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第3講 三角函數的最值與范圍（講）
【典例1】（2023年高考理科數學（全國乙卷）第6題 2023年高考文科數學（全國乙卷）第10題）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】函數是現代數學最基本的概念，而三角函數是研究周期函數的重要工具，在中學數學及數學的后續理論中都具有重要的地位．試題以正弦型函數為載體，給出函數半周期的部分信息，考查考生靈活應用知識，分析函數圖像與性質的能力．解決問題的關鍵在于有清晰的思路和明確的計算方式，熟練的考生可以結合圖像的周期和特殊點直接排除，迅速得到正確答案．試題體現了重視觀察和思考、減少計算量的命題思路，圍繞函數圖像與性質，體現了對主干知識的考查側重于理解和應用的要求，考查了考生邏輯推理能力、運算求解能力以及數形結合的思想．試題解法多樣，不同思維層面的考生都能得到充分考查．
【答案】D
【目標】試題考查三角函數的圖像、周期性，以及特殊點處的三角函數值；著重考查邏輯推理能力、運算求解能力及數形結合的思想．
【分析】解題思路 思路1 由題設可知，，且函數的半周期為，故，且可取，即得．故，正確選項為D．
思路2 由于正弦型函數的對稱軸必過極值點，因此由題設可知，，且函數的半周期為，即得的周期為，所以且．
如圖，由正弦型函數圖像的性質可知，為的零點，
故在區間上的圖像由在區間上的圖像平移而得．
由于，因此．故選D．
思路3 由題設可知，，且函數的周期為，所以．由正弦型函數圖像的性質可知，為的零點，又在區間單調遞增，故，選項A，B不成立．由于居于區間的后半段，因此，故正確選項是D．
【典例2】將函數 的圖像向左平移 個單位長度后得到曲線 ，若 關于 軸對稱，則 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解讀】先由平移求出曲線 的解析式，再結合對稱性得 ，即可求出 的最小值.
【答案】C
【目標】本題考查由正弦（型）函數的奇偶性求參數，求圖象變化前（后）的解析式.
【分析】由題意知: 曲線 為 ，又 關于 軸對稱，則 ，
解得 ，又 ，故當 時， 的最小值為 .
故選: C.
【典例3】（2023·天津·高考真題）在 中， ，點 為的中點，點為的中點，若設 ，則可用 表示為______；若 ， 則 的最大值為______.
【解讀】空1：根據向量的線性運算，結合 為 \$C D\$ 的中點進行求解；空 2 : 用 表示出 ，結合上一空答案，于是 可由 表示，然后根據數量積的運算和基本不等式求解.
【答案】
【目標】本題考查余弦定理解三角形，用基底表示向量，用定義求向量的數量積，基本不等式求積的最大值.
【分析】空1: 因為 為 \$C D\$ 的中點，則 ，可得 ，
兩式相加，可得到 ，
即 ，則 ；
空2: 因為 ，則 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
記 ，
則 ，
在 中，根據余弦定理: ，
于是 .
由 和基本不等式， ，
故 ，當且僅當 取得等號，
則 時， 有最大值 .
故答案為: .
【典例4】（2022·全國·高考真題）記 的內角的對邊分別為，已知 .
（1） 若，求 ；
（2）求的最小值.
【解讀】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將 化成 ，再結合 ，即可求出；
（2）由 （1） 知， ，再利用正弦定理以及二倍角公式將 化成 ，然后利用基本不等式即可解出.
【目標】本題考查正弦定理邊角互化的應用，基本不等式求和的最小值.
【分析】 （1） 因為 ，即 而 ， 所以 ；
（2） 由 （1） 知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
當且僅當 時取等號，所以 的最小值為 .
應用一 最大值和最小值問題
【例1】（2024·天津·?？寄M預測）已知為偶函數，，則下列結論錯誤的個數為（ ）
①；
②若的最小正周期為，則；
③若在區間上有且僅有3個最值點，則的取值范圍為；
④若，則的最小值為2．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【引導與詳解】
第一步：結合已知條件求的值：
對于①：若，為偶函數，
則，即，又，所以，故①正確；
第二步：結合的最小正周期，求的值：
對于②：若的最小正周期為且，則，所以，故②正確；
第三步：利用在區間上有且僅有3個最值點，得出的范圍：
對于③：由，，得，
若在區間上有且僅有個最值點，
則，解得，故③正確；
第四步：求出的范圍，進而根據題目條件得出的最小值：
對于④：因為，若，
則或，，
解得或，
又，所以的最小值為，故④錯誤.
故選：A.
應用二 求參數范圍
【例2】（2024·陜西榆林·統考一模）已知函數.若存在，使不等式成立，則的取值范圍是______.
【引導與詳解】
第一步：根據的范圍求出范圍：
當時，，則，
第二步：求出的值域，可得答案：
所以，因此在上的值域為，
若存在，使不等式成立，
則，所以的取值范圍是.
故答案為：.
