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第4講 利用導數研究函數的零點問題（講）
【典例1】（2022年高考數學全國乙卷文科第20題）已知函數．
（1）當時，求的最大值；
（2）若恰有一個零點，求的取值范圍．
【解讀】函數是刻畫變量之間數量關系的重要概念，而導數則是函數的瞬時變化率，在高中的數學教學中，引進導數及其應用的基礎知識，有利于考生更深刻地理解不斷動態變化的事物本質，有利于提高考生的思維層次．導數的重要應用之一是討論函數的單調性、極值和最值，這也是高中數學教學的重要內容之一．試題的第（1）問設問常規，立足基礎，考查了考生的運算求解能力以及對數形結合思想的理解與掌握．
考生應用求導法則進行導數運算，利用導數的正負討論函數的單調性即可以順利作答，試題第（2）問的設問方式是考生所常見的，但問題的解決需要綜合利用函數的特征和單調性．試題多角度考查了利用導數研究函數性質的方法，對考生的邏輯推理能力以及綜合應用所學知識分析問題解決問題的能力提出了較高要求．
試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，很好地達到考查目的，使理性思維深度、知識掌握的牢固程度、運算求解嫻熟程度不同的考生都得到充分展示，較好地考查了考生進一步學習的潛能，具有很好的區分度，試題呈現簡潔，不偏不怪，注重對通性通法的考查，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題選取一次函數、反比例函數與對數函數構成所要研究的函數，全面考查了導數的基礎知識及其在討論函數單調性和零點方面的應用．試題的第（1）問是求一個沒有參數的具體函數的最大值問題，重點考查導數的運算及其在討論函數極值方面的基本應用．第（1）問著力基礎性，面向大部分考生．第（2）問設置為函數僅有一個零點的情況下，確定參數a的取值范圍，這種設問方式是考生所常見的，問題的解決需要利用導函數的正負來研究原函數的性質，利用分類討論等數學思想試題對考生運用所學知識尋找合理的解題途徑以及推理論證能力提出了較高要求．
試題考查函數極值點和零點、導數的運算法則、利用導數判斷函數單調性等基礎知識與基本方法，考查考生靈活運用導數分析問題解決問題的能力，考查考生的推理論證能力、運算求解能力以及數形結合、分類討論等數學思想．
【分析】（1）當時，．
當時，；當時，．故在上單調遞增，在上單調遞減．所以當時，取得最大值，最大值為．
（2）．
（i）若，當時，；當時，
．故在上單調遞增，在上單調遞減．因為，所以沒有零點．
（ii）若，當時，；當時，．故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．取，則，且
又，所以恰有一個零點．
（iii）若，則在上單調遞增．又，所以恰有一個零點．
（iv）若，當時，；當時，．故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．又，所以在上沒有零點．取，則，且
所以恰有一個零點．
綜上，的取值范圍是．
【典例2】（2022年高考數學全國甲卷理科第21題）已知函數．
（1）若，求的取值范圍；
（2）證明：若有兩個零點，則．
【解讀】 函數描述的是變量之間的依賴關系，而導數則是函數的瞬時變化率．在高中的數學教學中，引進導數及其應用方面的基礎知識，有利于學生更深刻地理解不斷動態變化的事物本質，提高思維層次．導數的重要應用之一是利用導數討論函數的單調性、極值和最值，這也是高中數學教學的重要內容之一．試題將單調性、零點的概念、極值的概念等知識融為一體，全面考查了導數及其應用等基礎知識，對考生思維的嚴密性、綜合性都提出了較高的要求．試題的第（2）問是一道證明題，需要綜合運用函數的特征、函數的單調性，以及第（1）問的結論加以解決．試題從多角度考查利用導數研究函數性質的方法，對考生的邏輯推理能力、綜合應用所學知識分析解決問題的能力都提出了較高的要求．
試題分步設問，逐步推進，難度由淺入深，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題將指數函數、對數函數與多項式進行運算，構成所要研究的函數，通過對函數性質的研究，全面考查了導數及其應用等基礎知識．試題的第（1）問面向大部分考生．考生能夠正確運用導數公式和求導法則進行導數運算，利用導數的正負討論函數的單調性就可以解決問題．第（2）問則從多角度考查了考生利用導數研究函數性質的方法，拓展了考生思維空間，對考生運用所學知識尋找合理的解題途徑提出了較高要求．試題緊扣課程標準，考查考生的邏輯推理能力和數學運算能力，具有較好的選拔功能．
【分析】解題思路 （1）的定義域為．
當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取得最小值，最小值為．
由題設得，故的取值范圍是．
（2）不妨設．由（1）知，，于是．由于在上單調遞減，故等價于．
