資源簡(jiǎn)介

第2講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（講）
【典例1】（2023年高考理科數(shù)學(xué)（全國甲卷）第10題 2023年高考文科數(shù)學(xué)（全國甲卷）第12題）函數(shù)的圖像由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解讀】創(chuàng)新是素質(zhì)教育的關(guān)鍵特征之一，體現(xiàn)的是培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維和品質(zhì)的創(chuàng)新型人才的要求．創(chuàng)新性考查要求是通過命題創(chuàng)新，創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境、新穎的題目條件、新穎的設(shè)問方式，考查考生的創(chuàng)新品質(zhì)．高考通過創(chuàng)新性考查，引導(dǎo)基礎(chǔ)教育培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，使他們勇于面對(duì)新問題，通過對(duì)知識(shí)、思想方法的遷移，靈活組合運(yùn)用，有效地解決問題．
【答案】C
【目標(biāo)】試題設(shè)問新穎，具有一定的綜合性，將三角函數(shù)的圖像與直線的方程結(jié)合起來，考查考生的邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合的能力、運(yùn)算與轉(zhuǎn)化的能力，以及考生解決創(chuàng)新性問題的能力．
【分析】解題思路 由題意，，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出的圖像，以及直線．
直線過點(diǎn)和點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，的圖像與直線沒有公共點(diǎn)．由圖像可知，的圖像與直線共有3個(gè)交點(diǎn)，故選C．
【典例2】（2023年高考理科數(shù)學(xué)（全國甲卷）第10題 2023年高考文科數(shù)學(xué)（全國甲卷）第12題）函數(shù)的圖像由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解讀】創(chuàng)新是素質(zhì)教育的關(guān)鍵特征之一，體現(xiàn)的是培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維和品質(zhì)的創(chuàng)新型人才的要求．創(chuàng)新性考查要求是通過命題創(chuàng)新，創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境、新穎的題目條件、新穎的設(shè)問方式，考查考生的創(chuàng)新品質(zhì)．高考通過創(chuàng)新性考查，引導(dǎo)基礎(chǔ)教育培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，使他們勇于面對(duì)新問題，通過對(duì)知識(shí)、思想方法的遷移，靈活組合運(yùn)用，有效地解決問題．
【答案】C
【目標(biāo)】試題設(shè)問新穎，具有一定的綜合性，將三角函數(shù)的圖像與直線的方程結(jié)合起來，考查考生的邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合的能力、運(yùn)算與轉(zhuǎn)化的能力，以及考生解決創(chuàng)新性問題的能力．
【分析】解題思路 由題意，，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出的圖像，以及直線．
直線過點(diǎn)和點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，的圖像與直線沒有公共點(diǎn)．由圖像可知，的圖像與直線共有3個(gè)交點(diǎn)，故選C．
【典例3】（2023年高考理科數(shù)學(xué)（全國乙卷）第6題 2023年高考文科數(shù)學(xué)（全國乙卷）第10題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對(duì)稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，而三角函數(shù)是研究周期函數(shù)的重要工具，在中學(xué)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)的后續(xù)理論中都具有重要的地位．試題以正弦型函數(shù)為載體，給出函數(shù)半周期的部分信息，考查考生靈活應(yīng)用知識(shí)，分析函數(shù)圖像與性質(zhì)的能力．解決問題的關(guān)鍵在于有清晰的思路和明確的計(jì)算方式，熟練的考生可以結(jié)合圖像的周期和特殊點(diǎn)直接排除，迅速得到正確答案．試題體現(xiàn)了重視觀察和思考、減少計(jì)算量的命題思路，圍繞函數(shù)圖像與性質(zhì)，體現(xiàn)了對(duì)主干知識(shí)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用的要求，考查了考生邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合的思想．試題解法多樣，不同思維層面的考生都能得到充分考查．
【答案】D
【目標(biāo)】試題考查三角函數(shù)的圖像、周期性，以及特殊點(diǎn)處的三角函數(shù)值；著重考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力及數(shù)形結(jié)合的思想．
【分析】解題思路 思路1 由題設(shè)可知，，且函數(shù)的半周期為，故，且可取，即得．故，正確選項(xiàng)為D．
思路2 由于正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸必過極值點(diǎn)，因此由題設(shè)可知，，且函數(shù)的半周期為，即得的周期為，所以且．
如圖，由正弦型函數(shù)圖像的性質(zhì)可知，為的零點(diǎn)，
故在區(qū)間上的圖像由在區(qū)間上的圖像平移而得．
由于，因此．故選D．
思路3 由題設(shè)可知，，且函數(shù)的周期為，所以．由正弦型函數(shù)圖像的性質(zhì)可知，為的零點(diǎn)，又在區(qū)間單調(diào)遞增，故，選項(xiàng)A，B不成立．由于居于區(qū)間的后半段，因此，故正確選項(xiàng)是D．
