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第2講 復雜數列通項和求和（講）
【典例1】（2023年高考文科數學（全國甲卷）第5題）記為等差數列的前n項和．若，，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【解讀】等差數列完全由其首項與公差決定．先設出首項，公差d，根據通項公式可將題設條件轉換為與d的兩個方程，解方程組可得，；再由前n項和公式，可得．考生也可利用等差數列性質，快速得到正確答案．
【答案】C
【目標】本題考查等差數列的概念、通項公式、前n項和公式等內容，考查考生基本的邏輯思維與推理能力，以及運算求解能力．
【分析】解題思路 思路1 設等差數列的首項為，公差為d，則通項．由題設知，即……①；由知……②．將①中的代入②，解得，從而，所以，正確選項為C．
思路2 設等差數列的首項為，公差為d，由等差數列數列的性質及題設知；再由題設得，又由知，從而，所以，正確選項為C．
【典例2】（2023年高考理科數學（全國甲卷）第5題）設等比數列的各項均為正數，前n項和為，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
【解讀】等比數列完全由其首項與公比確定．已知首項，只需根據條件求出公比q，問題即告解決．本題屬于基本題，考查等比數列及其前n項和等基本概念，在討論過程中注意是得到正確答案的關鍵．
【答案】C
【目標】本題考查等比數列的概念、通項公式、前n項和公式等內容，考查考生基本的邏輯思維與推理能力，以及簡單運算求解能力．
【分析】解題思路 由題設，等比數列的各項均為正數且，若設公比為q，則通項．將，代入條件：，整理得：由；由“的各項均為正數”知：，從而，故，進而．所以，正確選項為C．
【典例3】（2023年高考文科數學（全國乙卷）第18題）記為等差數列的前n項和．已知，．
（1）求的通項公式；
（2）求數列的前n項和．
【解讀】試題考查等差數列的基本內容，特別是前n項和公式計算與性質判定，這些知識點屬于課程標準對數列學習的基本要求．
試題考查內容的形式是考生熟悉的，試題所求結論也是考生常見的．試題的解題思路多樣，但不同的方法能很好區分各個水平層次考生的邏輯思維能力．試題出現在基本題部分，可以有效緩解考生剛開始考試時的緊張情緒，有利于增強考生的考試信心，有助于考生正常發揮．
【目標】試題考查等差數列的概念、通項公式、前n項和公式等內容，考查考生的邏輯思維能力和運算求解能力．
【分析】解題思路 （1）根據題設條件聯立方程求解等差數列的首項與公差．
設的公差為d，由題設得，．
解得，．因此．
（2）思路1 根據已知通項公式，判定的正負，從而得到數列表達式，求出．
由（1）知，．從而，
思路2 由（1）知，根據一元二次函數性質，
當時，單調減少，故．
余下部分同思路1．
【典例4】（2023年高考理科數學（全國甲卷）第17題）記為數列的前n項和，已知，．
（1）求的通項公式；
（2）求數列的前n項和．
【解讀】等比數列、等差數列的概念，通項公式及前n項和公式是課程標準中數列部分的重要內容．本題給出等差數列的第2項，前n項和與數列通項的關系，第（1）問要求數列的通項公式；第（2）問構造新數列，考查差比數列求和的一般方法，考查考生對數列的構成和前n項和公式的理解和掌握．試題情景為考生所熟悉，易于理解．試題考查主干知識，突出基礎性，著重考查理性思維素養和運算求解能力．同時，本題作為解答題的起始題，注重基礎知識、基本方法的考查，符合課程標準的要求，對考生來講是一個較易解答的題目，為考生后繼的作答營造良好的心態．
【目標】本題考查數列的概念、等差數列的通項公式，考查數列的前n項和公式等基礎知識，考查考生的理性思維素養、邏輯推理能力和運算求解能力．
