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第三講：特殊與一般思想【講】
【典例1】（2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第11題）
已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點
【解讀】試題是多項選擇題中相對較難的題目，大部分考生對抽象函數(shù)，尤其是函數(shù)方程的有關(guān)內(nèi)容不是非常熟悉．本題需要較強的邏輯思維能力，有利于考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，選拔創(chuàng)新性人才．
試題是一道重思維、輕計算的題目，題目中關(guān)于函數(shù)的方程的形式具有“齊次性”，即把函數(shù)換成時，方程是不變的，而D選項所陳述的性質(zhì)與“齊次性”相悖．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)較好的考生，在判斷D選項時，會注意到方程式的齊次性這一性質(zhì)，快速排除錯誤選項，從而節(jié)省時間．多選題的題型設(shè)置為不同能力水平的考生提供了發(fā)揮的空間，試題源于教材，緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，對考生的能力進(jìn)行了很好的區(qū)分，具有較好的選拔功能．
【答案】ABC
【目標(biāo)】試題以抽象函數(shù)為背景，考查了考生邏輯推理的核心素養(yǎng)，以及關(guān)于抽象函數(shù)的綜合分析能力．
【分析】解題思路 思路1 （1）代入可得，即，故選項A正確．
（2）代入可得，即，故選項B正確．
（3）對，代入可得，即，代入可得，因此恒成立，是偶函數(shù)，故選項C正確．
（4）由于且，我們對正實數(shù)考慮函數(shù)（這樣由可推出的所有取值）．題設(shè)可轉(zhuǎn)化為對任意正實數(shù)，成立，由這個式子比較容易想到的解為，對應(yīng)的（），且．當(dāng)參數(shù)時，是的極大值點而非極小值點．故選項D錯誤．
思路2 處理抽象函數(shù)類型的問題，一般思路是先代入一些特殊值，希望得到關(guān)于函數(shù)取值的信息．這要求代入的變量的特殊值能使得題目中的式子變得盡量簡單，例如本題對變量依次代入特殊值，，，都滿足，這時題設(shè)式子可以合并同類項，呈現(xiàn)出較為簡單的形式．通過帶入這些特殊值，得到的信息足以判斷ABC三個選項均正確．
對于選項D，可以觀察到當(dāng)函數(shù)滿足題意時，另一個函數(shù)也滿足題意．因此如果D正確，則是的極小值點，也是的極小值點，這樣既是的極小值點，又是極大值點，導(dǎo)致矛盾，因此選項D不正確．
【典例2】（2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第4題）若為偶函數(shù)，則（ ）
A． B．0 C． D．1
【解讀】試題設(shè)計簡潔，問題明確，給出了一個含有參數(shù)的函數(shù)解析式，要解決的是關(guān)于函數(shù)奇偶性的問題．其中函數(shù)的主干部分為對數(shù)函數(shù)，其基本性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容和必備知識，屬于考生熟悉的知識范疇．具體來說，本試題包含如下諸多亮點．
（1）突出基礎(chǔ)性要求，助力“雙減”政策落地．高考“四翼”考查要求中的基礎(chǔ)性表現(xiàn)為深刻理解基礎(chǔ)知識，掌握基本技能，學(xué)會實際應(yīng)用．這就要求考生對基本概念、基本原理有比較深刻的理解，對學(xué)科的研究對象、研究內(nèi)容、研究方法等有整體把握，對教材的知識能融會貫通，為進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)展提供可靠的基礎(chǔ)支撐．本試題首先就是要求考生對函數(shù)的奇偶性、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等主干知識有整體把握，并能熟練地加以運用．
（2）注重解題思路的多元性和解題方法的靈活性．突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重通性通法．本試題的求解，既可以通過驗證函數(shù)奇偶性的定義，也可以巧妙應(yīng)用奇偶函數(shù)的運算性質(zhì)，使不同思維水平的考生都能充分發(fā)揮．
（3）試題位于試卷靠前位置，考查對數(shù)函數(shù)等考生熟悉的內(nèi)容，有利于穩(wěn)定考生情緒，助力考生正常發(fā)揮，體現(xiàn)了高考“立德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能．
【答案】B
【目標(biāo)】試題以對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)為主干，考查函數(shù)的奇偶性和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力以及綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力