【典例4】（2023年高考數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ卷）第15題）已知函數(shù)（）在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．
【解讀】試題以研究一個(gè)三角函數(shù)在某一區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為載體，考查考生靈活運(yùn)用知識(shí)，分析函數(shù)圖像與性質(zhì)的能力．試題題干簡(jiǎn)潔清晰，考查內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，呈現(xiàn)方式是考生熟悉的三角函數(shù)的零點(diǎn)問題．試題的求解無需煩瑣計(jì)算，解決問題的關(guān)鍵在于有清晰的思路和明確的計(jì)算方式，體現(xiàn)出多理性思考，少煩瑣計(jì)算的特點(diǎn)．
【答案】
【目標(biāo)】試題考查三角函數(shù)圖像、三角函數(shù)的周期性，以及函數(shù)零點(diǎn)的概念，考查考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力．
【分析】解題思路 思路1 的零點(diǎn)滿足，即（）．由于，所以的非負(fù)零點(diǎn)依次為0，，，，…．
由題設(shè)可得解得．
因此的取值范圍是．
思路2 設(shè)．的零點(diǎn)滿足，即（），的非負(fù)值依次為0，，，，…．
由于，故當(dāng)時(shí)，．
故由題設(shè)可得解得．
因此的取值范圍是．
【典例5】（2023年高考數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ卷）第16題）已知函數(shù)，如圖，A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則______．
【解讀】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)課程中的重要知識(shí)內(nèi)容．盡管三角學(xué)起源于天文觀察需要的古典幾何問題研究，但隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，函數(shù)觀統(tǒng)一了三角學(xué)的幾何意義、代數(shù)運(yùn)算和周期運(yùn)動(dòng)，因此全面深刻理解和掌握三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像是初等三角學(xué)的核心與關(guān)鍵．試題正是在這樣的背景下，設(shè)計(jì)了基于正弦型函數(shù)的圖像的數(shù)學(xué)問題，考查考生對(duì)三角函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、圖像的幾何意義及函數(shù)性質(zhì)的掌握，基于對(duì)這些必備知識(shí)的考查，實(shí)現(xiàn)對(duì)考生基礎(chǔ)性、綜合性的考查，實(shí)現(xiàn)對(duì)考生理性思維和數(shù)學(xué)探究的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，服務(wù)于高校人才選拔．
（1）試題巧妙地設(shè)計(jì)了直線與正弦型函數(shù)的位置關(guān)系和局部的度量關(guān)系，要求考生解決所求函數(shù)值問題，形式新穎．通過，，可以確定三角函數(shù)的最小正周期，再通過觀察確定初相，就確定了正弦型三角函數(shù)的解析式．題設(shè)給出的條件實(shí)際上是正弦型函數(shù)與x軸的位置關(guān)系的變形，高中數(shù)學(xué)教師在研究本試題時(shí)，不僅要從兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)（函數(shù)的零點(diǎn)）出發(fā)，還要從函數(shù)圖像的運(yùn)動(dòng)上理解試題，開拓研究視角．
（2）試題要求考生熟練掌握基本三角函數(shù)的性質(zhì)，包括與的性質(zhì)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系．在本試題的求解過程中，始終基于基本初等函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算．高中數(shù)學(xué)教師在研究此題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注試題的核心，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從基礎(chǔ)性到綜合性的演變過程，從整體上把握對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的研究．
【答案】
【目標(biāo)】試題考查對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)與圖像的理解，考查對(duì)正弦型函數(shù)的周期性、對(duì)稱性和單調(diào)性的掌握，考查三角函數(shù)性質(zhì)的幾何表示與代數(shù)表示間的相互關(guān)系，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力．
【分析】解題思路 確定三角函數(shù)的周期和初相．
設(shè)，，則有，．
根據(jù)圖像，可取，，則．
又，即，所以．
故．
應(yīng)用一 識(shí)別三角函數(shù)圖象
【例1】（2023·江西南昌·南昌十中?？家荒＃┤鐖D是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象，則該函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：根據(jù)三角函數(shù)的運(yùn)算結(jié)合特殊值判斷即可：
對(duì)于B：，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符合，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符合，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符合，故D錯(cuò)誤．
故選：A
應(yīng)用二 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
