資源簡介

第一講 導數及其幾何意義（講）
【典例1】（2023年高考理科數學（全國甲卷文科）第8題）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解讀】試題以函數圖像的切線問題為背景，考查了導數的幾何意義、導數的計算以及直線的方程．試題難度小，計算量小，符合2023年高考命題的整體要求．本題起到了穩難度的作用，側重基礎知識和必備能力的考查，同時也考查了考生對基本概念的理解．以及考生的運算求解能力及邏輯推理能力．
【答案】C
【目標】試題以導數的幾何應用為背景，考查考生對導數的幾何意義的理解與掌握，考查考生靈活運用知識分析函數性質的能力以及計算能力．
【分析】解題思路 由，得，所以，．
曲線在點處的切線方程為，即，故選C．
【典例2】（2023年高考理科數學（全國乙卷）第21題）已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
【解讀】試題設計一個含有參數的函數，將其性質的研究分層設計，層層遞進．第（1）問給定參數值，求曲線在確定點處的切線方程，考查導數的幾何意義，考點常規且基本，面向大部分考生，符合低起點的命題要求．試題試題重點突出，內容豐富，很好地達到考查目的，使理性思維深度、知識掌握的牢固程度、運算求解的嫻熟程度不同的考生都能得到充分展示，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題考查導數公式、導數運算法則以及導數的幾何意義；考查利用導數判斷函數單調性、極值點的方法；考查靈活運用導數工具分析、解決問題的能力；綜合考查考生的邏輯推理能力、運算求解能力、推理論證能力以及分類討論的思想．
【分析】
（1）當時，，，
所以，．
曲線在點處的切線方程為．
【典例3】（2023·天津·統考高考真題）已知函數．
（1）求曲線在處切線的斜率；
【解讀】熟練掌握兩個函數乘法的導數是求解本題的關鍵.
【目標】本題考查求在曲線上一點處的切線方程（斜率），利用導數證明不等式，利用導數研究不等式恒成立問題.
【分析】
（1），則，
所以，故處的切線斜率為；
應用一 瞬時變化率與導數的概念
【例1】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）現有一倒置圓錐形窗口，深24米，底面直徑6米.以
的速度向容器中注水，則當水深8米時，水面上升的速度為______.
【引導與詳解】
第一步：根據平行線分線段成比例可得水面半徑和高關系：
設注入水后水面高度為，水面所在圓的半徑為，
，即：，
第二步：由圓錐的體積公式求出水深與時間的函數關系：
因為水的體積為，即，
第三步：根據水深求出時間，對其求導即可的到水面上升的速度：
當時，，
令，則，
故，即當水深8米時，水面上升的速度為.
故答案為：.
應用二 求曲線切線的斜率（傾斜角）
【例2】（2023·四川成都·成都七中校考一模）與曲線在某點處的切線垂直，且過該點的直線稱為曲線在某點處的法線，若曲線的法線的縱截距存在，則其最小值為（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：在曲線上任取一點，求出曲線在點處的法線方程：
在曲線上任取一點，對函數求導得，則，
若曲線的法線的縱截距存在，則，
所以，曲線在點處的法線方程為，
即，
第二步：得出該直線的縱截距：
所以，曲線在點處的法線的縱截距為，
第三步：利用導數求出該法線縱截距的最小值：
令，令，其中，
則，令，可得，
當時，，此時，函數單調遞減，
當時，，此時，函數單調遞增，
所以，.
故選：A.
應用三 求在曲線上一點處的切線方程（斜率）
【例3】（2023·湖南·湖南師大附中校聯考一模）英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點.如圖，在橫坐標為的點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標為；用代替重復上面的過程得到；一直下去，得到數列，叫作牛頓數列.若函數且，數列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．數列是遞減數列
C．數列是等比數列 D．
【引導與詳解】
第一步：求導得切點處的切線方程，即可令0判斷A：
，所以在點處的切線方程為：，
令0，得，故A正確.
第二步：根據對數的運算，結合等差等比數列的定義判斷B、C：
，故，即，
所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，故B錯誤，C正確，
第三步：根據等比求和公式即可求解D：
所以，D正確.
故選；ACD
應用四 求過一點的切線方程
【例4】（2023·全國·模擬預測）過原點可以作曲線的兩條切線，則這兩條切線方程為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【引導與詳解】
第一步：由解析式得為偶函數，故過原點作的兩條切線一定關于y軸對稱：
由，得為偶函數，
故過原點作的兩條切線一定關于y軸對稱．
第二步：由導數幾何意義求上的切線，結合偶函數對稱性寫出另一條切線：
當時，，則，
設切點為，故，解得或（舍），
所以切線斜率為1，從而切線方程為．
由對稱性知：另一條切線方程為．
故選：A
應用五 已知切線（斜率）求參數
【例5】（2023·全國·模擬預測）已知函數，若不等式的解集為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【引導與詳解】
第一步：利用二次函數的知識求當時的范圍：
當時，，
令，得或，因為不等式的解集為，所以，解得．
第二步：求當時與的位置關系：
當時，，結合不等式的解集為，
得恒成立，即恒成立，
則恒在的上方（或恰相切），
第三步：求出恰為函數在處的切線的臨界時參數的值，即可得解.
又的表示過定點的直線，點恰在曲線上，
所以臨界條件為恰為函數在處的切線，
由可得，則，所以，解得．
綜上可得實數的取值范圍為.
故選：A．
應用六 兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題
【例6】（2023·陜西寶雞·校聯考模擬預測）已知曲線在點處的切線與曲線相切，則______.
