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第3講 平面向量的范圍問(wèn)題（講）
【典例1】（2023年高考理科數(shù)學(xué)（全國(guó)乙卷）第12題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)．若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解讀】試題解法多樣，不同的選擇體現(xiàn)了考生不同的思維水平．考生可以通過(guò)解析幾何的方法把直線與圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而利用函數(shù)思想得到最大值；也可以通過(guò)平面幾何的方法確定點(diǎn)D的軌跡為圓的一部分，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法得出最大值．當(dāng)然考生還可以用兩個(gè)向量的夾角作為自變量，通過(guò)向量投影得到答案．總之，試題對(duì)考生的思維有一定要求，需要考生思維的創(chuàng)新性，強(qiáng)調(diào)多想少算，數(shù)形結(jié)合．試題具有很好的選拔功能．
【答案】A
【目標(biāo)】試題考查圓與直線的位置關(guān)系，以及向量的數(shù)量積等知識(shí)．試題一方面需要一定的動(dòng)態(tài)分析能力，由于直線PB是動(dòng)直線，需要考慮點(diǎn)D的所有可能位置（即軌跡）；另一方面，題目所求是一個(gè)定向量與一個(gè)動(dòng)向量的數(shù)量積最大化，考生也需要正交分解的想法．
【分析】解題思路 思路1 由D為BC的中點(diǎn)可知OD與PD垂直，即點(diǎn)D在以O(shè)P為直徑的圓周上（事實(shí)上點(diǎn)D的軌跡為該圓周在⊙O內(nèi)部的部分）．取OP的中點(diǎn)M，有，并且，由于，有，同時(shí)，因此，當(dāng)MD與PA平行時(shí)取到最大值，因此正確選項(xiàng)為A．
思路2 設(shè)點(diǎn)P為原點(diǎn)，⊙O的圓心為，方程為，設(shè)點(diǎn)，直線PB為，代入圓的方程得，由韋達(dá)定理知兩根和，即，，以及中點(diǎn)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)取到最大值，因此的最大值為．
【典例2】（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為 ；若，則的最大值為 ．
【解讀】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.
【答案】
【目標(biāo)】本題考查平面向量的范圍問(wèn)題，用基底表示向量用，定義求向量的數(shù)量積，余弦定理，解三角形基本不等式求積的最大值.
【分析】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因?yàn)椋瑒t，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據(jù)余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，
則時(shí)，有最大值.
故答案為：；.
【典例3】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解讀】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得
【答案】D
【目標(biāo)】本題考查求平面向量的范圍問(wèn)題，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，含\\sin x (型)函數(shù)的值域和最值，輔助角公式
【分析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)，，
所以，，
所以
，其中，，
因?yàn)椋裕矗?br/>故選：D
【典例4】（2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷第10題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)．若，則（ ）
A．直線AB的斜率為 B．
C． D．
【解讀】試題考查了與拋物線和直線有關(guān)的基本概念、基本方法，同時(shí)也考查了考生用解析幾何思想方法解決問(wèn)題的能力．試題意在引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教材，重視基本概念、基本方法的教學(xué)，重視對(duì)學(xué)生理性思維的培養(yǎng)．對(duì)于如何靈活地應(yīng)用解析幾何的基本思想方法將問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化，試題進(jìn)行了很好的設(shè)計(jì)．試題對(duì)考生的邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)具有一定的要求，體現(xiàn)了新高考的課改理念，不僅有利于高校選拔人才，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)、發(fā)展素質(zhì)教育有積極的引導(dǎo)作用．
【答案】ACD
【目標(biāo)】試題借助拋物線的基本元素命制，以拋物線內(nèi)線段的數(shù)量關(guān)系為限制條件，引導(dǎo)考生逐步求出拋物線的基本量．試題注重考查考生的空間想象、邏輯推理、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力以及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，重點(diǎn)考查了解析幾何的基本思想和方法．
【分析】解題思路 由題設(shè)可得．又，故，．
所以直線AF的斜率等于，即知AB的斜率為．
直線AB的方程為，與聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)B坐標(biāo)為．
故，．
又，，由余弦定理得．
故．同理可得，于是．綜上，正確選項(xiàng)為ACD．
應(yīng)用一 解決夾角問(wèn)題
【例1】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：根據(jù)已知條件，求出的值：
由題意可得，
將兩邊平方可得；
可得，可得；
第二步：再由向量夾角計(jì)算公式可求得與的夾角為：
設(shè)與的夾角為，則，
所以.
