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第1講 數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用（講）
【典例1】（2023年高考文科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）第5題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，，則（ ）
A.25 B.22 C.20 D.15
【解讀】等差數(shù)列完全由其首項(xiàng)與公差決定．先設(shè)出首項(xiàng)，公差d，根據(jù)通項(xiàng)公式可將題設(shè)條件轉(zhuǎn)換為與d的兩個(gè)方程，解方程組可得，；再由前n項(xiàng)和公式，可得．考生也可利用等差數(shù)列性質(zhì)，快速得到正確答案．
【答案】C
【目標(biāo)】本題考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容，考查考生基本的邏輯思維與推理能力，以及運(yùn)算求解能力．
【分析】解題思路 思路1 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則通項(xiàng)．由題設(shè)知，即……①；由知……②．將①中的代入②，解得，從而，所以，正確選項(xiàng)為C．
思路2 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由等差數(shù)列數(shù)列的性質(zhì)及題設(shè)知；再由題設(shè)得，又由知，從而，所以，正確選項(xiàng)為C．
【典例2】（2023年高考理科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）第5題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A． B． C.15 D.40
【解讀】等比數(shù)列完全由其首項(xiàng)與公比確定．已知首項(xiàng)，只需根據(jù)條件求出公比q，問(wèn)題即告解決．本題屬于基本題，考查等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和等基本概念，在討論過(guò)程中注意是得到正確答案的關(guān)鍵．
【答案】C
【目標(biāo)】本題考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容，考查考生基本的邏輯思維與推理能力，以及簡(jiǎn)單運(yùn)算求解能力．
【分析】解題思路 由題設(shè)，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)且，若設(shè)公比為q，則通項(xiàng)．將，代入條件：，整理得：由；由“的各項(xiàng)均為正數(shù)”知：，從而，故，進(jìn)而．所以，正確選項(xiàng)為C．
【典例3】（2023年高考理科數(shù)學(xué)（全國(guó)乙卷）第10題）已知等差數(shù)列的公差為，集合．若，則（ ）
A．－1 B． C.0 D．
【解讀】本題是集合、數(shù)列、三角函數(shù)的綜合題，對(duì)集合的概念、三角函數(shù)的周期性進(jìn)行了深入的考查．本題可以通過(guò)三角函數(shù)的周期性求解，也可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解．等差數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)單位圓周上的點(diǎn)，由于的公差是，即與對(duì)應(yīng)同一個(gè)點(diǎn)，這樣圓周上最終有三個(gè)點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，該三角形的外接圓半徑為1，因此三角形中心到三邊的距離都是．由題意知三角形有兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即有一條邊平行于y軸，這樣三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，，或者，，，均有．考生也可利用特例的思想，令，，，從而發(fā)現(xiàn)，快速得到答案．試題重思維，輕計(jì)算，考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有利于選拔創(chuàng)新性人才．
【答案】B
【目標(biāo)】試題考查了等差數(shù)列與三角函數(shù)的性質(zhì)，側(cè)重考查對(duì)周期性的認(rèn)識(shí)與理解．同時(shí)也考查了考生的分析問(wèn)題能力與推理能力．
【分析】解題思路 思路1 設(shè)等差數(shù)列的公差為，即，，
這樣集合，因此，，中有兩個(gè)數(shù)的余弦值相等．
滿足的y只有或，兩種情況對(duì)應(yīng)第三個(gè)數(shù)的余弦值分別為或，因此乘積或，均有．故正確選項(xiàng)為B．
思路2 將等差數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)為單位圓周上的點(diǎn)，由于公差是，即與對(duì)應(yīng)同一個(gè)點(diǎn)，這樣圓周上最終有三個(gè)點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，該三角形的外接圓半徑為1，因此三角形中心（即原點(diǎn)）到三邊的距離都是．由題意知三角形有兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即有一條邊平行于y軸，這樣三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為或者，均有．
【典例4】（2023年高考數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ卷）第8題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A.120 B.85 C． D．
【解讀】等比數(shù)列完全由其首項(xiàng)與公比決定．設(shè)出首項(xiàng)，公比q后，根據(jù)前n項(xiàng)和公式及題設(shè)條件，在處理問(wèn)題時(shí)將視為整體，則，，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．厘清題設(shè)條件，及與等差數(shù)列，，，中項(xiàng)的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【答案】C