而，故等價于，即
，
整理得
．①
令，①式為，又在上單調遞增，故①式等價于，即．
令，則，所以當時，，故在上單調遞增．又，所以，即．
因此．
【典例3】（2022年高考數學全國乙卷理科第21題）已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在區間，各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【解讀】函數描述了變量之間的依賴關系，而導數則是函數的瞬時變化率．在高中的數學教學中，引進導數及其應用的基礎知識，有利于學生更深刻地理解不斷動態變化的事物本質，提高思維層次．導數的重要應用之一是利用導數討論函數的單調性、極值和最值，這也是高中數學教學的重要知識點之一．試題全面考查了導數及其應用等基礎知識，將單調性、零點的概念、存在性、唯一性等知識融為一體，對考生思維的嚴密性、對知識掌握的綜合性都提出了較高要求．試題的第（2）問需要綜合利用函數的特征和函數的單調性，從多角度考查了考生對利用導數研究函數性質的方法的掌握，對考生的邏輯推理能力，綜合應用所學知識分析問題解決問題的能力都提出了較高的要求．
試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，很好地達到考查目的，使理性思維深度、知識掌握的牢固程度、運算求解嫻熟程度不同的考生都能得到充分展示，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題選取指數函數、對數函數與多項式，通過對其進行線性運算，構成所要研究的函數．試題通過對函數性質的研究，全面考查了導數及其應用等基礎知識．試題的第（1）問面向大部分考生，要求考生能夠正確應用導數公式和求導法則進行導數運算，利用函數值與導數值寫出切線方程．第（2）問則從多角度考查了利用導數研究函數性質的方法，為考生的發揮提供了廣闊的空間，對考生運用所學知識尋找合理的解題途徑以及推理論證能力提出了較高要求．試題緊扣課程標準，考查考生的邏輯推理能力、數學運算能力、分類討論的能力，具有較高的選拔功能．
【分析】解題思路 （1）當時，，，所以，，故曲線在點處的切線方程為．
（2），，設．
（i）若，則當時，，所以在上沒有零點．
（ii）若，由于在上單調遞增，所以當時，，故，所以在上單調遞增，從而當時，，在上沒有零點．
（iii）若，由于在上單調遞增，而，，所以在上存在唯一零點，從而可得，當時，；當時，．故在上單調遞減，在上單調遞增．因為，所以在上沒有零點，且．取，則
，
故在上存在唯一零點．
由于，故當時，是增函數，且，，故在上存在唯一零點，且當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增．因為，所以，又，所以在上存在唯一零點，且當時，，故；當時，，故，從而在上單調遞增，在上單調遞減．因為，所以在上沒有零點，且．取，則，
，
故在存在唯一零點．
綜上，a的取值范圍是．
【典例4】（2021·全國·統考高考真題）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
【解讀】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．(4)考查數形結合思想的應用．
【目標】本題考查利用導數研究函數的零點，含參分類討論求函數的單調區間.
【分析】(1)由函數的解析式可得：，
當時，若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.
，
由于，，故，
結合函數的單調性可知函數在區間上沒有零點.
綜上可得，題中的結論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當時，，，
而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.
當時，構造函數，則，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時：
，
當時，，
取，則，
即：，
而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.
，
由于，，故，
結合函數的單調性可知函數在區間上沒有零點.
綜上可得，題中的結論成立.
應用一 求函數的極（最）值
【例1】（2024·陜西寶雞·校考一模）已知函數，是自然對數的底數.
(1)當，時，求整數的值，使得函數在區間上存在零點；
(2)若，且，求的最小值和最大值.
【引導與詳解】
【答案】(1)
(2)，.
（1）第一步：求導得函數的單調性：
當，時，，
∴，∴
當時，，∴，故是上的增函數，
同理是上的減函數，
第二步：結合零點存在性定理即可求解：
，，，
故當時，，當時，，
故當時，函數的零點在內，∴滿足條件.
同理，當時，函數的零點在內，∴滿足條件，
綜上.