故選：C
應(yīng)用二 解決幾何最值問(wèn)題
【例2】（2024上·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）平面向量?jī)蓛刹还簿€，滿(mǎn)足，且．若，則的最大值為 ．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：根據(jù)重心的性質(zhì)可得,：
不妨設(shè)由,
由可得是的重心，
由可得,
由重心的性質(zhì)可得,,
第二步：根據(jù)余弦定理可求解長(zhǎng)度：
不妨設(shè),則，
故由余弦定理可得，
,
所以
第三步：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值：
記，平方可得,
由于，所以，此時(shí)取最大值4，故的最大值為2，
因此的最大值為，
故答案為：
應(yīng)用三 解決與三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題
【例3】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．
（1）求角A的值；
（2）若點(diǎn)滿(mǎn)足，且，求的值．
【引導(dǎo)與詳解】
（1）第一步：由已知條件和三角形內(nèi)角關(guān)系，利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得：
（1）由以及可得
，
即，
可得，又，
所以，即，
第二步：再由輔助角公式以及角的范圍可得：
可得，又,
解得.
（2）第一步：根據(jù)向量定比分點(diǎn)以及：
∵，
∴，
如下圖所示：
第二步：在中由正弦定理可得，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求得tanB.
由可得，，，；
在中，由正弦定理可得，即，
由可得，
化簡(jiǎn)可得，整理可得，
所以.
應(yīng)用四 解決與三角形有關(guān)問(wèn)題
【例4】（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，記，，則（ ）
A．當(dāng)，時(shí)，則在方向上的投影向量為
B．當(dāng)，時(shí)，為銳角的充要條件是
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線
D．當(dāng)，時(shí)，動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的重心
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：利用投影向量的定義可判斷A選項(xiàng)：
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，
則在方向上的投影向量為，A對(duì)；
第二步：分析可知且、不共線，求出的取值范圍，可判斷B選項(xiàng)：
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，
角為銳角且、不共線，即，解得且，
所以，為銳角的充要條件是，B錯(cuò)；
第三步：利用共線向量的基本定理可判斷C選項(xiàng)：
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋矗?br/>所以，，即，
又因?yàn)椤⒂泄颤c(diǎn)，故點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，C對(duì)；
第四步：利用平面向量的加法可判斷D選項(xiàng)：
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，
則，
因?yàn)椋瑒t，
此時(shí)，動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的重心，D對(duì).
故選：ACD.
應(yīng)用五 解決與解析幾何綜合應(yīng)用有關(guān)問(wèn)題
【例5】（2024·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，則（ ）
A．
B．點(diǎn)的軌跡方程為
C．的最小值為6
D．的最大值為
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：垂徑定理得到，從而得到，進(jìn)而求出角度∠ACB：
A選項(xiàng)，由題意得，半徑為，
由垂徑定理得⊥，則，解得，
由于，則，故，A錯(cuò)誤；
第二步：由得到點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，得到軌跡方程：
B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可得，，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，
故點(diǎn)的軌跡方程為，B正確；
第三步：由極化恒等式得到，結(jié)合點(diǎn)的軌跡方程，得到的最小值：
C選項(xiàng)，由題意得，，
兩式分別平方后相減得，，
其中，又點(diǎn)的軌跡方程為，
所以的最小值為，故的最小值為，C正確；
第四步：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，可看作點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)的軌跡方程，求出最大值，得到答案：
D選項(xiàng)，可看作點(diǎn)到直線的距離，
同理，可看作點(diǎn)到直線的距離，
故可看作點(diǎn)到直線的距離，
點(diǎn)的軌跡方程為，
故點(diǎn)到直線的距離最大值為圓心到的距離加上半徑，
即，故，
所以，故最大值為，D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：向量恒等式，及是常用等式，要學(xué)會(huì)合理利用這兩個(gè)式子解題．
應(yīng)用六 解決與概率有關(guān)問(wèn)題
【例6】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）從標(biāo)有1，2，3，…，10的10張卡片中，有放回地抽取兩張，依次得到數(shù)字，，記點(diǎn)，，，則（ ）
A．是銳角的概率為 B．是銳角的概率為
C．是銳角三角形的概率為 D．的面積不大于5的概率為
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：根據(jù)向量數(shù)量積為正結(jié)合古典概型公式判斷A，B選項(xiàng)：
易知，不共線，若是銳角，，易知共有100種情況，其中共有10種，與有相同種情況，即45種，所以是銳角的概率為，A正確；
若是銳角，恒成立，所以是銳角的概率為1，B錯(cuò)誤；
第二步：根據(jù)數(shù)量積為正得出銳角判斷C選項(xiàng)：
若是銳角三角形，則，
即
所以，共有9種情況，所以是銳角三角形的概率為，C正確；
第三步：結(jié)合面積公式判斷D選項(xiàng)：
若，，
該不等式共有組正整數(shù)解，所以的面積不大于5的概率為，D正確.
