資源簡介

第2講 向量的數(shù)量積與極化恒等式(練)
【典例1】（2023年高考文科數(shù)學(xué)（全國乙卷）第6題）已知正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．3 C． D．5
【解讀】向量是數(shù)學(xué)和其他一些學(xué)科研究的重要和有力工具，也是連結(jié)代數(shù)與幾何的橋梁之一，通過向量，可以將幾何問題和代數(shù)問題有機(jī)地結(jié)合，既可以通過代數(shù)運(yùn)算得到幾何不變量和幾何量之間的關(guān)系，也可以給代數(shù)賦予幾何直觀．
考查的內(nèi)容源于教材．考生可以利用向量的幾何意義和代數(shù)運(yùn)算求解，也可以建立直角坐標(biāo)系通過坐標(biāo)法來求解，解法靈活多樣．試題面向全體考生，不同思維能力層次的考生都可以通過自己熟悉的方法來解決問題．試題能讓考生增強(qiáng)自信心，有利于考生正常發(fā)揮．
【答案】B
【目標(biāo)】試題考查了向量的概念、向量的位置關(guān)系及長度、向量的運(yùn)算和向量運(yùn)算的幾何意義等知識點(diǎn)，也考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力．
【分析】解題思路 思路1 坐標(biāo)法．
如圖，建立以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸的平面直角坐標(biāo)系．
由題設(shè)可知，，，故，，
則．
思路2 幾何法．
設(shè)向量與的夾角為，故．
由題設(shè)和勾股定理可知，．
由余弦定理可知，．
所以，．
【典例2】（2023年高考數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ卷）第3題）已知向量，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】向量是數(shù)學(xué)研究的重要對象和工具，在其他學(xué)科中也有重要應(yīng)用．向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁之一，通過向量可以將幾何問題和代數(shù)問題有機(jī)結(jié)合起來，既可以通過代數(shù)運(yùn)算得到幾何不變量和幾何量之間的關(guān)系，也可以利用代數(shù)關(guān)系賦予幾何直觀嚴(yán)格的論證．試題考查向量的概念、向量的位置關(guān)系及長度、向量的運(yùn)算和向量運(yùn)算的幾何意義等知識．考查的內(nèi)容源于教材，面向全體考生．試題立足基本概念和方法，屬于簡單題目．試題設(shè)置能讓考生增強(qiáng)自信心，有利于考生正常發(fā)揮．
【答案】D
【目標(biāo)】試題考查平面向量概念、向量的線性運(yùn)算及其幾何意義、向量垂直及平面向量數(shù)量積等基本知識；考查運(yùn)算求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化的思想．
【分析】解題思路 利用向量數(shù)量積的幾何意義計(jì)算．
首先，等價(jià)于數(shù)量積．其次，由題設(shè)可知，，，故，
所以正確選項(xiàng)是D．
【典例3】（2023年高考理科數(shù)學(xué)（全國甲卷）第4題）已知向量，，滿足，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】試題給出模為定值的三個(gè)向量，以及這三個(gè)向量之間的關(guān)系，要求求出向量，夾角的余弦值．根據(jù)向量加法運(yùn)算的平行四邊形法則，可以列舉出滿足關(guān)系的三個(gè)向量的坐標(biāo)，通過向量坐標(biāo)的運(yùn)算，求出向量夾角的余弦值，也可以直接進(jìn)行向量的數(shù)量積的計(jì)算求解．不同思維能力層次的考生都可以通過自己熟悉的方法來解決問題．
向量是代數(shù)與幾何的橋梁之一，也是數(shù)學(xué)和其他一些學(xué)科研究的重要和有力工具，通過向量可以將幾何問題和代數(shù)問題有機(jī)結(jié)合，既可以通過代數(shù)運(yùn)算得到幾何不變量和幾何量之間的關(guān)系，也可以給代數(shù)內(nèi)容賦予幾何直觀．
【答案】D
【目標(biāo)】試題考查向量概念、向量的線性運(yùn)算及其幾何意義、向量的數(shù)量積以及向量夾角等相關(guān)知識；考查考生的平面向量的運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合的能力等．
【分析】解題思路 思路1 利用題目的條件，直接進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算．由題設(shè)得
，①
，②
．③
①+②③得，即．所以，．
．
思路2 利用向量之間的關(guān)系、向量的幾何意義和向量夾角的定義進(jìn)行計(jì)算．根據(jù)條件，，可以想象，，滿足等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系．根據(jù)，可知向量與的模長相等，方向相反．綜合這些條件，根據(jù)平行四邊形法則，可以設(shè)，，．所以，．
．
【典例4】（2023年高考文科數(shù)學(xué)（全國甲卷）第3題）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】試題考查了向量的概念、向量的長度、向量的夾角等，同時(shí)考查了向量的運(yùn)算．考查的內(nèi)容源于教材，面向全體考生．考生可以直接利用向量的代數(shù)運(yùn)算求解．試題能讓考生增強(qiáng)自信心，有利于考生正常發(fā)揮．向量是數(shù)學(xué)和其他一些學(xué)科研究的重要和有力工具，也是連結(jié)代數(shù)與幾何的橋梁之一，通過向量可以將幾何問題和代數(shù)問題有機(jī)地結(jié)合，既可以通過代數(shù)運(yùn)算得到幾何不變量和幾何量之間的關(guān)系．也可以給代數(shù)內(nèi)容賦予幾何直觀．
