利用函數(shù)性質(zhì)求值：在等式中，令可得.故選：B.
應(yīng)用三 對稱性，周期性與奇偶性綜合問題
【例3】（2023上·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．4是的一個(gè)周期
C． D．
【引導(dǎo)與詳解】第一步：利用奇函數(shù)求函數(shù)對稱軸：函數(shù)是R上的偶函數(shù)，
，不恒為零，
，即為奇函數(shù)，
對于A：，，
從而，
，
即的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；
第二步：求函數(shù)周期：對于B：，
即，，
， 是以為周期的函數(shù)，B錯(cuò)誤；
第三步：帶入求值：對于C：，C錯(cuò)誤；
第四步：通過單調(diào)性與奇偶性比較函數(shù)值大小：對于D：當(dāng)時(shí)，均為單調(diào)遞增函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
又為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
又，
，D錯(cuò)誤.
故選：A.
應(yīng)用四 單調(diào)性求參數(shù)
【例4】（2023上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【引導(dǎo)與詳解】第一步：分析函數(shù)單調(diào)性：由題意知函數(shù)由復(fù)合而成，
在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，故由在區(qū)間上是減函數(shù)，
第二步：利用單調(diào)性求范圍：可知在區(qū)間上是增函數(shù)，故，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B
應(yīng)用五 導(dǎo)數(shù)法證明或求解單調(diào)區(qū)間
【例5】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．的極大值為
B．的單調(diào)遞增區(qū)間為
C．曲線在處的切線方程為
D．方程有兩個(gè)不同的解
【引導(dǎo)與詳解】第一步：利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性：函數(shù)，定義域?yàn)椋睿獾茫谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
第二步：利用單調(diào)性求極值：有極小值，無極大值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
第三步：利用導(dǎo)數(shù)求切線方程：由，曲線在處的切點(diǎn)為，切線斜率為1，切線方程為，C選項(xiàng)正確；
第四步：利用函數(shù)圖象求解的個(gè)數(shù)：方程，即，函數(shù)與的圖像在上只有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)解，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C.
應(yīng)用六 導(dǎo)數(shù)法知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)
【例6】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（且）的圖象恒過點(diǎn)A，函數(shù)的圖象恰好過點(diǎn)A，且在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】第一步：求函數(shù)表達(dá)式：令，得，所以函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)，得，則，
所以，則，
第二步：利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，進(jìn)而求參數(shù)：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
可得在上恒成立，
則在上恒成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
即在上的最小值為5，則，解得，
又因?yàn)榍遥詫?shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：B．
應(yīng)用七 導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)大小關(guān)系
【例7】（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．. B．
C． D．
【引導(dǎo)與詳解】第一步：利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性：易知是偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋?
令，則，所以單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增.
第二步：構(gòu)造函數(shù)判斷大小：構(gòu)造函數(shù)，則.
令，得，令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以，
所以，所以，
第三步：判斷三個(gè)數(shù)的大小：所以，即.
故選:.
方法一： 處理單調(diào)性、對稱性和周期性問題，可以遵循以下步驟：
1. 確定問題的性質(zhì)：首先要明確問題是關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性、對稱性還是周期性.
2. 根據(jù)問題的性質(zhì)，選用適合的數(shù)學(xué)方法例如求導(dǎo)數(shù)、繪制函數(shù)圖像、解方程等，以便理解和解決這個(gè)問題.
3. 全面理解題目給出的所有條件和要求，特別注意那些可能隱藏在文字描述中的條件.
4. 建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)問題的性質(zhì)和已知條件，構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.如果問題是關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性，可以畫出函數(shù)的圖像，標(biāo)注單調(diào)區(qū)間；如果是關(guān)于對稱性，可以找到函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心；如果問題是關(guān)于周期性，可以找出函數(shù)的周期.
5. 進(jìn)行計(jì)算或分析：根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行計(jì)算或分析.如果問題較復(fù)雜，可能需要使用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和模擬.