故選：ACD.
方法一： 直接法
第一步：根據(jù)條件構(gòu)造并化簡(jiǎn)向量：通過(guò)向量將所求量進(jìn)行表達(dá)，得出相應(yīng)的表達(dá)式并化簡(jiǎn)；
第二步：求范圍：利用二次函數(shù)開(kāi)口方向&對(duì)稱(chēng)軸和三角函數(shù)單調(diào)性&周期性等求解函數(shù)范圍.
方法二： 幾何法
第一步：確定向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)：首先需要確定題目中給定的向量起點(diǎn)和終點(diǎn)，以及它們所表示的幾何意義.
第二步：構(gòu)建平面幾何圖形：根據(jù)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)，在平面上構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形.這個(gè)圖形可以是線段、三角形、平行四邊形等，具體取決于題目的情況.
第三步：分析幾何關(guān)系：根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，分析向量之間的關(guān)系，以及它們與圖形中的線段、角度等幾何元素的關(guān)系.
第四步：求解范圍問(wèn)題：根據(jù)分析的幾何關(guān)系，利用平面幾何的知識(shí)，求解向量的范圍問(wèn)題.這可能涉及到線段的長(zhǎng)度、角度的大小、平行或垂直的條件等.
第六步：得出結(jié)論：根據(jù)求解的結(jié)果，得出向量的范圍，并給出相應(yīng)的解釋或證明.
方法三： 三角換元法
在解決平面向量問(wèn)題時(shí)，三角換元法是一種非常有效的技巧。通過(guò)設(shè)定向量的坐標(biāo)并利用三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化為易于解決的數(shù)學(xué)形式.
第一步：根據(jù)題目要求設(shè)定向量的坐標(biāo).
第二步：利用向量的模長(zhǎng)公式確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍，即利用，其中r是向量的模長(zhǎng).
第三步：根據(jù)題目要求確定向量的夾角范圍：通過(guò)設(shè)定一個(gè)角度來(lái)表示向量與坐標(biāo)軸的夾角，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)將向量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)形式，即和.
第四步：將轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)代入需要求解的表達(dá)式中進(jìn)行化簡(jiǎn)，并根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和不等式性質(zhì)求解表達(dá)式的取值范圍.通過(guò)這一過(guò)程，可以輕松解決平面向量的范圍問(wèn)題.
需要注意的是，在解題過(guò)程中要仔細(xì)分析題目條件和要求，并正確使用三角函數(shù)的性質(zhì)和不等式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)和求解.同時(shí)，還要注意細(xì)節(jié)和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果.
微點(diǎn)：平面向量處理解析幾何范圍問(wèn)題
【表現(xiàn)形式】高中數(shù)學(xué)中的平面向量與解析幾何是兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)模塊，但它們之間也存在密切的聯(lián)系.在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，平面向量常常以各種形式出現(xiàn)，為解決問(wèn)題提供新的視角和工具.以下是平面向量在解析幾何中常見(jiàn)的幾種表現(xiàn)形式：
1. 力的合成與分解：在解析幾何中，特別是在涉及速度、加速度等物理量時(shí)，平面向量常常作為力的合成與分解的表現(xiàn)形式出現(xiàn)。通過(guò)向量加法、減法和數(shù)乘等運(yùn)算，可以方便地描述和解決與方向和大小相關(guān)的問(wèn)題.
2. 向量的數(shù)量積、向量積和混合積：這些運(yùn)算在解析幾何中常用于描述點(diǎn)、線、面的關(guān)系。例如，向量的數(shù)量積可以用于求兩向量的夾角，進(jìn)而描述直線、平面之間的夾角；向量積可以描述平面的法向量，進(jìn)而研究平面幾何問(wèn)題；混合積則可以描述三維空間中點(diǎn)、線、面的關(guān)系.
3. 向量的線性表示：在解析幾何中，經(jīng)常需要將一個(gè)向量表示為其他向量的線性組合。通過(guò)向量的線性表示，可以研究向量的性質(zhì)、幾何意義以及與基底的關(guān)系.
4. 向量的模與向量的投影：向量的模描述了其大小，而向量的投影則用于研究向量在給定方向或平面上的分量。這在解析幾何中常用于計(jì)算距離、角度等.
5. 向量的線性方程組：在解析幾何中，經(jīng)常需要解決涉及多個(gè)未知數(shù)的線性方程組。通過(guò)將方程組中的每個(gè)方程表示為向量方程，可以利用向量運(yùn)算簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.
6. 向量的參數(shù)方程和極坐標(biāo)表示：在解析幾何中，參數(shù)方程和極坐標(biāo)是描述點(diǎn)或向量的重要工具。通過(guò)向量的參數(shù)方程和極坐標(biāo)表示，可以更方便地描述和解決與軌跡、方向和大小相關(guān)的問(wèn)題.
