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第2講 利用導數研究函數的性質（講）
【典例1】（2023年高考數學（新課標Ⅱ卷）第6題）已知函數在區間單調遞增、則a的最小值為（ ）
A． B．e C． D．
【解讀】試題通過導數將單調性、不等式等知識有機整合到所創設的問題情境中，設問簡潔，考查全面．試題重視基礎，考查考生化歸與轉化的能力和主動探究的能力，為高校選拔人才提供了有效依據，能夠很好地引導中學數學教學，有助于實現高考“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能．
【答案】C
【目標】試題以單調性為背景，考查導數的應用和不等式的綜合運用，考查考生靈活運用知識分析函數性質的能力以及化歸與轉化的能力．
【分析】解題思路 由，得．因為函數在區間單調遞增，所以當時，，即．
設函數，則．當時，，于是在區間單調遞減．又，，從而的值域為．
又當時，，所以a的最小值為，故選C．
【典例2】（2023年高考數學（新課標Ⅰ卷）第11題）已知函數的定義域為，，則（ ）
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
【解讀】試題是多項選擇題中相對較難的題目，大部分考生對抽象函數，尤其是函數方程的有關內容不是非常熟悉．本題需要較強的邏輯思維能力，有利于考查考生的數學素養，選拔創新性人才．
試題是一道重思維、輕計算的題目，題目中關于函數的方程的形式具有“齊次性”，即把函數換成時，方程是不變的，而D選項所陳述的性質與“齊次性”相悖．數學素養較好的考生，在判斷D選項時，會注意到方程式的齊次性這一性質，快速排除錯誤選項，從而節省時間．多選題的題型設置為不同能力水平的考生提供了發揮的空間，試題源于教材，緊扣課程標準，對考生的能力進行了很好的區分，具有較好的選拔功能．
【答案】ABC
【目標】試題以抽象函數為背景，考查了考生邏輯推理的核心素養，以及關于抽象函數的綜合分析能力．
【分析】解題思路 思路1 （1）代入可得，即，故選項A正確．
（2）代入可得，即，故選項B正確．
（3）對，代入可得，即，代入可得，因此恒成立，是偶函數，故選項C正確．
（4）由于且，我們對正實數考慮函數（這樣由可推出的所有取值）．題設可轉化為對任意正實數，成立，由這個式子比較容易想到的解為，對應的（），且．當參數時，是的極大值點而非極小值點．故選項D錯誤．
思路2 處理抽象函數類型的問題，一般思路是先代入一些特殊值，希望得到關于函數取值的信息．這要求代入的變量的特殊值能使得題目中的式子變得盡量簡單，例如本題對變量依次代入特殊值，，，都滿足，這時題設式子可以合并同類項，呈現出較為簡單的形式．通過帶入這些特殊值，得到的信息足以判斷ABC三個選項均正確．
對于選項D，可以觀察到當函數滿足題意時，另一個函數也滿足題意．因此如果D正確，則是的極小值點，也是的極小值點，這樣既是的極小值點，又是極大值點，導致矛盾，因此選項D不正確．
【典例3】（2023年高考數學（新課標Ⅱ卷）第11題）若函數既有極大值也有極小值，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】（1）試題巧妙地將函數的極值問題、一元二次方程根的分布與韋達定理結合起來，具有一定的綜合性．
（2）試題設計新穎，緊扣課程標準，作為多項選擇題重視考查數學思維能力，試題計算量小，要求考生多思考、少計算，對高中數學教學起到積極引導作用，符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求，具有較好的選拔功能．
（3）試題的選項之間有一定關聯，不是簡單的將四道單選題“堆砌”成一道多選題，可以由已知條件，經過分析與轉化，通過一個思路來判斷四個結論是否正確
【答案】BCD
【目標】試題以極值為情境，研究了導函數零點的分布問題，考查了基本初等函數的導數，一元二次方程根的分布、韋達定理等知識，通過本試題，考查了考生的邏輯思維能力，化歸與轉化的能力，以及綜合運用函數、導數、不等式解決數學問題的能力．
【分析】解題思路 由，得
設函數，則．不妨設．
若，則，從而當時，，在區間單調遞增，無極值．因此由題意知，故，選項C正確．
由，存在兩個零點，設，為的兩個零點，且，由韋達定理，，．
若，當時，，；當時，，．在區間單調遞減，在區間單調遞增，只有一個極小值點，不符合題意，因此，所以，從而，選項D正確．