6. 整合答案：根據(jù)計(jì)算或分析的結(jié)果，整合答案.如果問題是關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性，可以寫出單調(diào)區(qū)間和單調(diào)函數(shù)；如果問題是關(guān)于對稱性，可以找到對稱軸或?qū)ΨQ中心并解釋其意義；如果問題是關(guān)于周期性，可以寫出函數(shù)的周期并解釋其意義.此外，還要注意答案的表述方式，確保答案清晰、準(zhǔn)確、易于理解.
方法二：利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的基本步驟如下：
1. 確定函數(shù)f(x)的定義域并求導(dǎo)數(shù).
2. 求解導(dǎo)數(shù)方程為0的根，這些根稱為臨界點(diǎn)或轉(zhuǎn)折點(diǎn).
3. 通過臨界點(diǎn)將定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，然后分別討論每個(gè)區(qū)間的單調(diào)性.若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)大于0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)小于0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
反過來，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題，例如確定參數(shù)的取值范圍.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么有如下幾個(gè)結(jié)論：
1. 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)不小于0.
2. 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上為減函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)不大于0.
3. 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上為常數(shù)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)等于0.
微點(diǎn)：解函數(shù)不等式
【表現(xiàn)形式】比較兩復(fù)合函數(shù)值的大小
【步驟】
第一步：根據(jù)單調(diào)性的定義或的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性．
第二步：通過函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為不等式或．
第三步：求出或的解集．
【例1】已知函數(shù)，求不等式的解集．
解析 我們首先通過導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)單調(diào)遞增，然后將不等式轉(zhuǎn)化為不等式，進(jìn)而求出其解集．下面進(jìn)入完整解題步驟：因?yàn)椋裕院瘮?shù)單調(diào)遞增．因?yàn)椋裕裕曰颍C上所述，不等式的解集為．
【跟蹤練習(xí)】
（2023上·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期中）
1．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C．1 D．2
（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
2．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·寧夏銀川·高三銀川唐徠回民中學(xué)校考期中）
3．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，記，下列對函數(shù)的描述錯(cuò)誤的是（ ）
A．圖象關(guān)于直線對稱 B．
C． D．
（2023上·寧夏銀川·高三銀川唐徠回民中學(xué)校考期中）
4．已知（且）在區(qū)間上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）
5．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國·模擬預(yù)測）
6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)，可進(jìn)行求解.
【詳解】由題知為奇函數(shù)，所以得：，
即：，解之得：，故D項(xiàng)正確.
故選：D
2．D
【分析】根據(jù)已知畫出的圖象，并將不等式化為，數(shù)形結(jié)合求不等式解集.
【詳解】根據(jù)題意，作偶函數(shù)的圖象，如下圖示.

由，不等式可化為，則，
所以或，由圖知：或或或.
所以不等式解集為.
故選：D
3．C
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到且，即可求出，可判斷B，結(jié)合已知條件推出，從而得到，即可判斷C、D，再計(jì)算，即可判斷A.
【詳解】定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則且，
又，即，所以，
即，所以，
又，所以，故B正確，
又，
所以，則是以為周期的周期函數(shù)，
則，故C錯(cuò)誤，D正確；
又，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；
故選：C
4．B
【分析】依題意可得，即可得到在區(qū)間上為增函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】函數(shù)，
因?yàn)椋ㄇ遥┰趨^(qū)間上為減函數(shù)，
則在區(qū)間上為增函數(shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且大于(等于)恒成立，
為減函數(shù)，
所以，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B
5．A
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，代入數(shù)值，可得答案.
【詳解】設(shè)函數(shù)，
因?yàn)樯希希?br/>所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．
令，則．
設(shè)函數(shù)，
因?yàn)樯希希?br/>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，所以，即，所以．
綜上可得：．
故選：A.
6．B
【分析】依據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，后利用二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍即可.
【詳解】由得
，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立．
設(shè)，則在上恒成立，
利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，
可得或，
解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為
故選：B．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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