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第5講 三角形中的最值范圍問題（講）
【典例1】（2023·天津·統考高考真題）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設，則可用表示為 ；若，則的最大值為 ．
【解讀】空1：根據向量的線性運算，結合為的中點進行求解；空2：用表示出，結合上一空答案，于是可由表示，然后根據數量積的運算和基本不等式求解.
【答案】
【目標】本題考查平面向量的范圍問題，用基底表示向量用，定義求向量的數量積，余弦定理，解三角形基本不等式求積的最大值.
【分析】空1：因為為的中點，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因為，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當且僅當取得等號，
則時，有最大值.
故答案為：；.
【典例2】（2022年高考數學全國甲卷理科第16題）已知中，點在邊上，．當取得最小值時，______．
【解讀】 試題重點考查考生對三角形概念、余弦定理等基礎知識的掌握，以及轉化與化歸的思想方法．
（1）試題中呈現的三角形給出了一條邊上一個三等分點到頂點的長度和一個特殊角，但這些條件是無法反過來確定原來的三角形的大小和形狀的．這就要求考生理解三角形變化的過程中，哪個量是基本變量．試題設問為考生選擇邊的長度為基本變量提供了參考．
（2）試題需要考生在研究函數最值的時候，能夠選擇合理的數學知識．由于試題涉及的函數是有理函數，考生可以選擇把函數的分式形式變形為滿足均值不等式條件的函數類型，以簡化求解過程．由于所研究函數的分子與分母均是二次函數，所以考生也可以直接對函數求導，利用導數的正負確定原函數的單調性，從而解決問題．利用均值不等式和利用導數的兩種解題方法是特殊與一般的關系．構造均值不等式需要一定的技巧，而利用導數，只需要求出導函數的零點再分析原函數單調性即可．不同的解題方法為不同水平的考生提供了發揮空間．
（3）解三角形就是確定三角形的各邊和各內角的大小，其數學原理是三角形全等的判定定理．根據試題給定的已知條件是無法唯一確定三角形的，但是當取得最小值時，三角形是唯一確定的．試題給考生和高中數學教學提供了很好的研究素材，如當取得最小值時，的面積是多少？當取得最小值時，的三條邊長分別是多少，三個內角的正弦值或余弦值分別是多少？再如可以研究的取值范圍，或者研究當時，的三條邊長分別是多少？或者給定的面積，問三角形是否唯一確定？這些開放性的研究問題為考生和高中數學教學提供了豐富的研究機會，高中數學教學要從考題中挖掘數學問題．因此，試題具有較好的選拔功能，同時能夠引導高中數學教學．
【答案】
【目標】 解三角形本質上是在三角形內蘊方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內角和定理以及三角形兩邊之和大于第三邊）的基礎上，把試題設定的條件（方程）與內蘊方程建立聯系，從而得到三角形的全部或者部分度量關系．試題題干和設問簡潔清晰，通過在兩個三角形中運用余弦定理，把問題轉化為有理函數的最值問題．對于有理函數最值的分析，考生既可以利用均值不等式，也可以利用導數作為工具求解．
試題考查余弦定理、有理函數及不等式等基礎知識，考查考生的運算求解能力、邏輯思維能力等關鍵能力，考查理性思維、數學探索等數學學科素養，符合綜合性與應用性的考查要求．
【分析】解題思路
思路1 在和中，運用余弦定理可得
，，從而．
因此只需要分析在什么條件下取得最小值即可．
由均值不等式可知，，當且僅當時不等式取等號，即時，取得最小值．
故正確答案為．
思路2 由思路1得．令，則，當
時，有．當時，，當時，．
所以當時，取得最小值．
故正確答案為．
【典例3】（2022年高考數學全國I卷第18題）記的內角的對邊分別為，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【解讀】試題面向全體考生，以簡單、基本的解三角形問題為依托，考查考生對三角函數、解三角形的理解，特別是對二倍角與正弦定理的應用的掌握．不等式的運用，是試題的創新點．三角函數與均值不等式相結合，改變了固化的命題形式，符合高考數學學科基礎性、綜合性的命題要求．解三角形為常規題型，可進一步穩定考生心態，有利于考生在考試中正常發揮水平；創新而簡明地利用均值不等式，會讓考生有很好的獲得感．
【目標】試題將考生熟悉的解三角形作為命題情境．解三角形本質上是在三角形內蘊方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內角和定理）的基礎上，把試題設定的條件（方程）與內蘊方程建立聯系，從而求得三角形的全部或者部分度量關系．試題考查正弦定理、三角函數兩角和公式、二倍角公式等基礎知識；同時以三角函數為載體，考查了均值不等式的應用．試題考查內容強調基礎，服務“雙減”．
試題考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，以及理性思維、數學探索等學科素養．試題考查的內容是解三角形的重點知識，涉及的最值求解問題也是學生常見的形式，符合基礎性、綜合性的考查要求．
【分析】解題思路
（1）思路1 由題設得，于是．故．
又因為，所以．故．
思路2 因為
所以由題設得，而為三角形的內角，故
又因為，所以．故．
（2）由題設得，從而，故．
可得．
由正弦定理得，所以
當且僅當時等號成立．
因此的最小值為．
【典例4】（2020·全國·統考高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周長的最大值.