若，當時，，．在區間單調遞增，無極值，不符合題意，故，所以，從而，選項B正確．
由，知，選項A錯誤．
綜上，正確答案為BCD．
【典例4】（2023年高考理科數學（全國乙卷）第16題）設，若函數在單調遞增，則a的取值范圍是______．
【解讀】試題利用參數將兩個指數函數巧妙組合，要求考生利用單調性得到參數的取值范圍，條件簡潔，結論清晰．指數函數的單調性是考生熟悉的，但組合后的函數的單調性的研究給考生提供了展示空間．對函數求導是必然的，關鍵是后續研究過程對考生的思維能力提出了較高的要求，需要考生或者再次對導函數求導，或者對導函數變形，并再次利用指數函數的單調性，得到關于參數的不等式，而且后面的不等式求解也對考生的運算能力有一定的考查．
試題注重基礎，強調函數基本性質，導數的概念、性質，運算法則與應用，符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的要求，考查內容豐富，突出了函數與導數基本性質之間的關聯．解答試題時運算量不大，重在聯想與推理．試題設計靈活，強調綜合運用所學知識來解決問題，對考生運用所學知識尋找合理的解題策略，問題的轉化能力以及推理論證能力都提出了較高要求，有一定難度，突出了選拔功能．
【答案】
【目標】本題考查利用導數研究函數單調性的方法；考查指數函數、對數的性質及指數函數的導數公式；考查不等式的求解方法；考查考生的運算求解能力，以及靈活應用導數分析、解決問題的能力．
【分析】解題思路 思路1 ．
由題設得當時，，
即．①
設，則①等價于．
由于，故在單調遞增，所以等價于，
即．不等式化為，解得或．
由于，所以a的取值范圍是．
思路2 ．
由題設得當時，．
由于，故單調遞增，
所以當時等價于，即．
不等式化為，解得或．
由于，所以a的取值范圍是．
【典例5】（2023年高考文科數學（全國乙卷）第20題）已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在單調遞增，求a的取值范圍．
【解讀】試題分為兩問，第（1）問給定參數值，求曲線在確定點處的切線方程，考查導數的幾何意義，考點常規且基本，符合低起點的命題要求．第（2）問則將函數與不等式有機結合，考查由淺入深，對計算難度、思維深度的要求逐步提高，考查層次分明，重點突出，較好地達到考查目的．試題從多角度考查了導數的基礎知識及利用導數研究函數性質的方法，而且對邏輯推理能力、運算求解能力、分類與整合的能力提出了較高要求，尤其對邏輯推理能力的考查，層次分明，區分度較高，使考生個體理性思維的廣度和深度得到了充分展示，較好考查了考生進一步學習與探究的潛能．
【目標】試題考查函數的導數及其應用等基礎知識．考查基本求導公式及求導法則，導數的幾何意義，考查利用導數判斷函數單調性的方法；考查靈活運用導數工具分析、解決問題的能力；綜合考查考生的邏輯推理能力、運算求解能力和推理論證能力以及分類討論的思想．
【分析】解題思路 （1）將代入得到曲線，利用導數的幾何意義，計算，即可得到曲線在點處的切線方程．
（2）思路1 在單調遞增等價于．
而，
故在單調遞增等價于，即．
由于研究函數的性質比較困難，所以無法得到答案．
但思維層次高的考生可以利用極限即可以得到，然后驗證，即，可以通過研究輔助函數的性質得到結論．
思路2 在單調遞增等價于．
由于，
故在單調遞增等價于．
設輔助函數，研究函數的性質．
由于，
從而通過對a進行分類討論即可得到結論．
【典例6】（20203年高考文科數學（全國甲卷）第20題）已知函數，．
（1）當時，討論的單調性；
【解讀】（1）試題巧妙地將三角函數與多項式函數結合，討論函數之間的不等問題，三角函數的導數是中學教學的重點與難點，具有一定的綜合性．
（2）試題設計新穎，緊扣課程標準，全面考查了利用導數研究函數的單調性等與導數有關的問題，試題計算量小，要求考生多思考，少計算，力圖引導教學，符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求，具有較好的選拔能力．
（3）試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，使理性思維深度、知識掌握程度、運算求解嫻熟程度不同的考生都能得到充分的展示，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題以三角函數、多項式函數為背景，構造了所要研究的函數．通過對函數性質的研究，試題全面考查了導數及其應用，這也是中學教學的重點與難點．試題的第（1）問面向全體考生，體現試題的基礎性，利用導數就能得到函數的單調性，考查了考生通過導數解決問題的能力、計算與轉化的能力，體現了函數與方程的數學思想在中學教學的應用．
