資源簡介

第5講 利用導數證明不等式（講）
【典例1】（2023年高考數學（新課標Ⅰ卷）第19題）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）證明：當時，．
【解讀】試題將指數函數與一次函數用參數結合起來，構成所要研究的函數，通過對函數單調性、最值的研究，從多角度考查導數的基礎知識及利用導數研究函數性質的方法．試題設計的函數形式簡單，但對利用導數研究函數性質的通性通法考查得比較全面，既考查了分類討論的思想、化歸與轉化的思想，又考查了考生構造輔助函數、應用不等式放縮技巧的能力．
試題分步設問，第（1）問討論函數的單調性，通過在函數中設置參數，既考查利用導數研究函數性質的能力，又考查分類討論的思想，同時所得結果又為第（2）問做了鋪墊．第（2）問將函數與不等式有機結合，要求考生利用第（1）問的結論，將的證明轉化為證明，并構造輔助函數得到結論．試題考查由淺人深，對計算強度、思維深度的要求逐步提高，考查層次分明，重點突出，能較好地達到考查目的．試題所考查的雖然是運用導數研究函數的單調性的基本方法，但對考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分類與整合的數學思想，以及運用所學知識尋找合理的解題路徑的能力進行了全面考查．
【目標】試題考查基本求導公式及求導法則，考查利用導數判斷函數單調性、最值的方法；考查靈活運用導數工具分析、解決問題的能力；綜合考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，以及分類討論的思想．
【分析】解題思路 （1）討論函數單調性的一般方法是利用函數的導數的正負，即先求得，再判別其正負．由于函數的導數中含有參數，從而需要對參數進行分類討論．
（2）思路1 當時，利用（1）的結果知，當時，取得最小值，
所以．
從而將轉化為證明，即．
于是可以構造輔助函數（），通過研究的單調性得到結論．
思路2 同思路1，將第（2）問轉化為證明，即，
再進一步利用不等式得到結論．
思路3同思路1，將第問轉化為證明，即，
利用不等式得到，由此證明結論成立．
【典例2】（2023年高考數學（新課標Ⅱ卷）第22題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．
【解讀】（1）三角函數的導數是中學教學的重點與難點．試題巧妙地將三角函數與對數函數相結合，討論函數的極值問題，具有一定的綜合性．
（2）試題設計新穎，緊扣課程標準，全面考查了利用導數證明不等式、討論函數的單調性與極值等導數的相關問題，試題計算量小，要求考生多思考、少計算，符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求，具有較好的選拔功能．
（3）試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，使理性思維深度、知識掌握程度、運算求解能力不同的考生都能得到充分的展示，有效考查了考生的學習潛能，對中學數學教學具有積極的引導作用．
【目標】試題以三角函數、對數函數為背景，全面考查了導數及其應用．試題的第（1）問面向全體考生，體現試題的基礎性，通過構造函數并借助導數得到單調性，進而證明不等式，考查了考生運用函數模型解決問題的能力、化歸與轉化的能力，體現了函數與方程的數學思想在中學教學中的應用．試題的第（2）問面向有能力的考生，體現了試題的選拔性，通過第（1）問鋪設好的不等式，利用導數討論函數的單調性，進而得到極值，考查了考生分類討論的思想以及邏輯思維能力、運算求解能力，具有較好的選拔功能．
【分析】解題思路 （1）要證明：當時，，應考慮將導數作為工具，結合函數的單調性證明不等式．
構造函數，，利用導數容易證明在單調遞增，在單調遞減，結合，就可以證明當時，．
（2）若是的極大值點，則存在，使得當時，．為了找到滿足題意的，要通過的導函數的符號討論的單調性．
因為是偶函數，不妨設，又因為，不妨設．
，
分母，只需討論分子的符號．令．
第（1）問中的不等式為第（2）問做好了準備工作．
當時，，于是．
當時，，于是．
如果找到，使得當時，，則，故在單調遞增，從而，那么就不是的極大值點．要使，只需，又，所以只需考慮的符號，于是找到了分類討論的標準．
當時，．當時，，，故單調遞增，從而，因此不是的極大值點．
當時，，為了找到，使得當時，，
只需，即．此不等式不容易解，繼續進行不等式放縮：
，
只需，解得，即．
于是當時，，
從而，故在單調遞減．
又因為是偶函數，故是的極大值點．
綜上，a的取值范圍是．
【典例3】（2022年高考數學全國Ⅱ卷第22題）已知函數．
（1）當時，討論的單調性；
（2）當時，，求a的取值范圍；
（3）設，證明：．