（2）第一步：由導數可得函數的單調性，進而可得最小值：
由已知
①當時，由，可知，∴；
②當時，由，可知，∴；
③當時，，∴在上遞減，上遞增，
∴當時，，
而，
第二步：構造函數，利用導數求解單調性：
設，
∵（僅當時取等號），
∴在上單調遞增，而，
第三步：求最大值：
∴當時，，即時，，∴
即.
應用二 研究函數的零點個數
【例2】（2024·全國·模擬預測）已知函數.
(1)求的圖象在處的切線方程；
(2)討論函數的零點個數.
【引導與詳解】
（1）第一步：根據導數的幾何意義進行求解即可：
【答案】(1)
由題意可得，
則.
因為，
所以所求切線方程為，
即；
（2）第一步：根據導函數的性質判斷原函數的單調性：
由題意可得.
由，得或，由，得，
則在和上單調遞增，在上單調遞減.
第二步：結合函數的零點定義分類討論進行求解即可.
當時，，當時，，且，.
當，即時，有且僅有1個零點；
當，即時，有2個零點；
當時，即時，有3個零點；
當，即時，有2個零點；
當，即時，有且僅有1個零點.
綜上，當或時，有且僅有1個零點；
當或時，有2個零點；
當時，有3個零點.
應用三 確定函數的交點問題
【例3】（2023·陜西寶雞·校考模擬預測）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：當時，曲線與曲線至多存在一個交點．
【引導與詳解】
（1）第一步：根據導數的幾何意義確定切線斜率：
因為，所以．
所以，．
第二步：根據切點坐標，從而得切線方程：
所以曲線在點處的切線方程為．
（2）第一步：構造函數，將兩條曲線交點問題轉化為函數的零點問題：
令，其定義域為．
第二步：對函數求導，確定函數的單調性及取值情況：
，．
令，，
所以在上單調遞增．
因為，，所以，
當時，，即，單調遞減；
當時，，即，單調遞增；
當時，，即，取得極小值．
，
因為，所以，，所以．
第三步：判斷其零點個數，即可證得結論：
因此，當時，，所以，，
即，，曲線與曲線無交點；
當時，，所以存在且僅存在一個，使得，
對且，都有，即．
所以當時，曲線與曲線有且僅有一個交點；
故當時，曲線與曲線至多存在一個交點．
應用四 解決不等式問題
【例4】（2023·貴州遵義·統考模擬預測）函數，其一條切線的方程為.
(1)求的值；
(2)令，若有兩個不同的極值點，且，求實數的取值范圍.
【引導與詳解】
（1）第一步：求導，設切點為，從而得到方程組：
，設函數在切點處的切線的方程為，
第二步：求參數值：
則，，
解得，；
（2）第一步：求導，得到為的兩根：
由（1）可知，，
，即為的兩根，
第二步：由得到，得到兩根之和，兩根之積：
故，解得或（舍去），
且，
第三步：計算出，由計算出不等式解集：
，
由可得，即，
第四步：得到實數的取值范圍：
因為，所以，
解得或（舍去），
綜上：
應用五 求解參數問題
【例5】（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）已知函數.
(1)當時，求函數在上的值域；
(2)若函數在上僅有兩個零點，求實數的取值范圍.
【引導與詳解】
（1）第一步：利用導數求得的單調區間：
當時，，所以，
令，則，
0
單調遞減 極小值 單調遞增
第二步：求得函數在上的值域；
所以，又，
所以在上的值域為.
（2）第一步：由，構造函數：
函數在上僅有兩個零點，
令，
第二步：利用導數，結合對進行分類討論來求得的取值范圍：
則問題等價于在上僅有兩個零點，
易求，因為，所以.
①當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，
所以，所以在上沒有零點，不符合題意；
②當時，令，得，
所以在上，在上，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為，
因為在上有兩個零點，
所以，所以.
因為，
令，
所以在上，在上，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；
所以，所以，
所以當時，在和內各有一個零點，即當時，在上僅有兩個零點.
綜上，實數的取值范圍是.
【點睛】求解函數單調區間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導數；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區間，考查這若干個區間內的符號，進而確定的單調區間：，則在對應區間上是增函數，對應區間為增區間；，則在對應區間上是減函數，對應區間為減區間.如果導函數含有參數，則需要對參數進行分類討論，分類討論要做到不重不漏.