【分析】解題思路 （1）求出的導函數，得到，所以在區間單調遞減．
【典例7】（2023年高考理科數學（全國乙卷）第21題）已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱？若存在，求a，b；若不存在，說明理由；
（3）若在存在極值點，求a的取值范圍．
【解讀】試題設計一個含有參數的函數，將其性質的研究分層設計，層層遞進．第（1）問給定參數值，求曲線在確定點處的切線方程，考查導數的幾何意義，考點常規且基本，面向大部分考生，符合低起點的命題要求．試題第（2）問通過合理設計，引進曲線，求出使得曲線關于直線對稱的常數a，b，對考生的思維能力有更高的要求，需要考生利用對稱曲線的性質，特別是函數定義域的特殊性．首先確定常數，再利用對稱性得到常數a，該問也可以利用對稱的定義直接求常數a，b，但需要考生具備較強的觀察能力以及恒等變形能力．試題第（3）問給出函數存在極值點的條件，要求確定參數的取值范圍，將函數與不等式有機結合，為考生解答提供了廣闊的想象空間．該問需要考生打破常規思路，綜合利用函數特征，利用化歸與轉化的思想，將證明在存在零點，轉化為證明在存在零點，從多角度考查考生利用導數研究函數性質的方法，對邏輯推理能力、運算求解能力、分類與整合的能力提出了較高要求，尤其對邏輯推理能力的考查，層次分明，區分度較高，突出選拔功能．
試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，很好地達到考查目的，使理性思維深度、知識掌握的牢固程度、運算求解的嫻熟程度不同的考生都能得到充分展示，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題考查導數公式、導數運算法則以及導數的幾何意義；考查利用導數判斷函數單調性、極值點的方法；考查靈活運用導數工具分析、解決問題的能力；綜合考查考生的邏輯推理能力、運算求解能力、推理論證能力以及分類討論的思想．
【分析】解題思路 （1）將代入得到曲線，利用導數的幾何意義，計算，即可得到曲線在點處的切線方程．
（2）思路1 設，則可以求得的定義域為，從而利用定義域的特殊性以及對稱曲線的性質可得，再利用對稱性得到，從而求得．
思路2 設，由曲線關于直線對稱得，
即．
將上式恒等變形為，從而可以得到，．
（3）在存在極值點，需要研究．
根據函數特征，將其整理成，
所以只需對函數進行研究．
由于，故可以利用分類討論，研究函數的性質，進而得到結論．
【典例8】（2023年高考數學（新課標Ⅰ卷）第19題）已知函數．
（1）討論的單調性；
【解讀】試題將指數函數與一次函數用參數結合起來，構成所要研究的函數，通過對函數單調性、最值的研究，從多角度考查導數的基礎知識及利用導數研究函數性質的方法．試題設計的函數形式簡單，但對利用導數研究函數性質的通性通法考查得比較全面，既考查了分類討論的思想、化歸與轉化的思想，又考查了考生構造輔助函數、應用不等式放縮技巧的能力．
試題分步設問，第（1）問討論函數的單調性，通過在函數中設置參數，既考查利用導數研究函數性質的能力，又考查分類討論的思想，同時所得結果又為第（2）問做了鋪墊．
【目標】試題考查基本求導公式及求導法則，考查利用導數判斷函數單調性、最值的方法；考查靈活運用導數工具分析、解決問題的能力；綜合考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，以及分類討論的思想．
【分析】解題思路 （1）討論函數單調性的一般方法是利用函數的導數的正負，即先求得，再判別其正負．由于函數的導數中含有參數，從而需要對參數進行分類討論．
【典例9】（2023年高考數學（新課標Ⅱ卷）第22題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．
【解讀】（1）三角函數的導數是中學教學的重點與難點．試題巧妙地將三角函數與對數函數相結合，討論函數的極值問題，具有一定的綜合性．
（2）試題設計新穎，緊扣課程標準，全面考查了利用導數證明不等式、討論函數的單調性與極值等導數的相關問題，試題計算量小，要求考生多思考、少計算，符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求，具有較好的選拔功能．