綜上所述，平面向量在解析幾何中以多種形式出現(xiàn)，為解決幾何問(wèn)題提供了新的視角和方法。掌握平面向量與解析幾何的聯(lián)系和應(yīng)用，有助于更好地理解和解決涉及幾何的數(shù)學(xué)問(wèn)題.
【步驟】
①理解問(wèn)題：首先，要明確問(wèn)題的要求，是求某點(diǎn)的軌跡、范圍，還是其他.
②建立坐標(biāo)系：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇合適的坐標(biāo)系。這有助于將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.
③設(shè)定變量：根據(jù)問(wèn)題的需求，設(shè)定變量，如點(diǎn)的坐標(biāo)等.
④建立方程：利用平面向量的數(shù)量積、模長(zhǎng)等性質(zhì)，建立代數(shù)方程。這通常涉及到向量的線性組合、數(shù)量積等運(yùn)算.
⑤求解方程：對(duì)方程進(jìn)行求解，得到變量的值.
⑥分析結(jié)果：根據(jù)解得的變量值，分析其幾何意義，得出點(diǎn)的軌跡、范圍等.
⑦驗(yàn)證答案：最后，將得到的答案代入原問(wèn)題，驗(yàn)證其正確性.
通過(guò)以上步驟，可以將平面向量與解析幾何中的范圍問(wèn)題有機(jī)結(jié)合起來(lái)，從而找到解決問(wèn)題的有效方法.
【例1】（2023上·江蘇蘇州·張家港市暨陽(yáng)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，圓，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線和，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
答案 A
解析
由已知，，.
如圖，設(shè)點(diǎn)，則，
，
在中，有
，
易知，則，
則，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，
又，所以，.
所以，的取值范圍是.
故選：A.
【例2】（2023上·安徽·合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,下頂點(diǎn)為，垂直于y軸的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
答案 A
解析 由橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，可得，即,
由下頂點(diǎn)為，得，
所以橢圓C的方程為．
由題意可設(shè)，則，
又，所以，
所以，
又，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，
故選：A．
【跟蹤練習(xí)】
（2023上·北京·北京市第十一中學(xué)校考期中）
1．已知橢圓的上、下頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（在線段之間），則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
2．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，過(guò)斜率為1的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且，若Q是拋物線上任意一點(diǎn)，且，則的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
（2023上·全國(guó)·期末）
3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)P滿(mǎn)足，記點(diǎn)P的軌跡為曲線
(1)求曲線E的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線E交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．
（2016上·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考期末）
4．在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，兩動(dòng)點(diǎn)M，N滿(mǎn)足，，向量與共線．
(1)求的頂點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與（1）軌跡相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的取值范圍．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．D
【分析】由題意畫(huà)出圖形，分直線的斜率不存在和存在兩種情況求解，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，由判別式大于0求得的范圍，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出數(shù)量積，由得范圍求得的范圍．
【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，，，
此時(shí)；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，設(shè),
則直線方程為，
聯(lián)立，得，
，得．
，
．
．
，，，
則，
綜上，的取值范圍是．
故選：D．
2．A
【分析】根據(jù)直線與拋物線聯(lián)立可得韋達(dá)定理，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】由題意可得，所以直線的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線方程得，
設(shè),所以
，，
化簡(jiǎn)得，
即,解得,
故
設(shè),則，
因此且，
因此可得，
故，當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故的最小值為0，
故選：A
3．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義，易判斷點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，求出的值，即得；
（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消元得到一元二次方程，推出韋達(dá)定理，依題得出參數(shù)的范圍，將所求式等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)式，通過(guò)整體換元即可求出其取值范圍.
【詳解】（1）因，，且動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，由雙曲線的定義知：
曲線E是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，，則，故曲線E的方程為
（2）
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，故不符題意.如圖，不妨設(shè)直線l方程為：，
設(shè)，，聯(lián)立，得，
由韋達(dá)定理得，，.
由題意：解得：
，令，因故，
而，在為減函數(shù)，
故，即的取值范圍為.
4．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，由，知．由且向量與共線，知N在邊的中垂線上，由此能求出的頂點(diǎn)C的軌跡方程．
（2）設(shè)，，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入，得．再由根的判別式和韋達(dá)定理能求出的取值范圍．
【詳解】（1）設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?br/>又且向量與共線，
∴N在邊的中垂線上，．
而，即，
化簡(jiǎn)并整理得頂點(diǎn)C的軌跡方程為．
（2）
設(shè)，
過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入，
得，，
得，
而是方程的兩根，
，．
，
即，
故的取值范圍為.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
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