【引導與詳解】
第一步：根據導數的幾何意義可得曲線在點處的切線方程
因為的導數為，則，
所以曲線在處的切線方程為，即，
第二步：利用導數的幾何意義求得的切點，從而得解：
又切線與曲線相切，設切點為，
因為，所以切線斜率為，解得，
所以，則，解得.
故答案為；.
應用七 已知某點處的導數值求參數或自變量
【例7】（2023·江西·統考模擬預測）設將函數的圖像繞原點順時針旋轉后得到的曲線是函數的圖象．若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：將的最小值等價于圖象上的點到直線的最小距離：
因為，所以．
由題意知，的最小值等價于圖象上的點到直線的最小距離．
第二步：通過求解與平行且與相切的直線：
設直線與直線平行，且與曲線切于點，
則直線的斜率為，
解得，從而，
第三步：求解出的取值范圍：
因此圖象上的點到直線的最小距離為點到直線的距離，
即為，因此．
故選：A
方法一： 求在曲線上一點處的切線方程方法
第一步：確定函數表達式和切點坐標.
第二步：求出函數在該點的導數值，即切線斜率.
第三步：利用點斜式方程，將切點坐標和斜率代入，得到切線方程.
方法二： 求過一點的切線方程
第一步：確定函數表達式和已知的點.
第二步：求出函數的導數，得到切線的斜率.
第三步：利用點斜式，代入切線斜率和已知點的坐標.
第四步：求出切線方程.
方法三： 兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題
第一步：求出函數的導數：導數表示函數在某一點的切線斜率.因此，首先需要求出給定函數的導數.
第二步：找出切點：對于函數上的每一個點，計算其導數值，該值即為切線的斜率.找出使導數等于0的點，這些點即為可能的切點.
第三步：計算切線方程：對于每一個切點，使用點斜式方程 來計算切線方程.其中，是切點，m是切線的斜率.
第四步：判斷切線關系：對于兩條切線，如果它們的斜率相等，則它們是平行的；如果它們的斜率互為負倒數，則它們是垂直的；如果它們的斜率相等且截距也相等，則它們是重合的（公切線）.
第五步：求解問題：根據題目要求，判斷兩條切線的位置關系，并據此得出結論或求解問題.
微點：公切線的求法
【表現形式】①求兩個函數的公切線②根據公切線求參數
【步驟】
第一步：求出給定兩個函數的導數，也就是切線的斜率.
第二步：需要找到這兩個函數的公切點.公切點是兩個函數值相等的點，假設這個點是，那么就有.
第三步：計算公切線的斜率.公切線斜率等于兩個函數在公切點處的導數之和，也就是.
第四步：使用點斜式方程來找出公切線的方程.
【例1】若曲線與有一條斜率為2的公切線，則______.
解析：，，，．先設公切線在曲線上的切點為，在曲線上的切點為，則的方程既可以表示為，也可以表示為．由于公切線的斜率為2，于是，得到，，于是的方程既為，也為，因此，解得．
【例2】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，求b．
解析：設與和的切點分別是，，
則切線分別是，，
由，
得，．
【跟蹤練習】
（2023·全國·模擬預測）
1．已知函數與的圖象關于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預測）
2．試寫出曲線與曲線的一條公切線方程 .
（2023·廣東佛山·統考一模）
3．已知曲線與曲線（）相交，且在交點處有相同的切線，則 .
（2023·浙江·統考一模）
4．已知函數，，寫出斜率大于且與函數，的圖象均相切的直線的方程： .
（2023·湖南郴州·統考一模）
5．若存在，使得函數與的圖象有公共點，且在公共點處的切線也相同，則的最大值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據與的圖象關于直線對稱，得到，設直線與函數的圖象的切點坐標為，與函數的圖象的切點坐標為，由斜率相等得到，然后再利用斜率和傾斜角的關系求解.
【詳解】解：因為函數與的圖象關于直線對稱，
所以與互為反函數，所以，
則．由，得，
設直線與函數的圖象的切點坐標為，
與函數的圖象的切點坐標為，
則直線的斜率，故，
顯然，故，
所以直線的傾斜角為，
故選：B．
2．或（寫出一個即可）
【分析】設出切點坐標，根據切線斜率相等，建立等式，解出即可.
【詳解】設公切線與曲線切于點，
與曲線切于點.
由，得.由，得.
令，即，則，
且，
即，
化為，
所以，解得或.
當時，，，
此時切線的方程為，即.
當時，，，
此時切線的方程為，即.
綜上可知，切線的方程為或，寫出任意一個即可.
故答案為：或，寫出任意一個即可.
3．
【分析】可先設交點為，利用利用兩函數在該點處的函數值和切線斜率相同列方程，可求的值.
【詳解】易知：必有.
設兩曲線的交點為，，，由題意：，
兩式相除得：，∵，∴.
代入得：
解得.
故答案為：
4．
【分析】公切線問題，求導，再利用斜率相等即可解題.
【詳解】∵，
∴，，
設相切的直線與函數，的圖象的切點分別為，，
且，
∴，且，
解得，
∴兩切點分別為，
∴與函數，的圖象均相切的直線的方程為：.
故答案為：.
5．
【分析】設兩函數圖象的公共點橫坐標為，求導后得到方程，求出，從而得到，即，構造函數，求導得到單調性，進而求出，求出答案.
【詳解】的定義域為，的定義域為R，
設兩函數圖象的公共點橫坐標為，則，
，，則，即，
解得或，
因為，所以（舍去），滿足要求，
且，即，
故，，
令，，則，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，
故，所以的最大值為.
故答案為：
【點睛】應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：
(1) 已知切點求斜率,即求該點處的導數；
(2) 己知斜率求切點即解方程；
(3) 已知切線過某點(不是切點) 求切點, 設出切點利用求解.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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