【例2】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖1是函數(shù)的部分圖象，經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭坪蜕炜s變換后，得到圖2中的部分圖象，則（ ）
A． B．的解集為，
C． D．方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：由兩個(gè)函數(shù)的圖象分析得到的解析式，可判斷選項(xiàng)A：
由圖知，的圖象可看作將的圖象先向右平移一個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到的，
，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤
第二步：根據(jù)的函數(shù)圖象可判斷選項(xiàng)B：
對(duì)于B，要使，則，
解得，故B正確；
第三步：根據(jù)的周期性可判斷選項(xiàng)C：
對(duì)于C，的最小正周期為，
，故C錯(cuò)誤；
第四步：在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出和的圖象可判斷選項(xiàng)D：
對(duì)于D，在單調(diào)遞減，且的圖象過點(diǎn)和，
函數(shù)與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，
方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
應(yīng)用三 三角函數(shù)圖象的變換
【例3】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：由求：
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
所以，
又，所以，
第二步：根據(jù)平移變換求出平移后的解析式
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
所得函數(shù)圖象的解析式為，
第三步：根據(jù)對(duì)稱性即可求解：
因?yàn)榈暮瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以，得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：A
應(yīng)用四 整體代入法求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心
【例4】（2024上·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，則（ ）
A．的最小正周期為
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：先通過條件求出：
，向左平移個(gè)單位得，
第二步：再利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)對(duì)錯(cuò)：
對(duì)于A：，A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上不單調(diào)，則在區(qū)間上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；
對(duì)于D：，的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
應(yīng)用五 代入檢驗(yàn)法判斷三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心
【例5】（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的相鄰兩對(duì)稱軸的之間的距離為，函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．
B．為其一個(gè)對(duì)稱中心
C．若在單調(diào)遞增，則
D．曲線與直線有7個(gè)交點(diǎn)
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：對(duì)于A，根據(jù)相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離求周期得出，再根據(jù)偶函數(shù)求得：
對(duì)于A，由題意，故，
又的圖象向左平移個(gè)單位得到為偶函數(shù)，
所以，且，故，故A正確；
第二步：對(duì)于B，利用代入驗(yàn)證法進(jìn)行判斷：
對(duì)于B，因?yàn)?，且為最值，故B錯(cuò)誤；
第三步：對(duì)于C，根據(jù)正弦函數(shù)增區(qū)間公式進(jìn)行求解：
對(duì)于C，令，，
令，故易知在單調(diào)遞增，故，故C正確；
第四步：對(duì)于D，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合對(duì)稱性得出結(jié)果：
對(duì)于D，直線與曲線均過點(diǎn)，且該直線與曲線均關(guān)于該點(diǎn)中心對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，
由對(duì)稱性可知曲線與直線有7個(gè)交點(diǎn)，故D正確．
故選：ABD．
應(yīng)用六 利用三角函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性求參數(shù)值
【例6】（2024上·江蘇·高三統(tǒng)考期末）設(shè)M，N，P為函數(shù)圖象上三點(diǎn)，其中，，，已知M，N是函數(shù)的圖象與x軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，P是圖象在M，N之間的最高點(diǎn)，若，的面積是，M點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（ ）
A． B．
C． D．函數(shù)在M，N間的圖象上存在點(diǎn)Q，使得
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得，，，進(jìn)而可判斷AB：
，
而，故，，，A錯(cuò)誤、B正確；
第二步：根據(jù)在圖象上可得，根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解：
，（），而，故，C正確；
顯然，函數(shù)的圖象有一部分位于以為直徑的圓內(nèi)，當(dāng)位于以為直徑的圓內(nèi)時(shí)，，D正確，故選:BCD.