（3）試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，使理性思維深度、知識掌握程度、運算求解能力不同的考生都能得到充分的展示，有效考查了考生的學習潛能，對中學數學教學具有積極的引導作用．
【目標】試題以三角函數、對數函數為背景，全面考查了導數及其應用．試題的第（1）問面向全體考生，體現試題的基礎性，通過構造函數并借助導數得到單調性，進而證明不等式，考查了考生運用函數模型解決問題的能力、化歸與轉化的能力，體現了函數與方程的數學思想在中學教學中的應用．試題的第（2）問面向有能力的考生，體現了試題的選拔性，通過第（1）問鋪設好的不等式，利用導數討論函數的單調性，進而得到極值，考查了考生分類討論的思想以及邏輯思維能力、運算求解能力，具有較好的選拔功能．
【分析】解題思路 （1）要證明：當時，，應考慮將導數作為工具，結合函數的單調性證明不等式．
構造函數，，利用導數容易證明在單調遞增，在單調遞減，結合，就可以證明當時，．
（2）若是的極大值點，則存在，使得當時，．為了找到滿足題意的，要通過的導函數的符號討論的單調性．
因為是偶函數，不妨設，又因為，不妨設．
，
分母，只需討論分子的符號．令．
第（1）問中的不等式為第（2）問做好了準備工作．
當時，，于是．
當時，，于是．
如果找到，使得當時，，則，故在單調遞增，從而，那么就不是的極大值點．要使，只需，又，所以只需考慮的符號，于是找到了分類討論的標準．
當時，．當時，，，故單調遞增，從而，因此不是的極大值點．
當時，，為了找到，使得當時，，
只需，即．此不等式不容易解，繼續進行不等式放縮：
，
只需，解得，即．
于是當時，，
從而，故在單調遞減．
又因為是偶函數，故是的極大值點．
綜上，a的取值范圍是．
應用一 用導數判斷或證明已知函數的單調性
【例1】（2023·河南·統考模擬預測）設，，其中e為自然對數的底數，則（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：構造函數，利用導數討論其單調性比較b，c：
令，則，當時，，單調遞增，
因此，即，
第二步：構造函數，利用導數討論其單調性比較a，b：
令，則，當時，，單調遞減，
因此，即
第三步：得出三者的大小關系：
所以.
故選：D
應用二 利用導數求函數的單調區間(不含參)
【例2】（2023·上海青浦·統考一模）已知三個互不相同的實數、、滿足，，則的取值范圍為 ．
【引導與詳解】
第一步：根據題中實數、、所滿足等量關系，將用c表示，并求出c范圍：
由題，，
得，
得，
所以，
則，
又，
所以由韋達定理得a和b為關于x的方程的兩不等根，
所以，
得，
再由，所以，
第二步：利用導數求出其單調性：
構造函數，
則，
得或，
所以在，上，單調遞增，
在上，單調遞減，
第三步：進而得到范圍：
，，
，
所以在上范圍為，
所以的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：本題利用，之間關系，將變為一個變量，利用二次函數的性質、韋達定理，利用導數研究函數單調性，屬于中檔題.
應用三 由函數的單調區間求參數
【例3】（2023·全國·模擬預測）若對任意的，，且，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
第一步：根據題意知，變形：
對任意的，，且，，易知，
則，所以，
即．
第二步：構造函數，根據函數單調性的定義可得函數在上單調遞減：
令，則函數在上單調遞減．
因為，由，可得，
所以函數的單調遞減區間為，
第三步：求出實數的取值范圍：
所以，故，
即實數的取值范圍為．
故選：C．
應用四 由函數在區間上的調性求參數
【例4】（2023·陜西商洛·統考一模）已知函數在上單調遞增，則的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．3
第一步：結合導數，將在上單調遞增轉化為恒成立：
由題意可得，
因為在上單調遞增，所以恒成立，
第二步：參變分離，轉化為恒成立：
即恒成立，
第三步：求出的最小值，進而求出的最大值：
設，則，
令，則，
當時，，時,,
故在為減函數，在上為增函數，
故，但，
時，，
故當0時，，當時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
故，即.