【分析】解題思路 思路1 利用偶函數(shù)的定義進(jìn)行計算．
由為偶函數(shù)知，當(dāng)或時，，即，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，整理得，所以，故選B．
思路2 代入特殊值進(jìn)行計算．
容易看出，同時．由可得，故選B．
思路3 利用奇偶函數(shù)的運算性質(zhì)．
我們知道，奇偶函數(shù)之間經(jīng)過算術(shù)運算，所得函數(shù)仍為奇函數(shù)或者偶函數(shù)．具體而言，有如下常用結(jié)論：
（1）兩個奇函數(shù)相加仍為奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)相加仍為偶函數(shù)；
（2）兩個奇函數(shù)相減仍為奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)相減仍為偶函數(shù)；
（3）兩個奇函數(shù)相乘為偶函數(shù)，一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)相乘為奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)相乘為偶函數(shù)；
（4）奇函數(shù)的倒數(shù)仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)的倒數(shù)仍為偶函數(shù)（在倒數(shù)有意義的范圍內(nèi)）．
（5）兩個奇函數(shù)相除為偶函數(shù)，一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)相除為奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)相除為偶函數(shù)（在除法有意義的范圍內(nèi)）．
本題中，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易得是一個奇函數(shù)．事實上，記，則當(dāng)或時，有．由題設(shè)，為偶函數(shù)，故作為偶函數(shù)與奇函數(shù)的商，是一個奇函數(shù)，從而得到，故選B．
【典例3】（2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第13題）
已知向量，滿足，，則______．
【解讀】試題題目簡潔清晰，主干部分包括兩個關(guān)于向量，的條件，要解決的問題是確定向量的長度．其中，題設(shè)條件不涉及向量的坐標(biāo)、角度、方向等，而只包含經(jīng)過代數(shù)運算后的向量長度信息．具體來說，試題包含如下諸多亮點．
（1）培養(yǎng)核心素養(yǎng)，發(fā)展素質(zhì)教育．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科高考命題著力落實基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求，問題設(shè)計充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點，注重數(shù)學(xué)的通用性、嚴(yán)謹(jǐn)性及應(yīng)用性．試題考查的向量是中學(xué)數(shù)學(xué)的必備知識，屬于考生熟悉的知識范疇，要求考生運用科學(xué)思維對題目所給條件加以研究和分析．
（2）注重解題思路的多元化和解題方法的靈活性．試題給不同思維層次的考生提供了選用不同解題策略的空間，使考生個體理性思維的廣度和深度得到了充分展示，較好地考查了考生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能．試題的求解，既可以應(yīng)用向量長度和數(shù)量積的關(guān)系，不建立坐標(biāo)系，不依賴向量具體坐標(biāo)；也可以通過假設(shè)平面（立體）向量的坐標(biāo)代入驗證條件，進(jìn)而得到結(jié)論．
（3）邏輯推理是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)．邏輯推理核心素養(yǎng)是高考的重點考查內(nèi)容，要求考生掌握推理的基本形式和規(guī)則，探索和表述論證過程，有邏輯地進(jìn)行表達(dá)和交流．注意到試題所給條件只能確定向量的長度，但不足以確定其方向；同樣，向量的長度與方向也無法由題設(shè)得到．因此，本題體現(xiàn)了一定程度的開放性，對思維靈活性與邏輯嚴(yán)密性提出了較高要求．值得指出的是，直接代入（或者）雖然可以滿足題設(shè)兩個條件，得到的結(jié)果．然而這不足以保證結(jié)論的唯一性，從邏輯推理的角度看是不完整的．
【答案】
【目標(biāo)】本題考查向量的代數(shù)運算、數(shù)量積運算及其幾何意義，特別是向量長度和數(shù)量積的關(guān)系，考查考生理性思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，以及邏輯思維、運算求解等關(guān)鍵能力．
【分析】解題思路 思路1 利用向量數(shù)量積的定義及運算律．