【答案】B
【目標(biāo)】試題考查向量的概念、向量的線性運(yùn)算及其幾何意義，向量的數(shù)量積以及向量夾角等相關(guān)知識．
【分析】解題思路 首先根據(jù)條件計(jì)算，，再根據(jù)向量夾角的余弦運(yùn)算公式求解．
，，
則．
應(yīng)用一 解決與解析幾何綜合應(yīng)用有關(guān)問題
【例1】（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，則（ ）
A．
B．點(diǎn)的軌跡方程為
C．的最小值為6
D．的最大值為
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：垂徑定理得到，從而得到，進(jìn)而求出角度∠ACB：
A選項(xiàng)，由題意得，半徑為，
由垂徑定理得⊥，則，解得，
由于，則，故，A錯(cuò)誤；
第二步：由得到點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，得到軌跡方程：
B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可得，，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，
故點(diǎn)的軌跡方程為，B正確；
第三步：由極化恒等式得到，結(jié)合點(diǎn)的軌跡方程，得到的最小值：
C選項(xiàng)，由題意得，，
兩式分別平方后相減得，，
其中，又點(diǎn)的軌跡方程為，
所以的最小值為，故的最小值為，C正確；
第四步：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，可看作點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)的軌跡方程，求出最大值，得到答案：
D選項(xiàng)，可看作點(diǎn)到直線的距離，
同理，可看作點(diǎn)到直線的距離，
故可看作點(diǎn)到直線的距離，
點(diǎn)的軌跡方程為，
故點(diǎn)到直線的距離最大值為圓心到的距離加上半徑，
即，故，
所以，故最大值為，D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：向量恒等式，及是常用等式，要學(xué)會合理利用這兩個(gè)式子解題．
應(yīng)用二 利用數(shù)量積求模
【例2】（2023·全國·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量，線段的中點(diǎn)為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：用平面向量基底表示：
設(shè)，
則，
第二步：找到的關(guān)系求解即可得出模長：
由，
得，又已知，且，
則有，
故.
故選：A.
應(yīng)用三 向量夾角的計(jì)算
【例3】（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）在梯形中，，且，，分別為線段和的中點(diǎn)，若，，用，表示 ．若，則余弦值的最小值為 ．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：使用向量線性運(yùn)算即可求解：
如圖，由已知，
.
∴.
第二步：以與為基底，用數(shù)量積的形式表示出：
設(shè)，即與的夾角為，
，
若，則，
∴，即，
第三步：由基本不等式求解即可得出余弦值的最小值：
∴，
又∵，，∴由基本不等式，
∴.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
故答案為：，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題第2空的關(guān)鍵，是用以為夾角的兩個(gè)向量作為基底，將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的形式，再借助基本不等式求解.
應(yīng)用四 垂直關(guān)系的向量表示
【例4】（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（ ）
A．已知，點(diǎn)在直線上，且，則的坐標(biāo)為；
B．若是的外接圓圓心，則
C．若，且，則
D．若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的垂心.
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：對于A，設(shè)，由題意可得或，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可：
對于A，設(shè)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且，
所以或，
則或，
所以或，解得或，
所以或，故A錯(cuò)誤；
第二步：設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)數(shù)量積的定義即可得解：
對于B，如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，則，
則，故B正確；
第三步：當(dāng)時(shí)，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷：
對于C，當(dāng)時(shí)，，
滿足，則與不一定相等，故C錯(cuò)誤；
第四步：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷D：
對于D，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
同理可得，
所以是的垂心，故D正確.