【分析】解題思路 首先根據求出數列的首項．因為，再根據關系式，列出關系式，，…，，依次相乘，求出數列的通項．第（2）問構造的數列是一個等差數列與一個等比數列的商，通常的解法是數列的各項都乘以公比，然后錯位相減，構成一個等比數列．利用等比數列的求和公式，求出原數列的前n項和．
【典例5】（2023年高考數學（新課標Ⅰ卷）第20題）設等差數列的公差為，且．令，記，分別為數列，的前項和．
（1）若，，求的通項公式；
（2）若為等差數列，且，求．
【解讀】試題注重對基本概念、基本方法的考查，同時突出思維考查．試題第（1）問形式簡單，采用考生熟悉的考查方式，通過給定條件即可得到所求等差數列的通項公式；同時能幫助考生理解題設條件，以順利進人第（2）問情景．在試題第（2）問中，所給題設條件“為等差數列”要求考生能夠靈活轉化為求解數列中公差與首項的關系，能夠有效區分考生分析問題和解決問題的能力水平．試題第（2）問，同樣可以采用通性通法來解答，因此試題面向全體考生，為考生搭建展示數學能力的平臺．
試題強調“多思考，少運算”的理念，體現了對數學基礎知識與數學核心素養的考查，能夠有效助力創新人才的選拔．
【目標】試題以等差數列為載體，考查考生對等差數列的概念、性質，以及前項和等基礎內容的理解和掌握，考查考生分析問題、歸納問題的能力以及邏輯思維能力、運算求解能力．
【分析】解題思路 （1）根據等差數列定義求解．
由題設，可知，解得首項與公差的關系．
再由題設得，解得（舍去）或．
因此，的通項公式為．
（2）思路1 由題設，數列，均為等差數列，故，解得或．
（ⅰ）當時，，，又，故，與題設不符．
（ⅱ）當時，，，從而，
解得（舍去）或．因此．
思路2 由題設可得．
又為等差數列，令，則對任意正自然數均有
．
故，，且．
由題設及，解得，故．
由，解得或．
余下部分同思路1．
【典例6】（2023年高考數學（新課標Ⅱ卷）第18題）已知為等差數列，記，分別為數列，的前n項和，，．
（1）求的通項公式；
（2）證明：當時，．
【解讀】試題的主干部分包括兩個數列，一個是考生熟悉的等差數列，要解決的是關于數列通項公式的問題；另一個是在此基礎上構造的新數列，要解決的問題是挖掘新數列蘊含的信息，并與老數列進行對比．考生需要注意到，在求解等差數列首項與公差的過程中，僅僅使用老數列的前4項和是不夠的，還要利用新數列前3項和．具體來說，本試題包含如下諸多亮點．
（1）試題注重考查基礎知識，貼近教材，設計巧妙．解題過程中，為求解等差數列首項與公差這兩個未知參數，需要建立兩個方程，其中第一個方程是明確的，即等差數列的前4項和，而如何建立第二個方程，就需要考生利用好題設條件，正確挖掘新數列的信息．這一過程突出素養和能力考查，很好地考查了考生的理性思維素養以及邏輯思維、運算求解等關鍵能力．
（2）本試題借助考生熟悉的等差數列，構造了另外一個新數列，進而在第（2）問對新老數列進行比較．這事實上展示了一種科學研究的初步過程，即我們總是從熟悉的內容出發，以此為基礎，一步步建立和構造新的知識體系．試題從認識論的角度對考生加以訓練，致力于服務人才培養質量提升和現代化建設人才選拔．
（3）由數列的定義方式可知，對其前n項和的處理，同樣需要根據奇偶項進行分類討論，這在第（2）問的處理過程中得到了充分的體現．同時注意到，這一小問的解答不必給出的顯式表達式，而只需要正確分析前n項和與前n項和之差．這一過程甄別思維品質，展現邏輯嚴謹性，給考生搭建了展示的舞臺和發揮的空間，有利于高校選拔人才，也有利于中學數學教學的改革．
（4）作為解答題的第二題，試題從考生十分熟悉的等差數列切入，讓考生很容易入手并得到相應分數，有利于穩定考生心態，消除緊張情緒，激發考生的自信心，并使得絕大多數考生有分數的獲得感與成就感，為進一步攻克后續試題提供心態保障．