由向量長度和數(shù)量積的關(guān)系，根據(jù)題設(shè)可知，．由數(shù)量積的運算律得，，因此，故．
思路2 利用平面向量的坐標(biāo)運算．
作為一道填空題，可以假設(shè)題目中的向量均為平面向量．設(shè)向量坐標(biāo)，．由得，由得，整理可得．所以，故．完成這一過程后不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)論對空間向量同樣成立．
【典例4】（2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第22題）
在直角坐標(biāo)系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
【解讀】試題有一定難度和較好的區(qū)分度，需要考生有較強的綜合分析能力．試題將一個邊長可變的矩形搭在拋物線上，允許它在拋物線上滑動，需要考慮滑動過程中讓矩形周長最小化的問題．試題需要一定的動態(tài)思維能力，需要大致想象滑動過程中矩形各個元素的變化情況，并找到變化中的不變量．
在對試題的思考解答過程中，考生需要不斷地將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，或者把問題化歸為已經(jīng)解決的情形．在第一種解題思路中，考慮給定邊長的矩形符合條件的充要條件，這一步是等價轉(zhuǎn)化，接下來的證明思路（證明兩個系數(shù)均不超過某個值）也是基于這個等價轉(zhuǎn)化，在這種思路下會比較容易找到方向，不會使不等式放縮過度．在第二種解題思路中，需要考慮二元不等式，一般是先考慮一種比較簡單的情形，再把較復(fù)雜情形化歸為已解決的簡單情形，或者用簡單情形的一些結(jié)果（函數(shù)的最值性質(zhì)）幫助解決較復(fù)雜情形下的問題．
試題極具創(chuàng)新性，注重考查思維過程，突出對考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，并且計算量合理，有利于選拔創(chuàng)新性人才．
【答案】
（1）設(shè)點，則，兩邊平方并化簡，可得，
即的方程為．
（2）解法1 設(shè)矩形的頂點，，，按順時針排列，
設(shè)頂點，，在軌跡上．
設(shè)向量的方向向量為，
向量的方向向量為，
設(shè)邊長，．
向量，
這樣，．
同理可得，
兩式相減得，
即．
由于，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，
這是因為．
同理，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)．
因此，
而與不能同時成立，不等式不能取等號，即．
因此矩形周長．
解法2 設(shè)點，，的坐標(biāo)分別為，，．由于軌跡關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)．由于，直線，中恰有一條的斜率大于0，不妨設(shè)的斜率，則直線的方程為，直線的方程為，代入的方程可得，（由知）．
則，，
矩形的周長為．
（ⅰ）當(dāng)時，，
記，則．
考慮函數(shù)（），
由，可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取得最小值．
故．
（ⅱ）當(dāng)時，．
若，則；
若，則；
若，則．
綜上，矩形的周長大于．
解法3 周長的表達(dá)式及對情形、情形的分析同解法2．
當(dāng)時，．
若，令．
當(dāng)時，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以．
故．
若，令，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以．
故．
【目標(biāo)】試題以解析幾何中的拋物線為背景，考查不等式估計、函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道綜合性較強的題目，有助于選拔創(chuàng)新性人才．
【分析】解題思路 思路1 在拋物線上，任意兩點構(gòu)成的向量可以唯一確定這兩個點的位置，矩形有三個頂點在拋物線上，即有兩條邊對應(yīng)的向量卡在拋物線上，我們考慮這兩條邊，的長度與方向，由于射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后恰好到射線的位置，因此兩邊的方向恰好差90°．
我們的思路是考慮一個給定邊長的矩形，能否找到合適的角度，使得有三個頂點搭在拋物線上．最終我們算出邊長為，的矩形存在的必要條件，即存在角使得下式成立
上式也是充分條件，若存在這樣的角，取，并使，，則，，均在拋物線上．
我們在式子成立的前提下證明，如果的系數(shù)，可以取是足夠小的正數(shù)，再取接近，并且接近，使，此時會使得矩陣周長小于．
因此我們有必要證明式子中，的系數(shù)均不超過，例如對，我們可以轉(zhuǎn)化為的多項式再通過因式分解來證明，或者用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值來證明，也可以用均值不等式來證明．
當(dāng)式子中，的系數(shù)均不超過（且不同時等于）時，我們有，從而推出矩形的周長．