方法一： 函數(shù)法
第一步：確定函數(shù)類型：首先需要確定所給函數(shù)的類型，是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)還是正切函數(shù)。
第二步：確定函數(shù)的定義域：根據(jù)函數(shù)的類型和所給條件，確定函數(shù)的定義域。
第三步：確定函數(shù)的值域：根據(jù)函數(shù)的類型和所給條件，確定函數(shù)的值域。
第四步：確定函數(shù)的周期性：根據(jù)函數(shù)的類型和所給條件，確定函數(shù)的周期性。
第五步：確定函數(shù)的奇偶性：根據(jù)函數(shù)的定義域和函數(shù)值的性質(zhì)，確定函數(shù)的奇偶性。
第六步：確定函數(shù)的單調(diào)性：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值的性質(zhì)，確定函數(shù)的單調(diào)性。
第八步：驗(yàn)證答案：最后需要驗(yàn)證所得答案是否正確。
方法二： 圖象法
第一步：理解函數(shù)的基本性質(zhì)：首先，需要理解所考察的三角函數(shù)（如正弦、余弦、正切等）的基本性質(zhì)，包括周期性、振幅、相位等。這些性質(zhì)決定了函數(shù)圖像的基本特征。
第二步：畫出函數(shù)圖像：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，嘗試畫出函數(shù)的圖像。這一步可能需要一些猜測(cè)和嘗試，因?yàn)槿呛瘮?shù)的圖像可能會(huì)有多種形式。
第三步：分析圖像特征：觀察和分析圖像的特征，如極值點(diǎn)、對(duì)稱性、周期性等。這些特征通常與函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)相對(duì)應(yīng)。
第四步：驗(yàn)證結(jié)論：最后，通過代入特殊值或利用三角函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證對(duì)圖像特征的分析是否正確。
第五步：解決問題：根據(jù)題目要求的問題，結(jié)合圖像和函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析，得出結(jié)論。
需要注意的是，圖象法雖然直觀，但對(duì)于一些復(fù)雜的問題或需要精確計(jì)算的問題，還需要結(jié)合其他方法（如解析法、代數(shù)法等）進(jìn)行求解。
微點(diǎn)：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)
【表現(xiàn)形式】
一、三角函數(shù)圖象本源
如圖：角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，由三角函數(shù)定義可知，．射線OP以x正半軸為始邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程來分析三角函數(shù)的本源，在旋轉(zhuǎn)的過程中x，y隨著終邊位置的變化而變化，且終邊與單位圓的交點(diǎn)唯一，即x，y唯一，故x，y與成函數(shù)關(guān)系，我們稱y關(guān)于的函數(shù)為正弦函數(shù)，x關(guān)于的函數(shù)為余弦函數(shù)．
的變化范圍
的變化
的變化
二、正余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)（）
函數(shù)圖象與性質(zhì) 函數(shù)圖象與性質(zhì)
值域
周期
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù)
單增區(qū)間
單減區(qū)間
對(duì)稱軸
對(duì)稱中心
最高點(diǎn)
最低點(diǎn)
如何深刻理解與記憶三角函數(shù)的各種性質(zhì)呢？現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)、變化都有著循環(huán)往復(fù)，周而復(fù)始的規(guī)律，這種變化規(guī)律為周期性．那么三角函數(shù)刻畫各種周期性變化現(xiàn)象再合適不過，首先三角函數(shù)從形來看，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．于是三角函數(shù)各種性質(zhì)也呈周期性變化．
①整體到局部思想去理解：為周期為，那么三角函數(shù)的各種性質(zhì)也具有周期性（）
性質(zhì) 周期性 變化規(guī)律
對(duì)稱軸 為對(duì)稱軸，自變量增加后，仍然為對(duì)稱軸
對(duì)稱中心 為對(duì)稱中心，自變量增加后，仍然為對(duì)稱中心
單調(diào)增區(qū)間 為單調(diào)增區(qū)間，自變量增加后，仍然為單調(diào)增區(qū)間
單調(diào)減區(qū)間 為單調(diào)減區(qū)間，自變量增加后，仍然為單調(diào)減區(qū)間
最高點(diǎn) 為最高點(diǎn)，自變量增加后，仍然為最高點(diǎn)
最低點(diǎn) 為最低點(diǎn)，自變量增加后，仍然為最低點(diǎn)
②反過來，由局部到整體思想：我們也可以通過局部的圖形特征得到整體的周期性
圖形特征 周期性T
兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，圖象為個(gè)周期圖象
兩條相鄰對(duì)稱中心之間的距離，圖象為個(gè)周期圖象
兩條相鄰對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離為，圖象為個(gè)周期圖象
③通過類比思想我們可以推廣到其他函數(shù)
關(guān)于，對(duì)稱 是以為周期的函數(shù)
關(guān)于，對(duì)稱 是以為周期的函數(shù)
關(guān)于，對(duì)稱 是以為周期的函數(shù)