【目標(biāo)】本題考查等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容，考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．
【分析】解題思路 設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則．．由題設(shè)得．易見(jiàn)
由題設(shè)得；由知，所以，解得（舍去），．把代入得．所以，
，
故正確選項(xiàng)為C．
【典例5】（2023年高考文科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）第13題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則的公比為_(kāi)_____
【解讀】試題的主干部分是考生熟悉的等比數(shù)列，要解決的是關(guān)于數(shù)列公比的問(wèn)題，已知的信息則由前n項(xiàng)和給出．解題思路是自然的，考生只要掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，就能將轉(zhuǎn)化為關(guān)于公比q的一元六次方程，后者又可看作關(guān)于的一元二次方程，從而得到解答；從另一個(gè)角度來(lái)看，考生也可以避免代入公式，而是通過(guò)觀察，由得到相同的結(jié)論．不同思路的選擇使得考生個(gè)體理性思維的廣度和深度得到了展示，試題較好地考查了考生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能．
試題注重考查基礎(chǔ)知識(shí)，貼近教材，沒(méi)有煩瑣的計(jì)算，能科學(xué)引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械刷題，助力“雙減”政策落地．注意題目所給條件只能確定等比數(shù)列的公比，但不足以確定其首項(xiàng)．因此，本題體現(xiàn)了一定程度的開(kāi)放性，也對(duì)考生思維靈活性與邏輯嚴(yán)密性提出了一定程度的要求．試題的解答過(guò)程突出素養(yǎng)和能力的考查，很好地考查了考生的理性思維素養(yǎng)以及邏輯推理、運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力．
【答案】
【目標(biāo)】試題考查等比數(shù)列的概念及其前n項(xiàng)和公式，作為基本的數(shù)列類型，等比數(shù)列的兩個(gè)基本量是首項(xiàng)與公比，如何對(duì)其進(jìn)行求解，需要考生將題設(shè)所給條件正確轉(zhuǎn)化為關(guān)于它們的方程．試題考查考生的理性思維素養(yǎng)以及邏輯推理、運(yùn)算求解等能力．
【分析】記等比數(shù)列的公比為q．
解題思路 思路1 若，則為常值數(shù)列，，此時(shí)，，由題設(shè)，有，故，與為等比數(shù)列矛盾，因此．
由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及題設(shè)，可得，因?yàn)椋裕淼茫纸庖蚴降茫儆芍裕?br/>思路2 首先注意到，等比數(shù)列的前3項(xiàng)和不為0．事實(shí)上，，因?yàn)椋曳匠虩o(wú)實(shí)數(shù)根，所以．
．
由此可得，因?yàn)椋玫剑裕?br/>【典例6】（2023年高考理科數(shù)學(xué)（全國(guó)乙卷）第15題）已知為等比數(shù)列，，，則______．
【解讀】試題從考生熟悉的等比數(shù)列入手，通過(guò)給定等比數(shù)列的某些項(xiàng)滿足的關(guān)系式，可以得到首項(xiàng)與公比q的兩個(gè)方程，確定所求等比數(shù)列，從而得到所求結(jié)論．
試題考查考生對(duì)等比數(shù)列的概念和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，也考查了考生分析問(wèn)題、歸納問(wèn)題以及遞推運(yùn)算等基本能力．在試題求解結(jié)論的過(guò)程中，并不需要求得和q的具體取值，能夠考查考生的靈活性．試題難度適中，面向全體考生，有利于考生正常發(fā)揮．
【答案】-2
【目標(biāo)】試題考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查考生分析遞推、歸納求解的能力．
【分析】解題思路 由題設(shè)條件建立關(guān)于等比數(shù)列首項(xiàng)與公比q的兩個(gè)方程，利用求解結(jié)果表示，得到所求結(jié)論．
設(shè)等比數(shù)列的公比為q．由等比數(shù)列性質(zhì)和題設(shè)可知，故，即．從而．因此．
還可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解．
應(yīng)用一 求已知函數(shù)的極值點(diǎn)
【例1】（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（ ）
A． B． C.3 D．
【引導(dǎo)與詳解】第一步：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)：
由求導(dǎo)得：，
有，即有兩個(gè)不等實(shí)根，
顯然是的變號(hào)零點(diǎn)，即函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
第二步：利用等差數(shù)列性質(zhì)求出即可計(jì)算得解：
依題意，，在等差數(shù)列中，，
所以．
故選：A
應(yīng)用二 判斷數(shù)列的增減性
【例2】
【引導(dǎo)與詳解】
應(yīng)用三 與圓錐曲線有關(guān)問(wèn)題
【例3】（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)．若依次成等比數(shù)列，則平面上的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．直線和焦點(diǎn)在軸的橢圓 B．直線和焦點(diǎn)在軸的橢圓
C．直線和焦點(diǎn)在軸的雙曲線 D．直線和焦點(diǎn)在軸的雙曲線