故選：A.
應用五 含參分類討論求函數的單調區間
【例5】（2023·河南·信陽高中校聯考模擬預測）設函數.
（1）若在上恒成立，求實數的取值范圍；
（2）設有兩個極值點，且，求證：.
【引導與詳解】
（1）第一步：由恒成立，分離參數得恒成立：
的定義域為，
由，得，
第二步：構造函數利用導數判斷單調性，求出函數的最大值即可：
令，則，
當時，，函數在上單調遞增，
當時，，函數在上單調遞減，
所以，
所以，所以實數的取值范圍為.
（2）第一步：由，可知有兩個不等的實數根：
由題意知，
故，
令，則，
第二步：結合韋達定理化簡：
當，即時，，
此時在上單調遞增，不存在極值點.
當，即或時，
若，則恒成立，在上單調遞增，此時不存在極值點.
若，則方程的兩根為，
則或時，，
此時在上均單調遞增；
時，，
此時在上單調遞減，
此時函數存在兩個極值點；
又，，則，
故
，
第三步：構造函數利用導數判斷單調性，求出最值即可.
令，
則，
，
則當時，在上單調遞減，
當時，在上單調遞增，
則，
故.
應用六 利用導數研究函數函數的極值
【例6】（2023·全國·模擬預測）已知函數，則（ ）
A．曲線在點處的切線方程為
B．有兩個極值點
C．，都能使方程有三個實數根
D．曲線是中心對稱圖形
第一步：對于A，根據曲線在某點處切線的計算，可得答案：
對于A：，，曲線在點處的切線方程為，故A錯誤；
第二步：對于B，根據極值點的定義，結合其導數，可得答案：
對于B：令，得或；令，得，
在和上單調遞增，在上單調遞減，
有兩個極值點，故B正確；
第三步：對于C，根據函數與方程的關系，利用函數的單調性，求得值域，可得答案：
對于C：結合B選項，，，
且當時，；當時，，
對于，都能使方程有三個實數根，故C正確；
第四步：對于D，根據中心對稱的性質，利用公式，可得答案：
對于D：解法一：，
，
.
∴曲線關于點中心對稱.
解法二：，
令，則是R上的奇函數，且，
曲線關于點中心對稱，故D正確.
故選：BCD.
應用七 利用導數研究函數函數的最值
【例7】（2023·新疆·校聯考一模）已知函數在定義域內單調遞增，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：先對函數求導：
由題意定義域為且單調遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
第二步：分離構造函數在定義域上恒成立，即可求解：
令，所以只需，所以，
當，，在單調遞增，
當，，在單調遞減，
當時，有極大值且為最大值，所以，故B正確.
故選：B.
方法一： 判斷函數單調性
第一步：確定函數的定義域，確保函數在定義域內可導.
第二步：求函數的導數.
第三步：判斷導數的符號：
（1）如果，則函數在對應區間內單調遞增；
（2）如果，則函數在對應區間內單調遞減.
第四步：根據導數的符號變化，確定函數的單調性變化點.
第五步：綜合以上信息，得出函數在整個定義域內的單調性.
需要注意的是，導數法判斷函數單調性適用于可導函數.如果函數在某點不可導，需要特別注意.此外，導數法的判斷結果與函數定義域的端點有關，因此在判斷函數單調性時，需要特別關注定義域的端點.
方法二： 求函數極值
第一步：確定函數的定義域.
第二步：求函數的一階導數.
第三步：令一階導數等于0，解出可能的駐點.
第四步：檢查駐點兩邊的導數值，確定函數的單調性.如果函數在駐點的一側是單調遞增的，而在另一側是單調遞減的，則該點為極大值點；反之，則為極小值點.
第五步：根據函數的單調性，確定函數的極值.