【目標】試題首先考查數列及其通項與前n項和的概念；其次，作為最基本的數列類型，等差數列的兩個基本量是首項與公差，要進行求解，需要考生將題設所給條件正確轉化為關于它們的方程；最后，本題在考生熟知的等差數列的基礎上，構造了另外一個數列，同樣需要考生得到的相關信息，并與原數列進行比較．試題考查考生的理性思維素養，邏輯思維、運算求解能力以及分類討論與整合的能力，通過用原始數列構造新數列的形式，考查學生熟練運用已有知識，學習、研究新問題的能力．
【分析】解題思路 （1）設的通項公式為，由題設得
，．
由，解得，．
所以．
（2）
．
．
當時，，故；
當時，，故．
綜上，當時，．
應用一 累加法求通項
【例1】（2024·江西南昌·南昌二中校聯考模擬預測）已知數列滿足，，，則數列的第2024項為（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：由題中條件可得到偶數項得關系：
所以
第二步：進行累加即得：
累加得
故選：C.
應用二 累乘法求通項
【例2】（2023·河南·模擬預測）已知數列滿足，，則（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【引導與詳解】
第一步：根據遞推關系化簡：
，
，
即，
可得，
第二步：由累乘法直接求：
.
故選：C.
應用三 利用與關系求通項
【例3】（2024·江西贛州·南康中學校聯考一模）已知等比數列滿足，其前項和．則（ ）
A．數列的公比為 B．數列為遞減數列
C． D．當取最小值時，
【引導與詳解】
第一步：利用退一相減法可得數列的遞推公式：
由已知，當時，，則，即，
當時，，所以，由等比數列知：公比為，
所以，即，所以，A、C選項錯誤；
第二步：進而可得公比為，，進而可判斷數列的單調性：
又，，則公比，所以數列為遞增數列，B選項錯誤；
第三步：再根據基本不等式可得當且僅當時，取最小值，進而可得公比與通項公式：
，當且僅當，即時取等號，此時公比為，所以數列的通項公式為，D選項正確；
故選：D.
應用四 構造法求通項
【例4】（2024·廣東廣州·廣東實驗中學校考模擬預測）數列中，，若，都有恒成立，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：由已知條件可得：
解：因為，
所以，
第二步：由，都有恒成立，可得對，都有恒成立：
所以數列是等差數列，首項為，公差為，
所以，
，
又因為，都有恒成立，
所以，都有恒成立，
第三步：令，求出數列的最大項即可得答案：
令，
則，
所以=，
所以當時，，；
當時，，；
所以在數列中，第8項最大，且，
所以，
故的最小值為.
故選：C.
應用五 觀察法求通項
【例5】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，從第三行起，每一行的第三個數1，，，，構成數列，其前n項和為，則（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：根據數列的前4項，歸納出數列的通項：
則，
第二步：用裂項相消法求其前n項和為，即可得的值：
所以其前n項和為：
，
則.
故選：B.
應用六 倒序相加法求和
【例6】（2024·廣東廣州·華南師大附中校考二模）已知數列是公比為q（）的正項等比數列，且，若，則（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
【引導與詳解】
第一步：由等比數列的性質可得：
由數列是公比為q（）的正項等比數列，故，
，故，
即有，
第二步：由，可得，故有：
由，則當時，
有，
故，
第三步：即可計算：
，
故.
故選：D.
