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第3講 利用導數研究不等式恒成立、能成立問題（講）
【典例1】（2023年高考理科數學（全國甲卷）第21題）已知函數，．
（1）當時，討論的單調性；
（2）若，求a的取值范圍．
【解讀】（1）試題巧妙地將三角函數與多項式函數結合，討論函數之間的不等式問題，三角函數的導數是中學教學的重點與難點，具有一定的綜合性．
（2）試題設計新穎，緊扣課程標準，全面考查了利用導數證明不等式，利用導數討論函數的單調性等與導數有關的問題，符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求，具有較好的選拔功能．
（3）試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，使理性思維深度、知識掌握程度、運算求解嫻熟程度不同的考生都能得到充分的展示，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題以三角函數，多項式函數為背景，構造了所要研究的函數．通過對函數性質的研究，試題全面考查了導數及其應用，這也是中學教學的重點與難點．試題的第（1）問面向全體考生，體現試題的基礎性，利用導數就能得到函數的單調性，考查考生通過導數解決實際問題的能力、計算與轉化的能力，體現函數與方程的數學思想在中學教學的應用．試題的第（2）問體現了試題的選拔性，通過構造函數，利用導數得到函數的單調性，進而利用單調性得到所要論證的不等式，考查了化歸與轉化的能力、分類討論的能力、邏輯推理能力、數學運算能力，具有較好的選拔功能．
【分析】解題思路 （1）求出的導函數，并因式分解得
利用余弦函數的單調性可得的符號，進而得到的單調性．
（2）思路1 要討論當時，a的取值范圍，首先要觀察的解析式中每一部分的符號．由于，注意到當時，，如果ax也小于零，那么．
于是當時，．下設．
當時，的符號不好確定，這里需要利用不等式的放縮，常用的不等式為：當時，．所以由得到．
先討論必要性：不等號的左端可看成的函數，求出左邊函數的取值范圍，可以得到a要滿足的必要條件．
設，則，當時，，故在單調遞減．所以當時，．故當時，函數的取值范圍為，所以．
再討論充分性：當時，只需要證明，，．
由，
設，
則．
令，則．
當時，，故在單調遞增．所以當時，．
故當時，，從而，所以在單調遞減．故當時，，所以．
綜上，a的取值范圍是．
思路2 思路2要求較高，需要考生對三角函數有關的不等式十分熟悉．
三角函數中，常用的不等式有：當，，．
這兩個不等式需要在平時學習過程中積累，證明不再贅述．思路2在此基礎上進行不等式的放縮．
當時，
．
當時，取，滿足，又因為當時，，所以
．
綜上，a的取值范圍是．
【典例2】（20203年高考文科數學（全國甲卷）第20題）已知函數，．
（1）當時，討論的單調性；
（2）若，求a的取值范圍．
【解讀】（1）試題巧妙地將三角函數與多項式函數結合，討論函數之間的不等問題，三角函數的導數是中學教學的重點與難點，具有一定的綜合性．
（2）試題設計新穎，緊扣課程標準，全面考查了利用導數研究函數的單調性等與導數有關的問題，試題計算量小，要求考生多思考，少計算，力圖引導教學，符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求，具有較好的選拔能力．
（3）試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，使理性思維深度、知識掌握程度、運算求解嫻熟程度不同的考生都能得到充分的展示，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題以三角函數、多項式函數為背景，構造了所要研究的函數．通過對函數性質的研究，試題全面考查了導數及其應用，這也是中學教學的重點與難點．試題的第（1）問面向全體考生，體現試題的基礎性，利用導數就能得到函數的單調性，考查了考生通過導數解決問題的能力、計算與轉化的能力，體現了函數與方程的數學思想在中學教學的應用．試題的第（2）問體現了試題的選拔性，通過常用的函數不等式，放縮得到所證的不等式，考查了化歸與轉化的能力、分類討論的能力、邏輯推理能力、數學運算能力，具有較好的選拔功能．