【解讀】函數描述的是變量之間的依賴關系，而導數則是函數的瞬時變化率．在高中的數學教學中，引進導數及其應用的基礎知識，有利于學生更加深刻地理解不斷動態變化的事物本質，提高思維層次．導數的重要應用之一是利用導數討論函數的單調性、極值和最值，這也是高中數學教學的重要內容之一．試題全面考查了導數及其應用等基礎知識．函數模型簡潔大方，參數的位置新穎，這成為試題一個亮點．試題將參數放在指數位置上，這是以前試題中從未有過的．試題結論深刻，實際上是對常見不等式更精細地估計，即．
試題從多角度考查了利用導數研究函數性質的方法，對考生的邏輯推理能力、綜合應用所學知識分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．試題分步設問，逐步推進，考查由淺入深，層次分明，重點突出，內容豐富，很好地達到考查目的，使理性思維深度、知識掌握的牢固程度、運算求解嫻熟程度不同的考生都能得到充分展示，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題將指數函數與多項式進行運算構成所要研究的函數，通過對函數性質的研究，全面考查了導數及其應用等基礎知識．試題的第（1）問討論的單調性，需要考生對進行研究，面向大部分考生．考生能夠正確應用導數公式和求導法則進行導數運算，利用導數的正負討論函數的單調性就可以解決問題．第（2）問從多角度考查了利用導數研究函數性質的方法，為考生的發揮提供了廣闊的空間，對考生運用所學知識尋找合理的解題途徑以及推理論證能力提出了較高要求．第（3）問進一步遞進，利用第（2）問的結論，對和式進行變形得到最終的不等式，使得不同思維層次的考生都有發揮的空間．
試題緊扣課程標準，考查考生的邏輯推理、數學運算等關鍵能力，以及分類討論、轉化與化歸等數學思想方法，實現了高考服務人才的核心功能．
【分析】解題思路
（1）當時，，．
當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）．
令，則．
若，則，于是當時，，故，
因此在上單調遞減，，
從而，在上單調遞減，所以．
若，則，，當時，，在上單調遞增，故，
所以，在上單調遞增，故．
若，則．
綜上，a的取值范圍是．
（3）由（2）知，當時，．取，有．
故．
【典例4】（2022年高考數學全國甲卷理科第21題）已知函數．
（1）若，求的取值范圍；
（2）證明：若有兩個零點，則．
【解讀】函數描述的是變量之間的依賴關系，而導數則是函數的瞬時變化率．在高中的數學教學中，引進導數及其應用方面的基礎知識，有利于學生更深刻地理解不斷動態變化的事物本質，提高思維層次．導數的重要應用之一是利用導數討論函數的單調性、極值和最值，這也是高中數學教學的重要內容之一．試題將單調性、零點的概念、極值的概念等知識融為一體，全面考查了導數及其應用等基礎知識，對考生思維的嚴密性、綜合性都提出了較高的要求．試題的第（2）問是一道證明題，需要綜合運用函數的特征、函數的單調性，以及第（1）問的結論加以解決．試題從多角度考查利用導數研究函數性質的方法，對考生的邏輯推理能力、綜合應用所學知識分析解決問題的能力都提出了較高的要求．
試題分步設問，逐步推進，難度由淺入深，較好地考查了考生進一步學習的潛能，對中學數學教學具有較好的引導作用．
【目標】試題將指數函數、對數函數與多項式進行運算，構成所要研究的函數，通過對函數性質的研究，全面考查了導數及其應用等基礎知識．試題的第（1）問面向大部分考生．考生能夠正確運用導數公式和求導法則進行導數運算，利用導數的正負討論函數的單調性就可以解決問題．第（2）問則從多角度考查了考生利用導數研究函數性質的方法，拓展了考生思維空間，對考生運用所學知識尋找合理的解題途徑提出了較高要求．試題緊扣課程標準，考查考生的邏輯推理能力和數學運算能力，具有較好的選拔功能．
【分析】解題思路 （1）的定義域為．
當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取得最小值，最小值為．
由題設得，故的取值范圍是．
（2）不妨設．由（1）知，，于是．由于在上單調遞減，故等價于．
而，故等價于，即
，
整理得
．①
令，①式為，又在上單調遞增，故①式等價于，即．
令，則，所以當時，，故在上單調遞增．又，所以，即．
因此．
應用一 構造法證明不等式
【例1】（2024·全國·假期作業）已知函數的導函數為，且對任意的恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：構造函數，并求函數單調性：
由題意得構造函數，則對任意的恒成立，
所以在上是減函數，
第二步：分別求解：
對A：因為，所以，即，得，故A錯誤；
對B、C、D：因為，所以，即，故C錯誤；
因為，所以，所以，即，故D錯誤，故B正確.