【解讀】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形周長最大值的求解問題；
方法一：求解周長最大值的關鍵是能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等關系求得最值.
方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍進行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.
方法三巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦函數求最值問題.
【答案】
【目標】本題考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，考查三角函數的運用。
【分析】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最優解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（當且僅當時取等號），
，
解得：（當且僅當時取等號），
周長，周長的最大值為.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
設，則，根據正弦定理可知，所以，當且僅當，即時，等號成立．此時周長的最大值為．
[方法三]：余弦與三角換元結合
在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當時，，
所以周長的最大值為．
應用一 幾何問題——各邊、各角或三角形的面積范圍或最值
【例1】（2024·全國·模擬預測）已知銳角三角形ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，，則周長的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【引導與詳解】
第一步：由條件結合余弦定理和三角函數恒等變換，得C：
由得，
又，，，所以，即，故．
第二步：利用正弦定理表示出b，c，得到周長的表達式：
由正弦定理，得，
，
故的周長，
第三步：利用銳角三角形得到A的范圍，并結合函數的單調性，即可求解：
因為為銳角三角形，所以，得，
在上單調遞減，
所以，
故的周長的取值范圍為．
故選：B
應用二 參數范圍問題
【例2】（2023·福建廈門·廈門一中?？级＃┰谥?，已知，，，若，且，，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：先利用余弦定理求出，進而得到⊥：
由余弦定理得，
解得，
因為，由勾股定理逆定理得⊥，
第二步：求出，，從而得到m的表達式：
，
則，
因為，，所以，
，
在上的投影向量為，故，
第三步：換元后求出m的取值范圍：
令，則，
令，
因為，所以，故當時，，
當時，，，
故，
故選：B
應用三 函數最值問題
【例3】（2024·浙江臺州·統考一模）已知二面角的平面角為，，，，，，與平面所成角為．記的面積為，的面積為，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：求出∠ABE：
過作，垂足為，連接，
依題意，，由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以.
由于，所以平面，平面，
所以在平面上的射影為，所以，
第二步：列出表達式，得出最值：
根據三角形的面積公式以及正弦定理得：
，
由于，所以當時，
取得最小值為.
故選：D
應用四 與解析幾何結合問題
【例4】（2024·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，直線交拋物線于，兩點，且滿足，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
【引導與詳解】
第一步：根據對稱性可知，與軸正方向所夾的角：
連接，延長交拋物線于兩點，不妨假設在的下方，
根據對稱性可知，與軸正方向所夾的角為，
第二步：得出BF，AF的值：
因為，所以，．
第三步：根據余弦定理求AB：
由余弦定理，可得．
故選：D
應用五 與向量結合問題
【例5】（2024·江蘇蘇州·南京航空航天大學蘇州附屬中學校考模擬預測）在，角的對邊分別為，若，且，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【引導與詳解】
第一步：由正弦定理邊化角，化簡已知條件得出B：
由及正弦定理可得，
由，可得，故．
第二步：設，在和中，由余弦定理得出關系式，進而求的最小值.
法一：
設，由可得，
由余弦定理可得，又，
所以，得．
在和中，由余弦定理得，，
由可得，
故，
當時，取得最小值12，即，得，故的最小值為2．
法二：
由題意知，
兩邊同時平方得，
又，所以當且僅當，即時取等號，
則，故的最小值為2．
故選：B
方法一： 直接法
第一步：利用已知條件進行標注：確定三角形各邊的長度和各角的大小，這是求解問題的基礎.
第二步：列寫未知量表達式：利用正弦定理或余弦定理，將已知的邊長和角度關系轉化為關于未知變量的表達式.
第三步：利用定義域求范圍或最值：利用三角函數的有界性，確定未知變量的取值范圍.
方法二： 基本不等式法
第一步：明確問題：首先，我們需要明確問題中涉及的變量，這些變量通常與三角形的邊長或角度有關.
第二步：建立數學模型，即列寫所求量表達式：根據題目條件，我們可以建立關于這些變量的不等式或等式.這通常涉及到正弦定理、余弦定理等數學知識.
第三步：求解不等式：解這個不等式或等式，找出變量的取值范圍.
第四步：尋找最值：在得到的取值范圍內，利用數學方法求出最值.這可能涉及到基本不等式的性質.