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：根據(jù)等比數(shù)列列方程：
由題意可知，，
即，
第二步：化簡(jiǎn)方程：
對(duì)其整理變形：，
，
，
，
因?yàn)椋曰颍?br/>即或．
第三步：利用方程得出軌跡：
所以點(diǎn)的軌跡為直線和焦點(diǎn)在軸的雙曲線．
故選：D
應(yīng)用四 與三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題
【例4】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．滿足的值有且僅有一個(gè)
B．滿足，，成等比數(shù)列的值有且僅有一個(gè)
C．，，三者可以以任意順序構(gòu)成等差數(shù)列
D．存在使得，，成等比數(shù)列
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：A項(xiàng)，化簡(jiǎn)，作出和的圖象，即可得出結(jié)論：
A項(xiàng)，因?yàn)椋谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)作和的圖象：
可知在上，方程只有一解，故A選項(xiàng)內(nèi)容正確；
第二步：B項(xiàng)，利用等比數(shù)列求出，，的關(guān)系，作出和的圖象，即可得出結(jié)論：
B項(xiàng)，由，，成等比數(shù)列，可得，，得，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作和的圖象：
可知方程，有且只有一解，所以B選項(xiàng)內(nèi)容正確；
第三步：C項(xiàng)，利用，，三者的關(guān)系，求出三者的值，即可得出結(jié)論：
C項(xiàng)，若，，三者可以以任意順序構(gòu)成等差數(shù)列，則必有：，且為銳角，
所以，而，
所以，，三者不可能以任意順序構(gòu)成等差數(shù)列，，
所以C選項(xiàng)內(nèi)容錯(cuò)誤，
第四步：D項(xiàng)，假設(shè)，，是等比數(shù)列，而利用，，三者關(guān)系得出，即可得出結(jié)論：
對(duì)于D，若存在，使得，，成等比數(shù)列，
則，
而 ，故即，
故即，所以且，
由可得，
而，故，
故，
所以不存在使得，，成等比數(shù)列
故選：CD．
應(yīng)用五 與概率有關(guān)問(wèn)題
【例5】
【引導(dǎo)與詳解】
應(yīng)用六 與零點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題
【例6】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)
B．函數(shù)的最小正周期為
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．若函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：A項(xiàng)，根據(jù)偶函數(shù)定義進(jìn)行判斷：
對(duì)于A：的定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
所以，所以為偶函數(shù)，故A正確；
第二步：B項(xiàng)，化簡(jiǎn)函數(shù)得到，根據(jù)的最小正周期進(jìn)行判斷：
對(duì)于B：，的最小正周期，故B正確；
第三步：C項(xiàng)，根據(jù)的值直接判斷：
對(duì)于C：因?yàn)椋栽趨^(qū)間上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；
第四步：D項(xiàng)，根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在上有個(gè)實(shí)根”，采用數(shù)形結(jié)合思想，可求解出公差和，則的值可求：
對(duì)于D：因?yàn)椋也煌瑫r(shí)為，
所以，則，
所以的零點(diǎn)為與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖，
設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)，分別為，
由成等差數(shù)列，且，
則公差，則，所以，故D正確；
故選：ABD．
應(yīng)用七 數(shù)列片段有關(guān)問(wèn)題
【例7】（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）下列命題正確的是（ ）
A．若、均為等比數(shù)列且公比相等，則也是等比數(shù)列
B．若為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列
C．若為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列
D．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件
【引導(dǎo)與詳解】
第一步A項(xiàng)，令即可判斷：
A：若且、公比相等，則，顯然不滿足等比數(shù)列，錯(cuò)；
第二步：B、C項(xiàng)，由等比數(shù)列定義，結(jié)合特殊值為偶數(shù)，判斷：
B：若的公比為，而，，，
所以，，是公比為的等比數(shù)列，對(duì)；
C：同B分析，，，，
若為偶數(shù)，時(shí)，顯然各項(xiàng)均為0，不為等比數(shù)列，錯(cuò)；
第三步：D項(xiàng)，由充分、必要性定義，結(jié)合特殊數(shù)列判斷：
D：當(dāng)，則且，易知為遞增數(shù)列，充分性成立；
當(dāng)為遞增數(shù)列，則且，顯然為滿足，但不恒成立，必要性不成立，
所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，對(duì)．
故選：BD
數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用
處理數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，主要涉及數(shù)列的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等．解決這類問(wèn)題的一般方法如下：