應用七 錯位相減法求和
【例7】（2023·江蘇徐州·校考模擬預測）函數滿足、，都有，且，則（ ）
A． B．數列單調遞減
C． D．
【引導與詳解】
第一步：令，推導出，令可判斷A選項：
對于A選項，函數滿足、，都有，
令，則，即，則，
所以，，A錯；
第二步：分析可知數列為等比數列，求出該數列的通項公式，結合數列單調性的定義可判斷B選項：
對于B選項，令，，可得，
所以，，且，
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，所以，，
所以，，即，
故數列單調遞減，B對；
第三步：利用基本不等式可判斷C選項：
對于C選項，對任意的，，
所以，，
當且僅當時，等號成立，C對；
第四步：利用錯位相減法可判斷D選項.：
對于D選項，令，①
則，②
①②可得，
因此，，D對.
故選：BCD.
應用八 裂項相消法求和
【例8】（2023·湖南株洲·株洲二中校考一模）已知數列滿足，，若成立，則的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【引導與詳解】
第一步：通過等差數列的定義求出的通項公式：
因為，整理得，且，
可知是以首項為3，公差為1的等差數列，
所以，可得，
第二步：利用裂項相消法求出：
當時，可得，
且符合上式，所以，
第三步：進而確定n的最大值：
則，
解得，即的最大值為8．
故選：B．
應用九 分組（并項）法求和
【例9】（2024·廣東深圳·統考一模）已知數列滿足，，若為數列的前項和，則（ ）
A．624 B．625 C．626 D．650
【引導與詳解】
第一步：根據給定的遞推公式：
數列中，，，
第二步：按奇偶分類求和即得：
當時，，即數列的奇數項構成等差數列，其首項為1，公差為2，
則，
當時，，即數列的偶數項構成等比數列，其首項為1，公比為，
則，
所以.
故選：C
方法一： 累加法求數列通項公式
第一步：觀察數列規律：首先觀察數列的前幾項，嘗試找出相鄰兩項之間的關系或規律.
第二步：寫出遞推關系：根據觀察到的規律，寫出數列的遞推關系式.例如，如果相鄰兩項之差為常數d，則遞推關系式為.
第三步：使用累加法：從第一項開始，逐項累加遞推關系式，直到得到第項的表達式.
第四步：得出通項公式：通過累加，最終得到數列的第項的表達式，即數列的通項公式.
第五步：驗證通項公式：最后，可以通過將得到的通項公式代入數列的前幾項進行驗證，確保公式的正確性.
方法二： 累乘法求數列通項公式
第一步：明確遞推關系：首先，我們需要知道數列的遞推關系式，即.
第二步：逐步累乘：從開始，依次乘以每一項的遞推關系式中的.
請注意，此處我們從乘到，因為是由乘以得到的.
第三步：簡化表達式：根據具體的函數，對累乘的結果進行簡化.
第四步：得出通項公式：簡化后，我們就得到了數列的通項公式.
方法三： 利用與關系求通項
第一步：建立與的關系：我們需要明確數列的前n項和與通項之間的關系.由定義知，是數列前n項的和，即.
第二步：利用的表達式求：通常，我們會先得到一個關于的表達式或遞推關系.然后，利用這個表達式，我們可以通過（當時）來求解.
第三步：驗證并化簡的表達式：在得到的表達式后，我們需要驗證它是否滿足題目給出的條件或數列的定義.此外，可能還需要對表達式進行化簡，使其更簡潔明了.
方法四： 構造法求數列通項
第一步：觀察數列特點：首先，觀察數列的前幾項，嘗試找出數列可能具有的規律或特點.
第二步：構造新數列：基于觀察到的規律或特點，嘗試構造一個新的數列.這個新數列應該更容易處理，例如，可能是等差數列或等比數列.
第三步：建立關系：建立原數列和新數列之間的關系.這通常是通過將原數列的項表示為新數列的項的函數來實現的.
第四步：求解新數列：使用已知的方法求解新數列的通項公式.
第五步：轉換回原數列：使用步驟3中建立的關系，將新數列的通項公式轉換回原數列的通項公式.
方法五： 觀察法求數列通項
第一步：觀察數列前幾項：首先，觀察數列的前幾項，嘗試找出它們之間的關系或規律.
第二步：分析數列特征：分析數列的增減性、奇偶性、是否含有分數或根號等特征.