值得注意的是，題目中的不能換為更大的數(shù)．當(dāng)時，取是很小的正數(shù)，取，周長可以非常接近．直觀地看，此時點與點在點附近，點與點在點附近，拋物線在點處的切線垂直于，且線段長度，因此是周長的最優(yōu)下界．
思路2 我們使用比較常規(guī)的方法，考慮矩形的邊的斜率以及頂點的坐標(biāo)之后，可以給出周長的表達(dá)式，接下來需要證明一個二元不等式．由于的表達(dá)式中有絕對值符號，因此自然想到按照絕對值里面式子的正負(fù)分類討論．
固定來看的表達(dá)式，當(dāng)時，越小越小，因此可以自然地放縮，將問題轉(zhuǎn)化為只含的不等式，即證．接下來通過換元，就將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求一個比較常規(guī)的函數(shù)的最小值問題．
當(dāng)時，考慮此時的表達(dá)式與之前時式子的關(guān)聯(lián)，我們?nèi)匀豢紤]先固定，讓變化，看對式子的影響，即先對優(yōu)化再對優(yōu)化．
當(dāng)時，越大式子越小，我們把看成代入的表達(dá)式作放縮，此時式子變成與之前相同的形式，可以用之前的函數(shù)的結(jié)果來證明．
當(dāng)時，越小式子越小，我們把看成0代入的表達(dá)式作放縮，也可以轉(zhuǎn)化為與函數(shù)有關(guān)的形式，最終證明題目結(jié)果．
應(yīng)用一 特殊化
【例1】在中，為邊上的中線，為的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步 題中對的形狀沒有任何定量限定，故可以將特殊化，然后利用坐標(biāo)運算求解；
第二步
如圖，不妨設(shè)是以為斜邊的等腰直角三角形
故，，，，可得，
，，令；
故可得，解得，，故選A．
【例2】設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【引導(dǎo)與詳解】
第一步 因為對正三棱錐的底邊長與側(cè)棱長沒定量，可選特殊化圖形
取為正四面體，然后補成正方體（如左圖）；
第二步 用特殊點
因為是棱上的點，取為中點，再通過建系空間向量坐標(biāo)運算（這里就不展示具體過程）
易得，，，故選B．
【例3】若是偶函數(shù)，則實數(shù)______．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步
函數(shù)是上的偶函數(shù)，故由題意可知對都有，
第二步 代入特值定參數(shù)
令，可得，
，由可得．
應(yīng)用二 具體化
【例4】已知函數(shù)的定義域為，且，，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【引導(dǎo)與詳解】第一步 抽象函數(shù)具體化：用特殊函數(shù)去滿足題中要求，
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，
可設(shè)；
第二步 要確定與需知兩個自變量的函數(shù)值，體現(xiàn)方程的思想：
因為，
令，可得，，故，
所以，；
第三步
所以符合條件，
因此的周期，，，且，，，，，所以，
由于22除以6余4，所以．故選：A．
應(yīng)用三 一般化
【例5】設(shè)，則下列不等式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步，觀察數(shù)值特點，找對應(yīng)函數(shù)，一般化
設(shè)，則由指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，
得，
第二步
設(shè)，則冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
得，
所以.
故選：B
【例6】酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20 79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車，都屬于違法駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時25%的速度減少，要保證他不違法駕車，則他至少要休息（其中取）（ ）
A．7小時 B．6小時 C．5小時 D．4小時
【引導(dǎo)與詳解】
第一步 列不等式，一般化
設(shè)需要休息小時，依題意，，，
第二步
兩邊取以為底的對數(shù)得，
所以，
所以至少需要小時.
故選：B
應(yīng)用四 歸納推理
【例7】古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為，記第n個k邊形數(shù)為，下面列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：
三角形數(shù)，
正方形數(shù)，
五邊形數(shù)，
六邊形數(shù)，
以此類推，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步 依據(jù)邊數(shù)計算，觀察規(guī)律
因為三角形數(shù)，
正方形數(shù)，
五邊形數(shù)，
六邊形數(shù)，
第二步 歸納一般結(jié)論
所以可以類推得到：第n個k邊形數(shù)為，
于是有，，，，因此選項C是錯誤的.