應用三 探索三角函數性質
【例3】（2024·江蘇蘇州·南京航空航天大學蘇州附屬中學校考模擬預測）已知，則（ ）
A．函數的最小正周期為
B．將函數的圖象向右平移個單位，所得圖象關于軸對稱
C．函數在區間上單調遞減
D．若，則
【引導與詳解】
第一步：運用輔助角公式化簡，得到函數的表達式：
由，得，
第二步：再結合正弦型圖象與性質，三角函數圖象的平移變換逐項判斷即可：
對于：最小正周期為，所以正確；
對于：將函數的圖象上所有點向右平移，
所得圖象的函數解析式為，
而為奇函數，所以其圖象關于原點對稱，所以錯誤；
對于：令，，化簡得，
當時，，又因為，
所以函數在單調遞減，所以正確；
對于選項：因為，所以，
所以，所以，
即得，也就是，
所以正確.
故選：．
應用四 與三角形結合
【例4】（2024·四川自貢·統考一模）如圖，在平面四邊形中，角.設.
（1）用表示四邊形對角線的長；
（2）是否存在使四邊形對角線最長，若存在求出及四邊形對角線最長的值，若不存在請說明理由.
【引導與詳解】
（1）第一步：根據余弦定理求得關于的表達式：
設，在三角形中，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
在中，，所以，
在三角形中，
由余弦定理得
.
（2）第一步：根據三角函數的最值等知識求得正確答案.
存在，理由如下：
由（1）得，
所以當時，取得最大值為，
此時.
應用五 與向量結合
【例5】（2024·全國·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度，再將其縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍得到的圖象．
（1）設，，當時，求的值域；
（2）在中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知，，，求內切圓半徑r的值．
【引導與詳解】
（1）第一步：首先利用圖象變換規律求函數的解析式：
由題意知，
所以，，所以，
第二步：求，代入得到函數：
因為，，
所以，
所以．
第三步：通過換元，設，轉化為關于的函數：
又，令，
則．
第四步：變形后利用函數的單調性，即可求函數的值域；
當時，是減函數，是增函數，所以是減函數，且
則在是增函數，
當趨向0，趨向1，當趨向1，趨向正無窮，
所以函數的值域是；
（2）第一步：首先求角的值：
因為．且，則，所以．
第二步：利用正弦定理化簡面積，并結合三角形的面積公式，即可求解三角形：
因為
由正弦定理，，得．
又，所以，即．所以，，．
所以．
第三步：用三角形的內切圓半徑表示三角形的面積，即可求解：
由，得，解得．
所以內切圓半徑的值為.
方法一： 配方法
第一步：確定變量：首先確定題目中的自變量，通常為角度或三角函數值.
第二步：建立函數：根據題目要求，建立目標函數，通常為關于角度或三角函數值的二次函數.
第三步：配方：將目標函數進行配方，將其轉化為完全平方的形式.配方的目的是為了更容易地找到函數的對稱軸和頂點.
第四步：分析性質：根據配方后的函數，分析其開口方向、對稱軸和頂點.這些信息對于確定函數的最大值或最小值以及對應的自變量值非常重要.
第五步：求解最值：根據分析的性質，確定函數的最大值或最小值，并求出對應的自變量值.
第六步：檢驗：最后，需要檢驗求解得到的最大值或最小值是否符合題目的要求，如不符合則需要進行調整.
通過以上步驟，我們可以使用配方法解決三角函數的最值與范圍問題.
方法二： 換元法
第一步：理解問題：首先，你需要明確問題的要求，即求三角函數的最值或范圍.
第二步：觀察和設定：觀察給定的三角函數表達式，嘗試將其轉化為更容易處理的形式.通常，這涉及到將一個復雜的表達式簡化，或者將其轉化為一個更簡單的函數.
第三步：引入換元：換元是解決問題的關鍵步驟.選擇一個變量（通常稱為新變量或換元），用它來代替原函數中的某些部分.這個新變量應該是簡單的，易于處理的，并且能夠簡化問題.
第四步：簡化問題：使用新變量替換原函數中的部分后，問題可能會變得更簡單.此時，你可以更容易地找到函數的定義域、值域或最值.
第五步：求解最值或范圍：一旦問題簡化，你就可以使用基礎的數學工具（如導數、不等式等）來找到函數的最值或范圍.
第六步：驗證答案：最后，你需要驗證你的答案是否正確.這通常涉及到將答案代回原函數，并檢查它是否滿足原始條件.
方法三： 分離常數法
第一步：理解問題：首先，要明確問題的目標，即要求解三角函數的最值或范圍.
第二步：觀察函數形式：查看給定的三角函數表達式，嘗試將其轉化為更容易處理的形式.如果可以，將其轉化為正弦、余弦或正切函數的形式.
第三步：分離常數：在三角函數表達式中，嘗試將常數項與其他項分離.這通常涉及到對表達式進行整理或變形.
第四步：利用三角函數性質：利用三角函數的性質，如周期性、有界性等，來進一步簡化問題.