【分析】解題思路 （1）求出的導函數，得到，所以在區間單調遞減．
（2）要討論時，a的取值范圍，首先要觀察解析式中每一部分的符號．由于，注意到時，，如果ax也小于零，那么．于是得到分類討論的標準，即需要討論a的正負號．
當時，．
當時，的符號不好確定，這里需要利用不等式的放縮，常用的不等式為：當時，，所以．因為，所以，取，滿足，從而．
綜上，a的取值范圍為．
【典例3】（2023年高考數學（新課標Ⅰ卷）第19題）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）證明：當時，．
【解讀】試題將指數函數與一次函數用參數結合起來，構成所要研究的函數，通過對函數單調性、最值的研究，從多角度考查導數的基礎知識及利用導數研究函數性質的方法．試題設計的函數形式簡單，但對利用導數研究函數性質的通性通法考查得比較全面，既考查了分類討論的思想、化歸與轉化的思想，又考查了考生構造輔助函數、應用不等式放縮技巧的能力．
試題分步設問，第（1）問討論函數的單調性，通過在函數中設置參數，既考查利用導數研究函數性質的能力，又考查分類討論的思想，同時所得結果又為第（2）問做了鋪墊．第（2）問將函數與不等式有機結合，要求考生利用第（1）問的結論，將的證明轉化為證明，并構造輔助函數得到結論．試題考查由淺人深，對計算強度、思維深度的要求逐步提高，考查層次分明，重點突出，能較好地達到考查目的．試題所考查的雖然是運用導數研究函數的單調性的基本方法，但對考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分類與整合的數學思想，以及運用所學知識尋找合理的解題路徑的能力進行了全面考查．
【目標】試題考查基本求導公式及求導法則，考查利用導數判斷函數單調性、最值的方法；考查靈活運用導數工具分析、解決問題的能力；綜合考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，以及分類討論的思想．
【分析】解題思路 （1）討論函數單調性的一般方法是利用函數的導數的正負，即先求得，再判別其正負．由于函數的導數中含有參數，從而需要對參數進行分類討論．
（2）思路1 當時，利用（1）的結果知，當時，取得最小值，
所以．
從而將轉化為證明，即．
于是可以構造輔助函數（），通過研究的單調性得到結論．
思路2 同思路1，將第（2）問轉化為證明，即，
再進一步利用不等式得到結論．
思路3同思路1，將第問轉化為證明，即，
利用不等式得到，由此證明結論成立．
【典例4】（2023年高考數學（新課標Ⅱ卷）第22題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．
【解讀】（1）三角函數的導數是中學教學的重點與難點．試題巧妙地將三角函數與對數函數相結合，討論函數的極值問題，具有一定的綜合性．
（2）試題設計新穎，緊扣課程標準，全面考查了利用導數證明不等式、討論函數的單調性與極值等導數的相關問題，試題計算量小，要求考生多思考、少計算，符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求，具有較好的選拔功能．
（3）試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，使理性思維深度、知識掌握程度、運算求解能力不同的考生都能得到充分的展示，有效考查了考生的學習潛能，對中學數學教學具有積極的引導作用．
【目標】試題以三角函數、對數函數為背景，全面考查了導數及其應用．試題的第（1）問面向全體考生，體現試題的基礎性，通過構造函數并借助導數得到單調性，進而證明不等式，考查了考生運用函數模型解決問題的能力、化歸與轉化的能力，體現了函數與方程的數學思想在中學教學中的應用．試題的第（2）問面向有能力的考生，體現了試題的選拔性，通過第（1）問鋪設好的不等式，利用導數討論函數的單調性，進而得到極值，考查了考生分類討論的思想以及邏輯思維能力、運算求解能力，具有較好的選拔功能．
【分析】解題思路 （1）要證明：當時，，應考慮將導數作為工具，結合函數的單調性證明不等式．