故選：B.
應用二 參變分離法證明不等式
【例2】（2022上·遼寧撫順·高三校聯考期中）已知函數．
（1）討論在上的單調性；
（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．
【引導與詳解】
（1）第一步：根據函數求解導數
因為，，所以．
第二步：按照，確定導函數正負區間，得函數到單調性：
當時，由，得；由，得．
則在上單調遞減，在上單調遞增．
當時，由，得；由，得．
則在上單調遞增，在上單調遞減．
綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）第一步：根據不等式，參變分離得恒成立：
不等式恒成立，即不等式恒成立，即等價于恒成立．
第二步：構造函數確定函數的單調性：
設，則．
設，則．
設，則．
由，得，所以在上單調遞增，
則，即，故在上單調遞增．
因為，所以在上單調遞增，
則，得，所以當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
第三步：求最小值，則求得的取值范圍：
則．
故，即的取值范圍是．
應用三 二次求導法證明不等式
【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知函數
（1）若函數在點處的切線斜率為0，求a的值．
（2）當時．設函數，求證：與在上均單調遞增；
【引導與詳解】
（1）第一步：根據已知切線斜率等于求導函數在切點處的值列式求解即可：
的定義域為，
，，
依題意得，所以.
（2）第一步：對函數進行求導：
∵， ，
第二步：對導數的分子部分構造函數進行求導并討論其范圍，進而得出函數的單調性：
因為當時，，所以在上單調遞增，
且，故，即，∴：在上單調遞增；
第三步：對函數進行求導：
，，
∴，
第四步：對的分子部分構造函數并求導：
令，
而，
第五步：對的分子部分構造函數并求導，得出的取值范圍：
令，
，
∴在上單調遞減，且，故，
第六步：：求出函數的單調性：
∴，
∴在上單調遞增，且，
故，即，∴函數在上單調遞增；
應用四 解決雙變量問題
【例4】（2023上·陜西·校聯考階段練習）已知函數，．
（1）若函數在R上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）已知，，，，求證：；
（3）證明：．
【引導與詳解】
（1）第一步：由函數單調遞減得恒成立，分離參數法得出范圍：
對恒成立，即對恒成立．
因為，則．
（2）第一步：化簡函數，轉化條件：
，只需證明．
第二步：構造函數并求其單調性：
令，
，
則在單調遞減，則，
第三步：化簡，得出結論：
又，則，即成立，得證．
（3）第一步：逐個幅值：
由（2）知，令，
則有，
即，
，
，
…，
，
第二步：累加法得結論
累加可得，
故，從而命題得證．
應用五 比較兩函數大小
【例5】（2023上·湖南衡陽·校考期末）已知函數，.
（1）若的極大值為1，求實數a的值；
（2）若，求證：.
【引導與詳解】
（1）第一步：分類討論，利用導數判斷函數的單調區間：
的定義域為，.
當時，，在上單調遞增，函數無極值；
當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
第二步：根據極大值建立方程求解：
故當時，取得極大值，極大值為，解得.
經驗證符合題意，故實數a的值為.
（2）第一步：把問題轉化為證明：
當時，，故要證，即證.