第五步：求解最值或范圍：根據三角函數的性質和步驟3中得到的表達式，求解最值或范圍.
第六步：驗證答案：最后，驗證得到的答案是否符合題目的要求，確保答案的正確性.
微點：處理三角函數最值（值域）的常用方法
【表現形式】處理三角函數最值（值域）的常用方法主要有兩種：一種是轉化為只含有一個三角函數名的形式，如，結合三角函數圖象進行處理；另一種方法是轉化為二次型：如的形式，結合二次函數的圖象性質求最值．
【步驟】①化簡函數；②結合函數的圖象，得出相關性質；③求最值或范圍.
【例1】（2024·江西贛州·南康中學校聯考一模）已知函數，若且，則的最小值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
答案 D
解析 ∵，
∴是的一個最大值點，即直線是圖象的一條對稱軸，
又，
∴，則，
∴，
又∵在時取得最大值，可得，
∴，
又∵，
∴的最小值為13.
故選：D.
【例2】（2024·陜西咸陽·?？寄M預測）已知函數的零點為軸上的所有整數，則函數的圖象與函數的圖象的交點個數為（ ）
A． B． C． D．
答案 D
解析 因為函數的零點為軸上的所有整數，所以函數的最小正周期，
所以，且，結合，可得，
所以．
作出函數與函數的圖象，如下圖所示，
可知函數的圖象與函數的圖象有個交點，
故選：D．
【點睛】方法點睛：函數零點的求解與判斷
（1）直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；
（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間上是連續不斷的曲線，且，還必須結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性）才能確定函數有多少個零點；
（3）利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
【跟蹤練習】
（2024·遼寧沈陽·統考一模）
1．如圖，點是函數的圖象與直線相鄰的三個交點，且，則（ ）
A．
B．
C．函數在上單調遞減
D．若將函數的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數的圖像，則的最小值為
（2023·云南紅河·統考一模）
2．已知則（ ）
A．的值域為
B．是奇函數
C．若為函數的零點，且，則
D．的單調遞增區間為
（2023·全國·模擬預測）
3．已知函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C．在上單調遞增 D．的圖象關于點對稱
（2023·河北唐山·遷西縣第一中學?？级＃?br/>4．將函數的圖象向右平移個單位長度，再將得到的曲線上所有點的橫坐標變為原來的（），縱坐標不變，得到函數的圖象，若在上有且僅有兩個不同實數滿足，則的取值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2023·福建福州·福州四中?？寄M預測）
5．已知函數，則下列結論正確的為（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關于對稱
C．的最小值為
D．在區間上單調遞增
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ACD
【分析】令求得根據求得，根據求得的解析式，再逐項驗證BCD選項.
【詳解】令得，或，，
由圖可知：，，，
所以，，
所以，所以，故A選項正確，
所以，由得，
所以，，
所以，，
所以，
，故B錯誤.
當時，，
因為在為減函數，故在上單調遞減，故C正確；
將函數的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），
為偶函數得，，
所以，，則的最小值為，故D正確.
故選：ACD.
2．BC
【分析】選項A：將然后判斷函數值域；
選項B： 根據奇函數的定義證明；
選項C：根據函數的周期和零點計算求解；
選項D：判斷函數在的單調性，然后結合函數的偶函數性質求解函數的單調遞增區間；
【詳解】對于A，當，，選項A錯誤；
對于B，
，故B正確．
對于C，顯然函數滿足且 關于對稱，所以是以為周期的函數，
又因為，所以，故C正確．
對于D，當時，，
，所以在上單調遞減，又因為是以為周期的偶函數，
所以的單調遞增區間為，故D錯誤．
故選：BC．
3．BD
【分析】根據圖像確定函數解析式，根據函數解析式和正弦函數的性質判斷選項正誤.
【詳解】A選項：由題圖可知，，則，由，得，根據圖象的變化趨勢與可知，，
由得，所以，解得，易知，故A錯誤；
B選項：設的最小正周期為，由題圖可知，，得，（利用圖象判斷函數的最小正周期的大致范圍）
即，所以，所以，故，
所以，所以，故B正確；
C選項：令，解得，取，得在上單調遞增，故C錯誤；
D選項：令，解得，取，得，所以的圖象關于點對稱，故D正確．
故選：BD.
4．ABC
【分析】由圖象變換得到解析式，再根據三角函數的有界性，將條件轉化為在上最值的取值情況，將看作整體角，根據函數圖象得到不等關系求解即可.
【詳解】由題意得，
,
由，得或，
由已知在上有且僅有兩個不同實數滿足，
則在上只取得一次最大值和一次最小值，
，令，則，
由圖象可知，，解得，
即的取值范圍是，
故選：ABC．

5．BC
【分析】化簡函數為，，結合大致圖象判斷各選項即可求解.
【詳解】函數，，
大致圖象如下：

由圖可知，函數的最小正周期為，故A錯誤；
函數的圖象關于對稱，故B正確；
函數的最小值為，故C正確；
函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，故D錯誤.
故選：BC.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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