1． **觀察法**：通過(guò)觀察數(shù)列的項(xiàng)，嘗試找出數(shù)列的規(guī)律．例如，如果一個(gè)數(shù)列呈現(xiàn)出一個(gè)明顯的周期模式，那么可以通過(guò)觀察來(lái)確定這個(gè)周期．
2． **數(shù)學(xué)歸納法**：對(duì)于一些具有遞推關(guān)系的數(shù)列，可以使用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明數(shù)列的性質(zhì)．例如，證明數(shù)列是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的．
3． **作差法**：通過(guò)比較相鄰兩項(xiàng)的差值，判斷數(shù)列的單調(diào)性．如果差值恒定，那么數(shù)列是等差數(shù)列；如果差值正負(fù)交替，那么數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列．
4． **作商法**：對(duì)于一些特殊的數(shù)列，如等比數(shù)列，可以通過(guò)比較相鄰兩項(xiàng)的商來(lái)判斷數(shù)列的性質(zhì)．如果商恒定，那么數(shù)列是等比數(shù)列．
5． **周期性分析**：如果一個(gè)數(shù)列呈現(xiàn)周期性，可以通過(guò)分析周期來(lái)找出規(guī)律．例如，找出周期數(shù)列中的周期、對(duì)稱軸等．
6． **代數(shù)運(yùn)算**：對(duì)于一些涉及代數(shù)運(yùn)算的數(shù)列問(wèn)題，可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)找出數(shù)列的規(guī)律．例如，通過(guò)解方程來(lái)找出數(shù)列中的特定項(xiàng)．
7． **函數(shù)性質(zhì)**：有時(shí)可以將數(shù)列視為函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)分析數(shù)列．例如，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷數(shù)列的單調(diào)性．
8． **歸納總結(jié)**：對(duì)于一些復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題，可能需要綜合運(yùn)用多種方法來(lái)解決．在處理問(wèn)題時(shí)，要善于歸納總結(jié)，找出最適合的方法．
以上是處理數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的一些常見(jiàn)方法．在具體解題時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的具體情況選擇合適的方法．
方法一： 數(shù)學(xué)歸納法
第一步，驗(yàn)證基礎(chǔ)步驟．即當(dāng)n=1時(shí)，需要驗(yàn)證題目所給的數(shù)列性質(zhì)是否成立．這是數(shù)學(xué)歸納法的起點(diǎn)．
第二步，假設(shè)步驟．假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，數(shù)列的性質(zhì)成立，即需要假設(shè)題目所給的數(shù)列性質(zhì)在n=k時(shí)成立．這是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵步驟．
第三步，歸納步驟．基于第二步的假設(shè)，推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)，數(shù)列的該性質(zhì)也成立．這一步通常需要利用函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的定義和其他已知條件來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)．
第四步，結(jié)論步驟．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，由于基礎(chǔ)步驟和歸納步驟都成立，所以可以得出結(jié)論：題目所給的性質(zhì)對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．
通過(guò)以上四個(gè)步驟，我們可以使用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明數(shù)列和函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題．需要注意的是，在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，必須確保每個(gè)步驟都正確，不能跳過(guò)任何一個(gè)步驟．同時(shí)，還需要根據(jù)具體的問(wèn)題和已知條件來(lái)選擇合適的方法和技巧進(jìn)行證明．
方法二： 作差法
第一步，根據(jù)題目給出的兩個(gè)數(shù)列，計(jì)算它們的差值．這一步需要我們根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式或者前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算．
第二步，觀察差值的符號(hào)變化．如果差值始終為正，說(shuō)明第一個(gè)數(shù)列始終大于第二個(gè)數(shù)列，即第一個(gè)數(shù)列是遞增的；如果差值始終為負(fù)，說(shuō)明第一個(gè)數(shù)列始終小于第二個(gè)數(shù)列，即第一個(gè)數(shù)列是遞減的；如果差值有正有負(fù)，說(shuō)明第一個(gè)數(shù)列既有遞增又有遞減的趨勢(shì)．
第三步，根據(jù)差值的符號(hào)變化，我們可以得出原數(shù)列的單調(diào)性、極值等性質(zhì)．例如，如果原數(shù)列的差值在某一項(xiàng)之后開(kāi)始小于0，說(shuō)明原數(shù)列在這一項(xiàng)之后開(kāi)始遞減；如果原數(shù)列的差值在某一項(xiàng)之后開(kāi)始大于0，說(shuō)明原數(shù)列在這一項(xiàng)之后開(kāi)始遞增．
第四步，根據(jù)第三步得出的結(jié)論，我們可以進(jìn)一步研究原數(shù)列的其他性質(zhì)．例如，如果原數(shù)列是遞增的，我們可以求出它的最小值；如果原數(shù)列是遞減的，我們可以求出它的最大值．