第二步：構造函數，利用導數研究函數最值即可證明：
令，則，.
令，，則，
所以在上單調遞增，
又因為，，
所以，使得，即，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以.
又因為，即，
所以，
所以，即，故得證.
方法一： 構造法
第一步：將不等式右邊的項移到不等式的左邊，進而對不等式左邊構造函數.同時需要確定函數的定義域，使得函數有意義.
第二步：對函數求導討論起單調性.
第三步：利用單調性得出函數的單調區間和極最值，進而求出構造的函數的零點.
第四步：結合零點和單調區間即可證明不等式.
方法二： 參變分離法
第一步：理解題目：理解題目的要求和給定的不等式.明確要證明的不等式是什么，以及題目給出的條件是什么.
第二步：參變分離：需要將不等式中的參數和變量分開.這通常是通過移項和合并同類項來完成的.例如，如果要證明的不等式是，你可以嘗試將其轉化為.
第三步：構造函數：在參數和變量分離后，需要構造函數.這通常是通過將不等式轉化為函數的形式來實現的.
第四步：求導數：需要求出構造的函數的導數.導數可以理解函數的增減性.
第五步：分析導數：通過分析導數的符號，判斷函數在某個區間上的增減性.
第六步：得出結論：需要根據函數的增減性和已知條件得出結論.
方法三： 多次求導法
第一步，根據題目給出的函數表達式，求出函數的導數表達式.如果函數較為復雜，可能需要使用鏈式法則和復合函數求導法則等技巧.
第二步，根據導數與函數單調性的關系，判斷函數的單調性.如果導數大于0，則函數單調遞增；如果導數小于0，則函數單調遞減.
第三步，根據函數的極值定理，我們知道函數在極值點處的導數為0.因此，可以令導數等于0，求出函數的極值點.
第四步，根據函數的極值點，將函數的定義域劃分為若干個小區間，并判斷每個小區間內函數的單調性.
第五步，根據函數的值域定理，我們知道函數在定義域內的最大值和最小值一定出現在端點或極值點處.因此，我們可以計算出每個小區間內函數的端點和極值點的函數值，并比較大小，得出函數的最值.
第六步，根據最值與不等式的關系，如果函數的最值滿足題目要求的不等式條件，則原不等式成立.
微點：超越函數
【表現形式】函數是探索研究事物運動變化規律的工具，而不等式和方程都是對應函數運動變化的局部性態！不等式證明的常見方法有：比較法、反證法、數學歸納法、分析法、綜合法等，當利用上述方法證明不等式比較困難時，我們不妨站在函數的觀點看問題，利用函數的相關性質去研究不等式，以導數為工具，將不等式的證明化歸為利用導數來研究函數性質，通過導數證明不等式實現化難為易，化繁為簡．
一、常見的超越函數圖象
如何預判分離合適的函數：當時，如下有： 極小值極大值理解可以有效快速去判斷一個具有極值或最值的函數．
二、常見的不等式放縮
指數不等式
①（時取等） ②（時取等） ③（時取等）
④（時取等） ⑤（）時取等）
（6）（時取等） （7）（時取等）
（8）（和時取等） （9）（時取等）
對數不等式
①（時取等） ②（時取等）
③；（時取等）
④；（時取等）
⑤（時取等）
（6）（時取等）
（7）（時取等）
三角函數不等式
①（時取等） ②（時取等）
③（時取等） ④
【步驟】①構造函數；②直接求導，判斷函數的單調性；③求最值，得出結論；難點在于如何化歸為簡單不等式，然后作差構造函數，以下為主要方法：
①凹凸反轉法：分拆成兩個函數，研究兩個函數的最值；
②放縮法：把超越函數通過放縮化歸為證明類冪不等式；
③消元法：多變量不等式利用多變量之間的等量關系消元化歸為單變量不等式；
④分段討論法：主要針對含三角函數復雜不等式，利用三角函數的有界性與單調性分段證明；
⑤分析法：通過對函數的變形，等價化歸為證明簡單不等式；
⑥拆分法：主要針對數列不等式的證明，把拆分為多項之和或多項之積；
【例1】（2023·新高考Ⅰ卷改編）已知函數．證明：當時，．
答案 證明見解析
解析 作差：把當作主元，令滿足即可求導：又所以在單增，在單減．
即還得接著證明它大于0）因此再次構造．設，，，在單增，在單減，即得證．
【例2】（2023上·湖南岳陽·高三湖南省平江縣第一中學校考階段練習）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
答案 D
解析 令，其中，則，
所以，函數在上為增函數，故當時，，
所以，，即，
所以，，
因為正弦函數在上為增函數，且，
所以，，因此，.