故選:C.
方法一： 特殊處理：在不改變本質(zhì)的基礎(chǔ)上，可以結(jié)合具體題目進(jìn)行賦特值、構(gòu)造特殊函數(shù)、利用特殊圖形、特殊點、特殊位置等來進(jìn)行特殊處理.
方法二： 一般化：對于類似與具體函數(shù)值比大小，可尋求相應(yīng)函數(shù)并聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)來迎刃而解.
方法三： 歸納推理：從具體的個別事實或現(xiàn)象中，發(fā)現(xiàn)它們之間的共性和規(guī)律，進(jìn)而推廣到更廣泛的范圍.
微點：數(shù)學(xué)歸納法
【表現(xiàn)形式】當(dāng)問題的結(jié)論與自然數(shù)n有關(guān)或是不能直接利用推理證明（或直接證明不好敘述），可用數(shù)學(xué)歸納法
【步驟】①驗證n=1時命題成立
②假設(shè)n=k時命題成立
③證明n=k+1時命題也成立
【例1】若正項數(shù)列中，，，則的值是（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】,
在正項數(shù)列 中, 當(dāng) 時, , 解得 ,
當(dāng) 時, , 解得 ,
猜想 ,
證明: 當(dāng) 時, 顯然成立;
假設(shè) 時, ,
則當(dāng) 時,
.
故 時, 結(jié)論也成立.
故 ,
故選: C.
【例2】已知，．
（1）求在處的切線方程；
（2）求證：對于和，且，都有；
（3）請將（2）中的命題推廣到一般形式，井用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題．
【詳解】（1）因為，所以，
又，所以求在處的切線方程為．
（2）不妨設(shè)，
令，，
則，
因為，
所以，
所以在上恒成立．在上單調(diào)遞減，
所以，即．
（3）對于任意的，任意的，，
都有，
證明：①當(dāng)時，由（2）知，命題顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)時命題成立．
即對任意的，，，…，及，，2，3，…，k，．
都有．
現(xiàn)設(shè)，，，…，，及，，2，3，…，k，，．
令，，2，3，…，k，則．
由歸納假設(shè)可知
所以當(dāng)時命題也成立．
綜上對于任意的，任意的，且，
都有．
【跟蹤練習(xí)】
1．若，則（ ）
A． B．
C． D．
2．過拋物線(>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于
A．2 B． C． D．
3．如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是從一個正三角形開始，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一個“雪花”狀的圖案.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，把圖①、②、③、④……中圖形的周長依次記為，得到數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項和為，若時，則的最小值為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，）

A．5 B．8 C．10 D．12
4．如圖，在平行四邊形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足為P，且 .
5．記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設(shè)β=0則sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換
所以
即
故選：C.
2．C
【分析】設(shè)PQ直線方程是則x1，x2是方程的兩根，借助韋達(dá)定理即可得到的值．
【詳解】拋物線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，
焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)過的直線方程為，
，整理得．
設(shè)，，，
由韋達(dá)定理可知：，，
，
，
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，，，
，
的值為，
故選：C．
【點睛】涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．
3．C
【分析】觀察圖形可知周長形成的數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，即可求出與，從而得到關(guān)于的不等式，解得即可..
【詳解】觀察圖形知，各個圖形的周長依次排成一列構(gòu)成數(shù)列，
從第二個圖形開始，每一個圖形的邊數(shù)是相鄰前一個圖形的倍，邊長是相鄰前一個圖形的，
因此從第二個圖形開始，每一個圖形的周長是相鄰前一個圖形周長的，即有，
因此數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，，
數(shù)列的前項和為，
若，則，即，
所以，
所以，又為正整數(shù)，所以的最小值為.
故選：C
4．18
【分析】設(shè)，將所求轉(zhuǎn)化為，然后利用平面向量的數(shù)量積的定義轉(zhuǎn)化計算
【詳解】
則，,
所以 ,
故答案為：18.
【點睛】本題考查平面向量加法的幾何運算、平面向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法
5．2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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