故選：BD.
應(yīng)用五 判斷三角形形狀
【例5】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A．若，且，則為直角三角形
B．若，，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則
C．若平面內(nèi)有一點(diǎn)滿足：，且，則為等邊三角形
D．若，則為鈍角三角形
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：由已知確定的角平分線與BC垂直，進(jìn)而求出，再利用向量夾角的余弦得出，最后得出是等邊三角形，判斷A：
對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋謩e為單位向量，所以的角平分線與BC垂直，所以，所以.又因?yàn)椋?br/>即，因?yàn)?，所以，所以，所以為等邊三角形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
第二步：由正弦函數(shù)值確定角的范圍：
對于選項(xiàng)B，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則，因?yàn)椋裕?，所以，故選項(xiàng)B正確；
第三步：由向量模長關(guān)系得到角的大小，再用全等關(guān)系得出等邊三角形判斷C：
對于C，因?yàn)椋?，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，結(jié)合，故，可得，故為等邊三角形，C正確；
第四步：利用弦切互化，三角恒等變換和兩角和與差的正余弦展開式判斷D：
對于D.，
而，所以A，B，C都為銳角，D錯(cuò)誤；
故選：BC.
應(yīng)用六 投影向量
【例6】（2023·福建莆田·莆田一中?？家荒＃┮阎橇阆蛄颗c滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：根據(jù)給定條件，確定的形狀：
因?yàn)楹头謩e表示向量和向量方向上的單位向量，
由，可得的角平分線與垂直，
所以為等腰三角形，且，
第二步：利用投影向量的意義求解作答：
又，得，所以，
又，所以,
所以為等邊三角形，
所以向量在向量上的投影向量為，
故選：B.
方法一： 代數(shù)法
第一步：理解問題：首先，你需要理解問題的具體要求，分析題目所給的條件。向量問題可能涉及到向量的加法、減法、數(shù)乘、向量的模、向量的數(shù)量積、向量的向量積、向量的混合積等.
第二步：建立向量表達(dá)式：利用向量工具對未知量進(jìn)行表達(dá)，并化簡向量表達(dá)式.
第三步：求解數(shù)量積：利用向量表達(dá)式求解數(shù)量積.
方法二： 幾何法
第一步：利用題目條件，得出幾何關(guān)系.根據(jù)題目給出的條件，將向量的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.
第二步：觀察圖形，表達(dá)向量：通過觀察幾何圖形，利用向量的表示方法，將向量的數(shù)量積表示為幾何量（如長度、角度等）的函數(shù).最后，利用三角函數(shù)的有界性，求出向量的數(shù)量積的取值范圍，從而得出答案.
總之，解決向量數(shù)量積問題需要運(yùn)用向量的基本知識和幾何法，通過觀察幾何圖形和利用三角函數(shù)的有界性，求出向量的數(shù)量積的取值范圍，從而得出答案.
方法三： 坐標(biāo)公式法
第一步：確定每個(gè)向量的坐標(biāo).建立平面直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo).
第二步：應(yīng)用坐標(biāo)公式法進(jìn)行計(jì)算：具體來說，如果向量的坐標(biāo)是，向量的坐標(biāo)是，那么它們的數(shù)量積可以通過以下公式得出：.
第三步：按照上述步驟，我們可以得到所需求的量.