應用六 證明問題
【例6】（2023·四川·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）已知函數和函數，且有最大值為．
(1)求實數a的值；
(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點，其橫坐標分別為，，，且，證明：．
【引導與詳解】
（1）第一步：根據的單調性得到最大值：
的定義域為R，且，，
當時，，遞增；當時，，遞減；
所以，
第二步：列方程求解：
所以，解得，又，所以a＝1.
（2）第一步：根據交點情況得到：
由（1）可知：在遞增，在遞減，
又，所以在遞增，在遞減，
和的圖象如圖所示：
設和的圖象交于點A，則當直線y＝m經過點A時，
直線y＝m與兩條曲線和共有三個不同的交點，
則，且，，，
因為，所以，即，
因為，，且在遞增，所以，
所以，
因為，所以，即，
第二步：結合的單調性即可得到，進而證明：
因為，，且在遞減，
所以，所以，
所以，即．
【點睛】函數零點問題：
（1）轉化為方程的根；
（2）轉化為函數與軸交點的橫坐標；
（3）轉化為兩個函數圖象交點的橫坐標.
方法一： 直接求導法
第一步：將函數進行求導，并分析其單調性.
第二步：根據函數的單調性得出函數為0的點.
第三步：通過函數為0的點，即可得出函數零點.
方法二： 分離參數法
第一步：令函數為0，并分離參數.
第二步：對不含參數的部分進行求導.
第三步：令導數為零，進而討論其單調性.
第四步：求函數的零點，進而求解.
方法三： 化成兩個函數交點問題
第一步：將函數零點轉化為兩個函數交點問題.
第二步：構造兩個函數.
第三步：對兩個函數分別求導以分別分析兩個函數的單調性.
第四步：求出函數交點，即可得出零點.
微點：求函數零點個數
【表現形式】①求函數零點個數；②證明函數零點的個數有X個③零點個數求參數范圍.
【步驟】
第一步：先通過導函數分析函數的單調性．
第二步：根據函數零點存在定理確定函數在每個單調區間上的零點個數為0還是1．
第三步：最終得到函數零點個數．
【例1】已知函數，．
（1）若，求的取值范圍；
（2）當時，方程（）在上恰有兩個不等的實數根，求的取值范圍．
（1）；（2）.
解析 （1）因為，所以．構建函數，所以，所以當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取最大值，所以的取值范圍為．
（2）先將方程實數根問題轉化為函數零點問題，再通過函數的單調性與零點存在定理求得的取值范圍．下面進入完整解題步驟：
因為當時，方程（）在上恰有兩個不等的實數根，所以方程（）在上恰有兩個不等的實數根．構建函數，，則函數恰有兩個零點．
因為，所以當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以當時，函數取最小值，又函數恰有兩個零點，所以所以的取值范圍為．
【例2】（2023·河北邯鄲·統考模擬預測）已知函數．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數的零點個數．
(1)；(2)答案見解析
解析：（1）當時，則，
，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）函數定義域為，
，
當，即時恒成立，所以在上單調遞增，
又當趨向于0時，，所以函數有一個零點；
當，即時令，解得，
所以當時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
當趨向于0時，當趨向于正無窮時，又，
令，
則，所以在上單調遞增，且，
若，即時函數有兩個零點；
若，即時函數有一個零點；
若，即時函數沒有零點；
綜上，當時函數沒有零點，當或時函數有一個零點，當時函數有兩個零點.
【跟蹤練習】
（2023·全國·模擬預測）
1．已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若有兩個零點，求實數的取值范圍．
（2023·陜西渭南·校考模擬預測）
2．已知函數，其中e為自然對數的底數．
(1)求的單調區間：
(2)討論函數在區間上零點的個數．
（2024·全國·模擬預測）
3．已知函數.
(1)當時，求的圖象在點處的切線方程；
(2)若函數有2個零點，求的取值范圍.
（2024·全國·模擬預測）
4．已知函數．
(1)若曲線在處的切線方程為，求，的值；
(2)若函數，且恰有2個不同的零點，求實數的取值范圍．
（2024·全國·模擬預測）
5．已知函數．
(1)當時，求的最小值；
(2)若，判斷的零點個數．
參考數據：，．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用導數的幾何意義求得切點與切線的斜率，從而得解；
（2）利用參變分離，構造函數，利用導數研究其性質，從而作出圖象，結合圖象即可得解.
