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三角形三條高線交于一點的證明
這是證明共點線的問題，現(xiàn)在初中階段已經(jīng)不作要求，不過對于學(xué)有余力的學(xué)生，筆者并不反對他們作進一步的研究、探索。這問題有幾種證明方法，這些方法也是證明共點線的常用方法，現(xiàn)整理如下。
證法一：運用同一法證三條高兩兩相交的交點是同一點。
已知：△ABC的兩條高BE、CF相交于點O，第三條高AD交高BD于點Q，交高CF于點P。
求證：P、Q、O三點重合
證明：如圖，∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠AEB = ∠AFC = 90°
又∵∠BAE = ∠CAF
∴△ABE ∽ △ACF
∴，
即AB·AF = AC·AE
又∵AD⊥BC
∴△AEQ ∽ △ADC，△AFP ∽ △ADB
∴，
即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP
∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP
∴AD·AQ = AD·AP
∴AQ = AP
∵點Q、P都在線段AD上
∴點Q、P重合
∴AD與BE、AD與CF交于同一點
∵兩條不平行的直線只有一個交點
∴BE與CF也交于此點
∴點Q、P、O重合。
證法二：連結(jié)一頂點和兩高交點的線垂直于第三邊，運用四點共圓性質(zhì)。
已知：△ABC的兩條高AD、BE相交于點O，第三條高CF交高AB于點F，連結(jié)CO交AB于點F。
求證：CF⊥AB。
證明:∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E
∴A、B、D、E四點共圓
∴∠1＝∠ABE
同理∠2＝∠1
∴∠2＝∠ABE
∵∠ABE+∠BAC＝90°，
∴∠2+∠BAC＝90°
即CF⊥AB。
注：證法一和證法二是證明共點線的常用方法。
證法三：證明兩條高的交點在第三條高線上，建立直角坐標(biāo)系運用代數(shù)方法證明。
證明：如圖6，以直線BC為x軸，高AD為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由兩條直線垂直的條件
則三條高的直線方程分別為：
解（2）和（3）得

∴
這說明BE和CF得交點在AD上，所以三角形的三條高相交于一點。
注：有時候考慮直角坐標(biāo)系這一有力的數(shù)形結(jié)合工具可以有效地解決問題。
證法四：轉(zhuǎn)化為證明另一個三角形的三條中垂線（或中線）交于一點。
已知：AD、BE、CF是△ABC的三條高。
求證：AD、BE、CF相交于一點。
證明：過點A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線ML、MN、NL
∵AM∥BC，MB∥AC
∴四邊形AMBC是平行四邊形
∴AM＝BC
同理，AL＝BC
∴AM＝AL
∵AD⊥ML
∴AD是ML的垂直平分線
同理，BE、CF分別是MN、NL的垂直平分線
而三角形的三條垂直平分線相交于一點
∴AD、BE、CF相交于一點。
注：三角形的三條中線（可中垂線、角平分線）相交于一點，這事實學(xué)生容易理解，也不難證明，把證明三角形的三條垂線相交于一點的問題轉(zhuǎn)化為另一三角形的三條中線（中垂線）相交于一點，這種化陌生為熟悉、化難為易的轉(zhuǎn)化方法必須讓學(xué)生理解掌握。
證法五：運用錫瓦（Ceva）定理證明。
已知：AD、BE、CF是△ABC的三條高。
求證：AD、BE、CF相交于一點。
證明：如圖，∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E
∴△ABD ∽ △CBF
∴ （1）
同理，由△ADC ∽ △BEC得
， （2）
由△AFC ∽ △AEB
（3）
三式相乘得
即
∴AD、BE、CF相交于一點。
注：錫瓦定理是證明共點線的有力工具，雖然中學(xué)不作要求，但對于學(xué)有余力的學(xué)生不妨引導(dǎo)他們自己研究，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。
錫瓦定理可以用梅涅勞（Menelaus）定理證明，而梅涅勞定理可以由平行線分線段成比例定理輕松得到。在適當(dāng)情況下適當(dāng)?shù)膯l(fā)有利于學(xué)生思維的擴散，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

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