以上是使用導數法求函數極值的一般步驟，需要注意的是，在具體操作時可能需要根據具體情況進行適當的調整和修改.
方法三： 求函數最值
第一步：確定函數的定義域.
第二步：求函數的一階導數.
第三步：找出使一階導數等于零的點，這些點稱為臨界點.
第四步：檢查臨界點兩側的一階導數的符號，確定函數的單調性.
第五步：根據函數的單調性，確定函數的最值點.
第六步：代入最值點的x坐標，求得函數的最值.
微點：構造函數法研究函數性質
【表現形式】表達式為“和差”的模型構造
若構造： 若構造：
若構造： 若構造：
若構造： 若構造：
【步驟】第一步：觀察題目表達式構造；
第二步：求導判斷單調性；
第三步：分析其函數性質特點；
第四步：數形結合求解；
【例1】（2015新課標Ⅱ卷）設函數是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
答案 A
解析 由表達式可知，是“減”的模型的第二種結構式，構造函數來判斷單調性；
，所以在上單減；
又且是奇函數，所以為偶函數為奇函數），同理可得：；
當時，則；
當時，則；當時，則；當時，則；
綜上：成立范圍為和；故選：A．
【例2】（2023上·山東泰安·高三新泰市第一中學校考階段練習）已知是定義在上的偶函數，是的導函數，當時，，且，則的解集是（　　）
A． B．
C． D．
答案 B
解析 構造函數，
因為是上的偶函數且也是上的偶函數，
所以是上的偶函數，
因為時，，所以在上單調遞增，
所以在上單調遞減，
又因為，所以且，
所以，所以，解得或，
故選：B.
【跟蹤練習】
（2023上·河南·高三安陽縣高級中學校聯考階段練習）
1．已知命題，則（ ）
A．，，且是真命題
B．，，且是假命題
C．，，且是假命題
D．，，且是真命題
（2023·全國·模擬預測）
2．若對任意，，都有，則m的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）
3．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江蘇淮安·高三校聯考期中）
4．若函數為定義在上的偶函數，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川·高三校聯考階段練習）
5．若關于的不等式對任意的恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．D
【分析】根據命題的否定的性質得出，再驗證的真假，變形等價于，構造函數幫助比較大小即可得.
【詳解】由，，
則，，
由，則有，
等價于
等價于，
令，則，
則時，恒成立，
故在上單調遞增，
又，
故，
即，
故原命題錯誤，則是真命題.
故選：D.
2．D
【分析】先將已知不等式變形得到，然后構造函數并分析其單調性，由此求解出的最小值.
【詳解】因為，，
所以，
整理得,
設，則只要在上單調遞減即可,
又，令，得，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
則，所以，
所以的最小值為，
故選：D.
3．D
【分析】利用作差法比較大小以及函數的導數與單調性及最值的關系比較大小求解.
【詳解】因為，所以；
，
設函數，
所以時，，函數單調遞減，
時，，函數單調遞增，
所以，而，
所以，所以，
所以，
故選：D.
4．A
【分析】先構造函數，判斷函數的奇偶性和單調性；再將不等式等價變形；最后利用函數的性質求解即可.
【詳解】令
為定義在上的偶函數
則函數為定義在上的偶函數
，當時，
函數在上單調遞減，在上單調遞增.
不等式可變為，
即
故，解得或
所以不等式解集為：.
故選：A.
5．B
【分析】構造函數，求導得出.二次構造函數，求導得出在上恒成立，即可得出在上單調遞增.進而由已知得出對任意的恒成立.進而推得對任意的恒成立，只需即可.構造，求導得出函數的單調性，即可得出的最大值，即可得出答案.
【詳解】令，則.
令，則，
解可得，
當時，有，所以在上單調遞減；
當時，有，所以在上單調遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以，在上恒成立，即在上恒成立.
所以，在上單調遞增.
由已知可知，對任意的恒成立，
所以，對任意的恒成立.
兩邊同時取對數可得，對任意的恒成立，
所以，有對任意的恒成立，只需即可.
令，，則，
由，可得，
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減.
所以，在處取得唯一極大值，也是最大值.
由可得，.
故選：B.
答案第1頁，共2頁
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