【詳解】（1）當時，，則，
，所以．
故曲線在點處的切線方程為，即．
（2）由有兩個零點，
得方程在上有兩個不同的實數解．
當時，顯然方程沒有正實數解，所以．
則方程在上有兩個不同的實數解．
令，則．
顯然在上為減函數，又，
所以當時，；當時，．
所以在上單調遞增，在上單調遞減，且．
當時，；當時，，
要使方程在上有兩個不同的實數解，
則與的圖象在上有兩個不同的交點，
結合圖象可知，解得，
綜上，實數的取值范圍為．
2．(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）先求出，再根據有無極值點進行分類討論，求單調區間即可；
（2）根據第一小問中的單調情況，根據極值點相對于區間的位置關系分類討論即可.
【詳解】（1）因為，所以，
當時，恒成立，
所以的單調增區間為，無單調減區間．
當時，令，得，
令，得，
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為．
（2）由（1）知，．
①當時，在區間上單調遞增且，
所以在區間上有一個零點．
②當時，在區間上單調遞減且，
所以在區間上有一個零點．
③當時，在區間上單調遞減，在上單調遞增，
而．
當，即時，在區間上有兩個零點．
當，即時，在區間上有一個零點．
綜上可知，當或時，在上有一個零點，
當時，在區間上有兩個零點．
【點睛】方法點睛：利用導數處理函數零點常用方法
（1）構造新函數 ，利用導數研究的性質，結合的圖象，判斷函數零點的個數.
（2）利用零點存在定理，先判斷函數在某區間有零點，再結合圖象與性質確定函數有多少個零點.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用導數的幾何意義，即可求解切線方程；
（2）首先將函數，利用換元，并化簡為，，再構造函數，利用導數判斷函數的單調性和最小值，并結合函數的零點個數，可得，以及零點存在性定理，即可求解.
【詳解】（1）當時，，，
，，
根據導數的幾何意義可知，的圖象在點處的切線方程為；
（2），
令，即，
整理為：，
設，
即，則，
化簡為，，
設，
，令，得，，
當，，單調遞減，
當，，單調遞增，
所以當時，函數取得最小值，，
若函數有2個零點，即函數有2個零點，
所以，得，
，則，則在區間有1個零點，
，
設，,
，設，
，所以在上單調遞增，
，則在上單調遞增，
，即，則，
根據函數大單調性可知，在區間有1個零點，
所以函數有2個零點，則的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數研究切線，單調性，最值，零點，等問題，本題第二問的關鍵是由導數確定函數的性質，并結合函數的圖象特征，零點個數，即可確定不等式.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用函數的導數求解切線方程，比較系數，即可求解；
（2）求出的導函數，根據恰有2個不同的零點，利用同構轉化為方程恰有兩個不同的解，構造新的函數，利用導數判斷函數的單調性，進而得到的范圍.
【詳解】（1）由題知，，，
，
曲線在處的切線方程為，即，
解得；
（2）由題知，，
恰有2個不同的零點，即恰有2個不同的解，
即恰有2個不同的解.
設，
易知單調遞增，
恰有2個不同的解，
（解法一）設，，則恰有2個不同的零點，
，
當時，，當時，，
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
，
要使恰有2個不同的零點，則，即，
當時，，．
設，則，令，得，
在區間上單調遞增，在區間上單調遞增，
當時，，
在區間和區間上各有1個零點，
實數的取值范圍為．
（解法二）即恰有2個不同的解．
設，，
則，
當時，，當時，，
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
．
又當時，，當時，，
若恰有2個不同的解，則，得，
實數的取值范圍為．
5．(1)1
(2)零點個數為2
【分析】（1）先求導數，判斷函數的單調性，結合單調性可得最小值；
（2）利用導數判斷函數單調性，結合零點存在定理可得零點個數.
【詳解】（1）當時，，則，
易知單調遞增，且，
所以當時，單調遞減，
當時，單調遞增，所以．
（2）由題，，又，所以單調遞增，
因為，
所以存在唯一的，使，
且當時，單調遞減，
當時，單調遞增．
又，
所以在內有1個零點．
令，則，
令，則．
所以單調遞增，，
所以單調遞增，，
即，故在內有1個零點．
綜上，當時，的零點個數為2．
【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有兩個，一是利用所給值判斷區間端點值的符號，二是結合零點存在定理判斷零點個數.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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