第五步：驗證結論：最后，我們需要驗證得到的結論是否符合題目的實際情況.
微點：解三角形
【表現形式】
一、射影定理
在內，；；
二、中線長定理
定義：若、、分別為BC、AC、AB的中線，則有
，，
證明：在中，D為線段BC上一點，則有
即
三、正弦恒等式
正弦平方差公式：
四、正切恒等式
正切恒等式：
六、托勒密定理
已知在四邊形ABCD中，恒有，當且僅當ABCD四點共圓的時候取等號．
文字性描述：四邊形的對邊乘積之和大于等于其對角線乘積，當且僅當四邊形存在外接圓時取等號．
七、婆羅摩笈多公式
設四邊形邊長分別為a、b、c、d，α為四邊形的一組對角和，
婆羅摩笈多公式：
圓內接四邊形面積公式：
三角形面積公式（海倫公式）：
八、角平分線定理
在中，若AD為的角平分線，則有
證明：利用正弦定理易證．
九、張角定理
在三角形ABC中，D是AB邊上任意一點，
則有
【步驟】①列寫所求量的函數表達式以及定義域；②根據題目所給條件對表達式進行化簡&轉化；③求范圍.
（2023·新疆·校聯考一模）
【例1】在銳角中，的對應邊分別是，且．
（1）求的取值范圍；
（2）求的取值范圍．
答案 （1）；(2)
解析 （1），
由，故，
由，
故，
則，
由為銳角三角形，故，即，
則有，，，
可得，故，即；
（2）由，，
則
，
由（1）知，故，
故，即.
（2023·重慶·重慶市石柱中學校校聯考一模）
【例2】在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.
（1）求角C；
（2）求的取值范圍.
答案 （1）；(2)
解析 （1）因為，
由余弦定理，，
整理得： ，
又由正弦定理，，而A為三角形內角，故，
故，而C為銳角三角形內角，故
（2）由（1）知，
，
因為三角形為銳角三角形，故，解得：，
則，故，所以.
故的取值范圍是.
【跟蹤練習】
（2023·四川樂山·統考一模）
1．在平面四邊形中，已知，，，.
(1)若，求；
(2)求面積的最大值.
（2023·四川樂山·統考一模）
2．已知四邊形內接于圓，，，.
(1)若，求中邊上的高；
(2)求四邊形面積的最大值.
（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學?？寄M預測）
3．在銳角中，角所對的邊分別為，滿足.
(1)求角；
(2)求的取值范圍.
（2023·四川成都·統考一模）
4．已知函數.在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范圍.
2023·貴州黔東南·統考一模）
5．的內角所對的邊分別為，且，
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，再結合正弦定理即可求解.
（2）利用余弦定理求出，然后結合基本不等式求出，從而求解.
【詳解】（1）由題意得連接，如圖，
在中，由余弦定理得：
.
因為，所以.
因為，所以.
因為，則，
在中，由正弦定理得：
，即.
所以.
（2）在中，，，由余弦定理得：
.
即
所以，當且僅當時取等號，
所以.
故面積的最大值為.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據余弦定理、圓的幾何性質、正弦定理，先求得，進而求得邊上的高.
（2）根據“正弦定理和三角形的面積公式”或“余弦定理和三角形的面積公式”，結合三角函數的最值或基本不等式求得四邊形面積的最大值.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得：
.
，.
四邊形內接于圓，，.
，在中，由正弦定理得：
，即
.
邊上的高.
（2）解法一：
由（1）可知：.
在中，設，，
由正弦定理得：，
.
.
當且僅當，即時面積取到最大值，
故四邊形面積的最大值為.
解法二：
由（1）可知：.
在中，，，由余弦定理得：
.
即：，
，當且僅當時取“”.
.
故四邊形面積的最大值為.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，利用正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）由（1）知，得到且，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，結合正切函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）解：在銳角中，因為，
由正弦定理得，可得，
又由余弦定理，可得，
因為，所以.
（2）解：在銳角中，由（1）知，可得，且，
可得，所以，所以，
又，所以，所以，
則，
因為且，可得且，
所以且，
所以的取值范圍為.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等變換公式計算可得；
（2）首先由正弦定理和（1）求出，然后用銳角三角形和（1）求出B的取值范圍，最后結合正切函數公式計算出結果.
【詳解】（1）.
由，即.
為銳角三角形，，
.
.
（2）由正弦定理，.
，.
，.
是銳角三角形，
，且.
，，
，
.
.
.
綜上，的取值范圍為.
5．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊角互化，結合同角關系即可求解，
（2）根據余弦定理，結合二次函數的性質即可求解.
【詳解】（1）由及正弦定理，可得.
因為，所以.
又，所以，則，
又，所以.
（2）由余弦定理得，
當，時，取得最小值，所以的最小值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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