方法三： 作商法
第一步：根據(jù)所給出的函數(shù)表達(dá)式確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差．
第二步：計(jì)算數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的比值．這個(gè)比值能夠反映出數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系．
第三步：觀察比值的性質(zhì)．如果比值是一個(gè)常數(shù)，那么數(shù)列可能是一個(gè)等比數(shù)列；如果比值是遞增或遞減的，那么數(shù)列可能是遞增或遞減的．
第四步：根據(jù)比值的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和的表達(dá)式，從而解決數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題．
微點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法
【表現(xiàn)形式】在證明一些數(shù)列相關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果直接證明不太好證明，可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法證明，這是證明數(shù)列相關(guān)問(wèn)題的一種獨(dú)特的方法，有以下注意事項(xiàng)：
1．在第二步證明當(dāng)時(shí)命題也成立的過(guò)程中，需要用到假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立得到的結(jié)論．
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是通過(guò)第一步進(jìn)行歸納奠基之后，再通過(guò)第二步進(jìn)行歸納遞推，進(jìn)而證明命題．
【步驟】第一步：證明當(dāng)（）時(shí)命題成立．
第二步：假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)命題成立，推出當(dāng)時(shí)命題也成立．
第三步：綜合前兩步可得，命題對(duì)所有從開(kāi)始的正整數(shù)n都成立．
【例1】（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，則以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)（ ）
①
②；
③對(duì)任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立
④
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解析：因?yàn)椋簦瑒t，又，
則，又，∴，①正確；
由已知，又，∴，②正確；
由及①得，則，，∴，
顯然對(duì)任意的正數(shù)，在正整數(shù)，使得，此時(shí)成立，③正確；
(i)當(dāng)時(shí)，顯然成立，(ii)假設(shè)時(shí)，，則，又，
則，又，則，∴，
綜上，可得時(shí)，，④正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】在解決不等式的證明問(wèn)題中，本題用到了放縮法和數(shù)學(xué)歸納法，命題③通過(guò)放縮得到，進(jìn)而得到即可判斷；數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用主要是以下步驟，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)成立，假設(shè)時(shí)成立，推出時(shí)成立即可．
【例2】（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．給出以下兩個(gè)命題：命題對(duì)任意，都有；命題，使得對(duì)成立．（ ）
A．真 B．假 C．真 D．假
答案：AD
解析：對(duì)于命題，先利用數(shù)學(xué)歸納法證明，
當(dāng)時(shí)，，不等式成立，
假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，則
，
所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立，
綜上，，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕悦}為真命題，
對(duì)于命題，假設(shè)存在，使得對(duì)，
由已知可得，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
由基本不等式推廣可得，
所以，所以，
所以，所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，這與相矛盾，
所以命題為假命題，
故選：AD
【跟蹤練習(xí)】
（2023·全國(guó)·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．為等差數(shù)列 B．
C． D．
（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）
2．若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列滿足，則稱為“牛頓數(shù)列”.已知函數(shù)，數(shù)列為“牛頓數(shù)列”，其中，則（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列
C．
D．關(guān)于的不等式的解有無(wú)限個(gè)
（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）
3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足為其前項(xiàng)和，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山東日照·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
4．已知數(shù)列滿足：，，且，，其中.則 ，若，則使得成立的最小正整數(shù)為 .