第三步：嘗試構造通項公式：根據觀察和分析的結果，嘗試構造一個可能的通項公式.這個公式應該能夠涵蓋數列的所有項，并且符合數列的特征.
第四步：驗證通項公式：將數列的前幾項代入構造的通項公式中，驗證公式是否正確.如果公式能夠正確表示數列的所有項，那么就可以確定這個公式是數列的通項公式.
第五步：證明通項公式：如果可能的話，嘗試證明構造的通項公式是正確的.這可能需要使用數學歸納法或其他證明方法.
方法六： 倒序相加法求和
第一步：觀察數列：首先，觀察數列的特點，確定是否適合使用倒序相加法.一般來說，如果數列的首項和末項有某種特殊關系（如對稱、互補等），那么可以考慮使用倒序相加法.
第二步：倒序寫出數列：將數列倒序寫出，即原數列的第n項變為第1項，第n-1項變為第2項，以此類推.
第三步：對應項相加：將原數列和倒序數列的對應項相加.由于數列的首項和末項、次首項和次末項等具有某種特殊關系，這些和通常會變得很簡單.
第四步：求和：將上一步得到的所有和相加，得到的結果就是原數列的和.
方法七： 錯位相減法求和
第一步：確定數列的通項公式：首先，我們需要明確數列的每一項的公式.假設數列的第n項表示為，其中是一個等差數列，而是一個等比數列.
第二步：計算數列的前n項和：數列的前n項和可以表示為，即.
第三步：對數列進行錯位相減：為了簡化求和過程，我們將乘以等比數列的公比，得到.
第四步：錯位相減得到新的等式：將從中減去，得到.
第五步：化簡并求解：由于是等差數列，是等比數列，我們可以利用這些性質來化簡上述等式，從而得到的表達式.
第六步：驗證結果：我們需要驗證求得的是否滿足原數列的定義，以確保我們的計算是正確的.
方法八： 裂項相消法求和
第一步：觀察數列結構：首先觀察數列的通項公式，確定是否適合使用裂項相消法.通常，如果數列的通項公式是分式形式，并且分子是常數或簡單的線性函數，分母是多項式，那么可以考慮使用裂項相消法.
第二步：拆項：將數列的每一項拆分成兩部分，使得相鄰兩項的某些部分可以相互抵消.這一步是關鍵，需要根據數列的具體形式來選擇合適的拆分方式.
第三步：求和：將拆分后的數列進行求和.由于相鄰兩項的某些部分相互抵消，求和過程會大大簡化.
第四步：驗證結果：最后，驗證求和結果是否正確.可以通過將求和結果與原數列的前幾項進行比較，或者利用其他數學方法（如數學歸納法）進行驗證.
方法九： 分組（并項）法求和
第一步：觀察數列特點：觀察數列的特點，看是否有可以合并的項，或者是否有規律性的分組方式.
第二步：合理分組：根據數列的特點，將數列分成若干個小組，每個小組內的項可以合并或簡化.
第三步：分別求和：對每個小組內的項進行求和，可使用等差數列、等比數列的求和公式，或者通過其他方法求和.
第四步：合并結果：將每個小組求和的結果合并起來，得到整個數列的和.
第五步：驗證答案：最后，可以通過代入數列的前幾項或者使用其他方法驗證答案的正確性.