④同理可以得出的各種性質(zhì)的代數(shù)表達(dá)式，其次也可以通過圖象平移去理解，因?yàn)榈暮瘮?shù)圖象向左平移個(gè)單位后為的函數(shù)圖象，如為的對(duì)稱軸，那么為的對(duì)稱軸．
三、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（）
定義域
值域
周期
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)增區(qū)間
對(duì)稱中心
漸近線
四、的圖像變換
圖象是由的圖象變換而來，的圖象同理可得。
具體變換過程如下：方法1：左右平移→左右伸縮→上下伸縮→上下平移
左右平移 “左加右減”：時(shí)，圖象向左平移個(gè)單位；時(shí)，圖象向右平移個(gè)單位；
左右伸縮 每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變；
上下伸縮 每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍；
上下平移 “上加下減”：時(shí)，圖象向上平移B個(gè)單位；時(shí)，圖象向上平移-個(gè)單位．
方法2：左右伸縮→左右平移→上下伸縮→上下平移
左右伸縮 每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變；
左右平移 “左加右減”：時(shí)，圖象向左平移個(gè)單位；時(shí)，圖象向右平移個(gè)單位．
上下伸縮 每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍；
上下平移 “上加下減”：時(shí)，圖象向上平移B個(gè)單位；時(shí)，圖象向上平移個(gè)單位．
特別注意：兩種變換最大的區(qū)別點(diǎn)為平移單位的不同，謹(jǐn)記；當(dāng)向左平移個(gè)單位后，新的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，需把x整體代換為！
五、的性質(zhì)
①整體法換元求解性質(zhì)：（以下）
性質(zhì)
值域 令；
對(duì)稱軸 求解x即可；
奇偶性 奇函數(shù) 當(dāng)一條對(duì)稱軸為時(shí)為偶函數(shù)；當(dāng)一個(gè)中心對(duì)稱點(diǎn)為時(shí)為奇函數(shù)；
對(duì)稱中心 求解對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)為B；
單增區(qū)間 的解集為單增區(qū)間；
單減區(qū)間 的解集為單減區(qū)間；
最高點(diǎn) 求解最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)為；
最低點(diǎn) 求解最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)為．
特別注意：
①當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，通過誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)先變?yōu)檎龜?shù)，如；
②與的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故在同區(qū)間內(nèi)單調(diào)性剛好相反，B不影響單調(diào)性；
如圖：與的圖象關(guān)系；
【步驟】圖象法求解性質(zhì)：
的圖象可以根據(jù)一個(gè)最高（低）點(diǎn)和周期遞推畫出來，優(yōu)點(diǎn)是可以不考慮所以參數(shù)的正負(fù)，畫出圖象結(jié)合性質(zhì)變化的周期性得出整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)；具體如下：
第一步：先找一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)（以為例），，故最高點(diǎn)為；
第二步：計(jì)算周期
最高點(diǎn) 經(jīng)過后到中心對(duì)稱點(diǎn) 經(jīng)過后到最低點(diǎn) 經(jīng)過后到中心對(duì)稱點(diǎn) 經(jīng)過后到最高點(diǎn)
下面以為例分析：第一步：先找一個(gè)最高點(diǎn)，，故最高點(diǎn)為；
第二步：計(jì)算周期；
最高點(diǎn) 經(jīng)過后到中心對(duì)稱點(diǎn) 經(jīng)過后到最低點(diǎn) 經(jīng)過后到中心對(duì)稱點(diǎn) 經(jīng)過后到最高點(diǎn)
畫出圖象，根據(jù)圖象可得各種性質(zhì)
【例1】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，若且，則的最小值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
答案 D
解析 ∵，
∴是的一個(gè)最大值點(diǎn)，即直線是圖象的一條對(duì)稱軸，
又，
∴，則，
∴，
又∵在時(shí)取得最大值，可得，
∴，
又∵，
∴的最小值為13.故選：D.
【例2】（2024·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為軸上的所有整數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
答案 D
解析 因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為軸上的所有整數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期，
所以，且，結(jié)合，可得，
所以．
作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如下圖所示，
可知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