故選：D.
【跟蹤練習】
（2023上·全國·高三期末）
1．已知函數在R上可導，且的圖象過點，其導函數滿足，對于函數，下列結論正確的是（ ）
A．函數在上為增函數 B．是函數的極小值點
C．函數一定沒有零點 D．
（2023上·江蘇南京·高三期末）
2．關于函數，下列判斷正確的是（ ）
A．的極大值點是
B．函數有且只有個零點
C．存在實數，使得成立
D．對任意兩個正實數，，且，若，則
（2023上·湖北·高三期末）
3．已知函數
(1)討論的單調性；
(2)當，時，證明：
（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學校考階段練習）
4．已知定義在上的函數.
(1)若為單調遞增函數，求實數的取值范圍；
(2)當時，證明：.
（2024上·浙江溫州·高三統考）
5．已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)求證：當時，．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．BD
【分析】構造函數，利用導數結合的條件即可得答案.
【詳解】對于A,B,因為,所以.
因為，
所以當時，則，單調遞減；
當時，則，單調遞增，
所以是函數的極小值點，所以A錯誤，B正確，
對于C，因為
所以當時，函數有零點,故C錯誤，
對于D，因為在上單調遞增，
所以，即，所以，故D正確.
故選：BD.
2．BD
【分析】求出函數的導數，判斷函數的單調性，可得極值點，判斷A；利用導數判斷的單調性，結合零點存在定理，即可判斷B；判斷的取值情況，可判斷C；由可得，要證，只要證，利用構造函數，結合函數的單調性即可判斷D.
【詳解】因為，所以當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以是的極小值，所以A錯誤；
B選項中，函數，則
由于，
即在上恒成立，所以函數在上單調遞減，
又當時，，當時，，
所以函數在上有唯一零點，
即函數有且只有個零點，B正確；
C選項中，由，
可得當且趨于無窮大時，無限接近于0，也無限趨于0，
故不存在實數，使得成立，
即不存在實數，使得成立，C錯誤；
D選項中，由得，
要證，只要證，
即證，由于，故令，
則，
故在上單調遞增，則，即成立，
故成立，所以D正確.
故選：BD.
3．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導，分類討論的取值，即可根據導函數的正負確定函數的單調性，
（2）根據函數的單調性求解端點值以及極值即可求證.
【詳解】（1），
當時，，，單調遞增；，，單調遞減．
當時，當或，，單調遞增；
當，，單調遞減，
當時，，所以在R上單調遞增．
當時，當或，，單調遞增；
，，單調遞減．
（2），
由可得，或，，單調遞增；
，，單調遞減．
又因為，，
所以恒成立．
4．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）為單調遞增函數，則恒成立，參變分離后構造函數求最值即可得；
（2）原不等式變形后即證在上恒成立，作差后構造函數借助導數研究單調性即可得.
【詳解】（1），
為單調遞增函數，
當時，恒成立，即恒成立，
令，則，
在上單調遞減，
，
，即實數的取值范圍為；
（2）只需證明：當時，恒成立，
即證當時，恒成立，
令，則，
令，則，
當時，，
為單調遞增函數，
當時，，
即當時，，
為單調遞增函數，
當時，，
即當時，，
當時，，
當時，，
即當時，.
5．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導，再分和兩種情況討論即可得解；
（2）由（1）可得當時，，要證，只需要證明即可，即，令，利用導數求出的最小值即可得證.
【詳解】（1）函數的定義域為，
，
當時，，所以函數在上單調遞增，
當時，令，則，令，則，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上所述，當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）由（1）可得當時，，
要證，只需要證明即可，
即，即，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，
所以當時，.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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