微點：構造&同構法
【表現形式】
1.根據遞推關系式構造等差等比數列
①構造等差數列：形如，，型遞推關系式；方程兩邊分別同除以“積式”結構，，，即可得到，，為等差數列．
②構造等比數列：對于（，）型一階線性遞推關系式
轉化方法：①待定系數法，令，化簡整理后與原來的遞推式比較系數可知，于是，故數列是以為首項，以k為公比的等比數列．
②由得，兩式相減，得，當時，數列是公比為k的等比數列．
2.配湊同構單位1的代換
在求一些遞推數列通項公式時，若能根據其結構特點，合理地構造常數列往往會化動為靜，化難為易，化繁為簡，輕松突破解題的窠臼；同構常數列法囊括了求數列通項的全部初等方法：累加法，累乘法，構造等差（比）數列等等．可以說同構常數列法是求數列通項公式的更為有力的通性通法；
①加減常數項b：或，或
②乘除常數項q：
③加減一次項n：
④加減二次項：
⑤加減指數項：
【步驟】
第一步：從數列通項結構來看主要解決分式結構的數列和；
第二步：分母為相似結構相乘，可以看作是一個數列相鄰兩項相乘或隔項相乘；
【例1】（2023·廣東中山·中山紀念中學三模）
1．已知等差數列的前項和，若，數列的前項和為，且，則正整數的值為（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【例2】（2024·陜西·校聯考一模）
2．記為等差數列的前n項和．若，則數列的前2024項和為（ ）
A． B． C． D．
【跟蹤練習】
（2023·山東日照·校聯考模擬預測）
3．已知數列中，則（ ）
A．的前10項和為
B．的前100項和為100
C．的前項和
D．的最小項為
（2023·河南·統考模擬預測）
4．大衍數列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，大衍數列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量的總和.大衍數列從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數列的前項和為，其通項公式 .則（ ）
參考公式：
A． 是數列中的項 B．
C． D．
（2023·河南·信陽高中校聯考模擬預測）
5．已知為數列的前項和，，則 ；令，數列的前項和為，若存在，使得，則實數的取值范圍為 .
（2024·全國·校聯考模擬預測）
6．數列滿足，若為數列的前項和，則 .
（2023·四川雅安·統考一模）
7．已知數列與正項等比數列滿足，且________．
(1)求與的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
從①；②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】由的關系求出通項公式，再由裂項相消求出，根據方程求解即可.
【詳解】當時，，
當時，，符合上式，故，
所以，
故，
由可得，化簡得，得（舍去負值）．
故選：D
2．C
【分析】由已知條件求出數列的首項與公差，得到數列通項，裂項相消求數列的前2024項和.
【詳解】設的公差為d，由得
解得，所以.
則
數列的前2024項和為．
故選：C
3．BC
【分析】A.由，利用錯位相減法求解判斷；B.由，利用幷項求和判斷；C.由 ，利用裂項相消法求解判斷；D. 由，利用對勾函數的性質求解判斷.
【詳解】A.易知，則 ，
，
，
兩式相減得 ，
，
，
，則 ，故錯誤；
B. 易知，則其前100項和為，故正確；
C. ，故正確；
D. 易知，令，則，當且僅當，即，時，等號成立，而，當時，，當時，，所以的最小項為，故錯誤；
故選：BC
4．ABD
【分析】根據的通項公式，分類討論為奇偶情況，即可逐項求解判斷.
【詳解】對A：當為偶數時，，解得，不符題意；
當為奇數時，，解得，符合題意，故A正確；
對B：
，故B正確；
對C：由題意知
，
所以，故C錯誤；
對D：
故D正確；
故選：ABD.
5．
【分析】（1）由與的關系求出，注意驗證；
（2）由求出，再分n為奇數和偶數用裂項相消分別求出，根據存在，使得，求出m即可.
【詳解】由得，當時，，所以；
當時，，
所以，又，
所以，
又，
所以.
所以當時，，當時，，當為偶數時，，顯然，（為偶數）單調遞減，
所以；
當為奇數時，若，則，若，則，
顯然（為奇數）單調遞增，
所以.
綜上所述.
故答案為：；
6．
【分析】根據裂項相消及周期求和計算即可.
【詳解】，
.
故答案為：.
7．(1)
(2)
【分析】（1）設等比數列的公比為，對于①②：根據等比數列的通項公式運算求解；
（2）由（1）可得：，利用裂項相消法運算求解.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
若選①：因為，則，解得，
所以；
若選②：因為，則，解得，
所以.
（2）由（1）可得：，
所以.
答案第1頁，共2頁
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