【跟蹤練習(xí)】
（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）
1．如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（ ）
A．
B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為
（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）
2．已知?jiǎng)t（ ）
A．的值域?yàn)?br/>B．是奇函數(shù)
C．若為函數(shù)的零點(diǎn)，且，則
D．的單調(diào)遞增區(qū)間為
（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）
3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C．在上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
（2023·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)校考二模）
4．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模ǎ?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)滿足，則的取值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2023·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測(cè)）
5．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．的最小值為
D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ACD
【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得的解析式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).
【詳解】令得，或，，
由圖可知：，，，
所以，，
所以，所以，故A選項(xiàng)正確，
所以，由得，
所以，，
所以，，
所以，
，故B錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；
將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），
為偶函數(shù)得，，
所以，，則的最小值為，故D正確.
故選：ACD.
2．BC
【分析】選項(xiàng)A：將然后判斷函數(shù)值域；
選項(xiàng)B： 根據(jù)奇函數(shù)的定義證明；
選項(xiàng)C：根據(jù)函數(shù)的周期和零點(diǎn)計(jì)算求解；
選項(xiàng)D：判斷函數(shù)在的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，
，故B正確．
對(duì)于C，顯然函數(shù)滿足且 關(guān)于對(duì)稱，所以是以為周期的函數(shù)，
又因?yàn)?，所以，故C正確．
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)槭且詾橹芷诘呐己瘮?shù)，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
3．BD
【分析】根據(jù)圖像確定函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式和正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】A選項(xiàng)：由題圖可知，，則，由，得，根據(jù)圖象的變化趨勢(shì)與可知，，
由得，所以，解得，易知，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：設(shè)的最小正周期為，由題圖可知，，得，（利用圖象判斷函數(shù)的最小正周期的大致范圍）
即，所以，所以，故，
所以，所以，故B正確；
C選項(xiàng)：令，解得，取，得在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：令，解得，取，得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確．
故選：BD.
4．ABC
【分析】由圖象變換得到解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性，將條件轉(zhuǎn)化為在上最值的取值情況，將看作整體角，根據(jù)函數(shù)圖象得到不等關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意得，
,
由，得或，
由已知在上有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)滿足，
則在上只取得一次最大值和一次最小值，
，令，則，
由圖象可知，，解得，
即的取值范圍是，
故選：ABC．

5．BC
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為，，結(jié)合大致圖象判斷各選項(xiàng)即可求解.
【詳解】函數(shù)，，
大致圖象如下：

由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；
函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；
函數(shù)的最小值為，故C正確；
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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