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．BCD
【分析】A：根據(jù)的值進(jìn)行分析判斷；B：先表示出，根據(jù)表示的結(jié)果用數(shù)學(xué)歸納法證明的范圍，由此判斷出的正負(fù)；C：分析數(shù)列的單調(diào)性然后判斷即可；D：令根據(jù)BC選項(xiàng)可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】對(duì)于A：由，即解得，
所以，
此時(shí)，所以不是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B： ，
因?yàn)椋遥裕?br/>下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，
所以，所以，所以時(shí)成立，
所以成立，
所以，所以，
所以，所以，故B正確；
對(duì)于C：，
且，
由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，
因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以是遞增數(shù)列，所以是遞增數(shù)列，
所以是遞減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，
所以，所以，故C正確；
對(duì)于D：令，
則，
且
，
因?yàn)椋瑒t，，
且，可得，
即，可知為遞減數(shù)列，
則，
即，
整理得，故D正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，其中涉及到等差數(shù)列的判斷、數(shù)列單調(diào)性的分析，對(duì)學(xué)生的分析與計(jì)算能力要求較高，難度較大.解答本題的關(guān)鍵在于BC選項(xiàng)的分析，先通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法說(shuō)明的范圍，從而計(jì)算出的正負(fù)完成單調(diào)性證明，接著再通過(guò)分析的結(jié)果完成的單調(diào)性的說(shuō)明，同時(shí)為分析D選項(xiàng)作鋪墊.
2．BCD
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出數(shù)列遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)及不等式證明逐一判斷各選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由得，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由得，，所以，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故B正確；
對(duì)于C，，，由，得，
所以，所以，
令，則，
所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，又，，
所以，即，
所以，，即.
對(duì)于C，，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：.
當(dāng)時(shí)，，命題成立；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即；
當(dāng)時(shí)，即，
，命題成立；
所以命題成立；
綜上成立.
對(duì)于D，，因?yàn)椋?br/>所以，即，，所以不等式的解有無(wú)限個(gè),故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由和，構(gòu)造等比數(shù)列，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力,屬于偏難題目.
3．ACD
【分析】A選項(xiàng)，先構(gòu)造函數(shù)，并研究其單調(diào)性，利用進(jìn)行放縮，利用數(shù)學(xué)歸納法可證明；
B選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性即可；
C 選項(xiàng)，利用數(shù)學(xué)歸納法和假設(shè)法可證明；
D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)結(jié)論對(duì)進(jìn)行放縮即可證明.
【詳解】設(shè)函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增.
用數(shù)學(xué)歸納法下證.
當(dāng)時(shí)，有；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，
由于，
所以根據(jù)在上單調(diào)遞增可知，
即當(dāng)時(shí)，有.
綜上可知，.
對(duì)于A，令，
因?yàn)椋试谏蠁握{(diào)遞增，故，
即，即.
，故A正確.
對(duì)于B，令，，
令，
令，則>0，所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，所以即 在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，即.
故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：.
當(dāng)時(shí)，有成立；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，
若，
則由可知，
與假設(shè)矛盾，故.
故，故C正確.
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
故，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】與數(shù)列相關(guān)的不等式問(wèn)題證明方法點(diǎn)睛：
（1）可以利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)進(jìn)行證明；
（2）可以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明，通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合不等式進(jìn)行放縮得到結(jié)果.
4．
【分析】求導(dǎo)后可得，依次代入和即可求得；猜想得，由數(shù)學(xué)歸納法可證明其成立，由此可得，裂項(xiàng)相消可得，解不等式可求得結(jié)果.
【詳解】，，
，又，，
；
可猜想：；
當(dāng)時(shí)，成立；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
那么當(dāng)時(shí)，，，，
；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；，
，
解得：，使得成立的最小正整數(shù)為.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列、函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)得到所滿足的關(guān)系式，從而確定的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法解得結(jié)果.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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