構造函數，，利用導數容易證明在單調遞增，在單調遞減，結合，就可以證明當時，．
（2）若是的極大值點，則存在，使得當時，．為了找到滿足題意的，要通過的導函數的符號討論的單調性．
因為是偶函數，不妨設，又因為，不妨設．
，
分母，只需討論分子的符號．令．
第（1）問中的不等式為第（2）問做好了準備工作．
當時，，于是．
當時，，于是．
如果找到，使得當時，，則，故在單調遞增，從而，那么就不是的極大值點．要使，只需，又，所以只需考慮的符號，于是找到了分類討論的標準．
當時，．當時，，，故單調遞增，從而，因此不是的極大值點．
當時，，為了找到，使得當時，，
只需，即．此不等式不容易解，繼續進行不等式放縮：
，
只需，解得，即．
于是當時，，
從而，故在單調遞減．
又因為是偶函數，故是的極大值點．
綜上，a的取值范圍是．
應用一 利用導數研究不等式恒成立
【例1】（2023·廣西·模擬預測）已知，設函數，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：由二次函數性質及不等式恒成立得出：
當時，的開口向上且對稱軸，
此時，要使恒成立，則，
第二步：當時對求導，研究單調性求最小值：
當時，上，即遞減，上，即遞增；
所以，
第三步：結合恒成立求參數范圍：
要使，則，即，故；
綜上，的取值范圍為．
故選：C
應用二 利用導數研究不等式能成立
【例2】（2024·全國·模擬預測）已知函數．若存在，使得成立，則實數a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：將問題轉化為“直線與函數的圖象有交點”：
存在，使得成立，
即在上有解，即在上有解，
所以直線與函數的圖象有交點，
第二步：利用導數分析的單調性以及取值：
又，令，則，
令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以在上單調遞增，
所以，
第三步：求解出的最大值：
所以要使直線與函數的圖象有交點，只需，
所以的最大值是，
故選：A．
方法一： 直接求導法
第一步：對函數求導，并令導函數為0，求出導數的零點.
第二步：通過導函數研究函數的單調性，并找到函數的極值點，以及函數的最小值和最大值.
第三步：在對應區間上，檢查這些極值點是否滿足給定的不等式.如果滿足，那么不等式在該區間上恒成立或能成立；如果不滿足，那么不等式在該區間上不能恒成立或能成立
方法二： 分離參數法
第一步：轉化問題：首先，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題.
第二步：分離參數：在不等式中分離參數，得到參數的取值范圍.這一步通常是通過移項、合并同類項等代數操作完成的.
第三步：求最值：在參數分離后，分別求出函數f(x)和g(x)在區間上的最大值和最小值.這通常涉及到對函數進行求導，并找到導數為零的點，從而確定函數的極值.
第四步：比較參數：最后，比較參數的取值范圍和兩個函數的最小值與最大值之間的關系，得出結論.
方法三： 構造函數法
第一步：確定參數：首先，我們需要確定題目中的參數.這些參數通常會在不等式中出現，并且會影響不等式的解.
第二步：構造函數：根據題目要求和參數特點，我們需要構造一個函數，該函數能夠反映不等式的特征.這個函數通常會利用參數來表示，以便于我們后續對參數進行討論.
第三步：求導數：利用導數，我們可以研究函數的單調性.通過對導數進行符號判斷，我們可以確定函數在某個區間上的單調性.
第四步：判斷單調性：通過求導數，我們可以判斷出函數的單調性.如果函數在某個區間上單調遞增或單調遞減，那么函數的最值就會出現在該區間的端點.
第五步：求解最值：根據函數的單調性，我們可以求出函數的最值.如果函數的最值滿足不等式的條件，那么不等式在該區間上恒成立.
第六步：討論參數：在求出函數的最值后，我們需要對參數進行討論.根據參數的不同取值范圍，我們可以得出不等式在不同情況下的解.
第七步：總結答案：最后，我們需要總結出不等式的解，并給出相應的解釋和結論.
通過以上步驟，我們可以使用構造函數法解決不等式恒、能成立問題.需要注意的是，構造函數的方法并不是唯一的，需要根據具體問題進行分析和選擇.同時，在解題過程中還需要注意邏輯的嚴密性和計算的準確性.