微點(diǎn)：數(shù)量積&極化恒等式
【表現(xiàn)形式】
一、數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量，叫做與的數(shù)量積，記作，即，其中為兩個(gè)向量的夾角．
為銳角時(shí)，為在方向上的投影數(shù)量為正數(shù)；
為直角時(shí)，為在方向上的投影數(shù)量為0；
為鈍角時(shí)，為在方向上的投影數(shù)量為負(fù)數(shù)．
特別注意：①向量與夾角的范圍為，同向時(shí)；反向時(shí)；
②是向量與夾角為銳角的必要不充分條件；
③是向量與夾角為鈍角的必要不充分條件；
④兩個(gè)非零向量與，是向量與夾角為直角的充要條件．
二、關(guān)于數(shù)量積的解讀
向量夾角的判定
同起點(diǎn)原則判定夾角：如圖等邊三角形ABC中，與為同起點(diǎn)向量，故夾角為；但是與的夾角并不為，需把平移到，故與的夾角為；
的幾何意義
①數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影數(shù)量的乘積；
②數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影數(shù)量的乘積；
投影向量
在方向上的投影向量（注意不是投影數(shù)量）與共線，即投影向量為的表示，其中，因?yàn)椋裕辉诜较蛏系耐队跋蛄繛椋?br/>三、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：
①；
②；
③；
④，即向量的平方等于模的平方；
⑤注意：向量運(yùn)算沒有結(jié)合律，即，這是由于表示一個(gè)與共線的向量，表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等；
⑥若a、b、c是實(shí)數(shù)，則；但對于向量，就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量、、滿足，則不一定有，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．
四、數(shù)量積的基本量的計(jì)算
已知非零向量，，為向量與的夾角．
基本量 幾何表示 坐標(biāo)表示
模
夾角
在方向上的投影數(shù)量
的充要條件
的充要條件
投影向量
五、關(guān)于數(shù)量積的其他應(yīng)用
①關(guān)于柯西不等式的證明：新教材課后練習(xí)證明題
求證：
證明：構(gòu)造兩個(gè)向量，，故，易知當(dāng)時(shí)取等號，即與共線，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；
②極化恒等式：新教材課后練習(xí)證明題
求證：
證明：，
兩式相加即得．
③求解的最值
構(gòu)造兩個(gè)向量，在單位圓上；當(dāng)與同向共線時(shí)，；當(dāng)與反向共線時(shí)，；綜上當(dāng)時(shí)，取最值．
【步驟】①根據(jù)題目條件建立圖象并寫出所求量的向量表達(dá)式；②化簡所求量的向量表達(dá)式并求解.
【例1】（2023·重慶沙坪壩·重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點(diǎn)，，，則（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
【答案】D
【分析】由題設(shè)有，代入極化恒等式求即可.
【詳解】由題設(shè)，，，
.
故選：D
【例2】（2023下·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“模”的運(yùn)算.如圖所示的四邊形中，，為中點(diǎn).
（1）若，求的面積；
（2）若，求的值.
【答案】(1)10
(2)240
【分析】（1）利用數(shù)量積的定義求出，根據(jù)同角關(guān)系求出，代入三角形面積公式即可求解；
（2）先利用極化恒等式得，由得，代入極化恒等式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br/>即，所以，
又，所以，
所以；
（2）因?yàn)?，?br/>由極化恒等式得，
所以，
又，所以，
由極化恒等式得.
【跟蹤練習(xí)】
（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考）
1．閱讀一下一段文字：，，兩式相減得 我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“?！钡倪\(yùn)算．試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考）
2．閱讀下一段文字：，，兩式相減得，我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“模”的運(yùn)算．試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
(1)若AD=BC=3，求的值；
(2)若，，求的值．
（2023·江蘇常州·高三校考）
3．閱讀一下一段文字：，兩式相減得：，我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”．它實(shí)現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“?！钡倪\(yùn)算．試解決以下問題：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
（1）若，求的值；
（2）若， ，求的值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)“極化恒等式”列出式子計(jì)算即可
（2）設(shè)，根據(jù)題目所給條件和“極化恒等式”列出關(guān)于 的方程組，解出 ，再根據(jù)“極化恒等式”計(jì)算出的值
【詳解】（1）
（2）設(shè)
，由（1）知 ，即 ①
,同理可得 ，即 ②
由①②解得
2．(1)
(2)7
【分析】（1）由極化恒等式知，代入即可得出答案.
（2）因?yàn)?，由極化恒等式知: ，因?yàn)?，由極化恒等式知: ，解兩個(gè)方程求出，再因?yàn)椋爰纯傻贸龃鸢?
【詳解】（1）由極化恒等式知．
（2）設(shè)，，
因?yàn)椋蓸O化恒等式知: ，因?yàn)?，由極化恒等式知: ，所以
解得m=2，n=3，
所以．
3．（1）21；（2）.
【分析】（1）利用極化恒等式，即可求解.
(2)根據(jù)條件解出m、n即可求解.
【詳解】解：（1）由“極化恒等式”知：
；
（2）設(shè)，
因?yàn)橛桑?）知， ①
因?yàn)橥砜傻茫?②
由①②解得，
于是有.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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