微點：分離參數
【表現形式】
1．參變分離后化歸為最值問題
①恒成立，則需；
②恒成立，則需；
③能成立，則需；
④能成立，則需．
2．作差構造函數化歸為最值問題
①恒成立，則需；
②能成立，則需．
2.雙變元成立問題
①，不等式成立；
②，不等式成立；
③，不等式成立；
④，不等式成立；
⑤，不等式成立；
⑥，使等式成立值域與值域的交集不為空集即可；
⑦，使等式成立的值域是的值域的子集即可．
【步驟】
第一步：通過分離參數，將參數與變量徹底分離開來.
第二步：把一個含參問題轉化為一個非含參問題.
第三步：通過導數研究分離后得到的函數的單調性，極值與最值，最終解決問題．
【例1】 已知函數，．
（1）若與在處相切，求的表達式；
（2）若在上是減函數，求實數的取值范圍．
答案 （1）；（2）
解析 （1）因為，，所以，，因為與在處相切，所以所以所以．
（2）因為在上是減函數，所以當時，，所以當時，（分離參數）．
令，則，當時，，單調遞增，所以，所以．綜上所述，實數的取值范圍為．
【例2】已知函數，當時，，求的取值范圍．
答案
解析 ①當時，不等式恒成立，；②當時，，
，設，在上遞增，所以即恒成立，即在單增，所在遞增，在遞減，即．綜上所述，的取值范圍．
【跟蹤練習】
（2023·四川成都·統考一模）
1．若恒成立，則實數的最大值為（ ）
A． B．2 C．1 D．
（2023·全國·模擬預測）
2．已知函數滿足.若對于恒成立，則實數a的取值范圍是 .
（2023·上海嘉定·統考一模）
3．對于函數，若對于任意的，恒成立，求a的取值范圍 .
（2023·上海楊浦·統考一模）
4．設函數，.
(1)求方程的實數解；
(2)若不等式對于一切都成立，求實數的取值范圍.
（2023·河北·校聯考模擬預測）
5．已知函數，其中.
(1)當時，求的極值；
(2)若不等式對任意恒成立，求的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】先確定時的情況，在當時，參變分離可得，構造函數，求出函數的最小值即可.
【詳解】當時，，不等式成立；
當時，恒成立，即，
令，則，
因為時，（后證）
所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，
故，
所以，即實數的最大值為.
證明當時，，
令，，則，
則在上單調遞增，所以，即.
故選：D.
2．
【分析】由，式中的x換成，聯立求得，從而，然后將，轉化為，利用在R上單調遞增求解.
【詳解】①，將①式中的x換成，得，
得，故.
所以由，得.
因為在R上單調遞增，
所以對于恒成立.
令，則，
令，得，令，得，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，故，
解得.
故答案為：
3．
【分析】不等式恒成立等價于即，由于為增函數，由得，即恒成立，令，此題轉化為求.
【詳解】不等式恒成立等價于即，即，
由于為增函數，所以由，得，即恒成立，
令，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
易得，
所以，所以的取值范圍是.
故答案為：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）轉化為關于的一元二次方程求解即可；
（2）分離參數后，構造函數，利用導數求函數的最小值即可得解.
【詳解】（1）由知，方程為，
即，
解得，即.
（2）不等式即，
原不等式可化為對于一切都成立，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上遞減，在上遞增，
故當時，，
所以.
5．(1)極大值為，無極小值
(2)
【分析】（1）由題意首先對求導，令繼續對求導可發現，從而可得的單調性，進一步可得的單調性、極值.
（2）將原問題等價轉換為對任意恒成立，構造函數，故只需，利用導數求出即可.
【詳解】（1），
令，
則，其中，
所以在上單調遞減，且，
所以當時，，即單調遞增，
當時，，即單調遞減，
故當時，取得極大值，無極小值.
（2）由題得對任意恒成立，
即對任意恒成立.
令，
所以，
令，
所以，
當時，單調遞減；當時，單調遞增，
所以，
又，
所以當時，
單調遞增；
當時，單調遞減，
所以，所以，
即的取值范圍是.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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