資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第18章《勾股定理》單元復習學案
【學習目標】
1.知道本章的知識結構，并能用書面形式整理出來.
2.體驗勾股定理的探究過程，養成良好的思維習慣.
3.會用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題，提高思考、分析、解決問題的能力.
【學習重難點】
重點：勾股定理及其逆定理的內容和應用.
難點：勾股定理發現過程中所體現的重要數學思想.
【學法指導】
通過復習回顧，探究本章的主要內容，理解掌握勾股定理及其逆定理的內容與應用.
【自主學習】
1.什么是勾股定理？
【答案】直角三角形兩條直角邊長的平方和，等于斜邊的平方。
2.什么是勾股定理的逆定理？
【答案】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。
3.什么是勾股數？常見的勾股數有哪些？
【答案】能夠成為直角三角形三條邊長度的三個正整數，稱為勾股數。
4.勾股定理及其逆定理的應用有哪些？
【答案】運用勾股定理及直角三角形的鑒別條件解決簡單的實際問題，如：建筑設計；探究圖形間的關系，形成必定的空間觀點，如：地理測量等。
【課內探究】
活動一 小組合作：請你整理出本章的知識結構圖
活動二 易錯題解析
已知是某直角三角形的三邊長，若，，則下列關于c的說法中，正確的是（）
A．c的值只能為 B．c的值只能為
C．c的值為或 D．c的值有無限多個
【答案】C
【分析】此題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，分兩種情況討論是解本題的關鍵．分兩種情況：①當為直角邊時，②當為直角邊，利用勾股定理求出第三邊長即可．
【詳解】解∶分兩種情況∶①當為直角邊時，；
②當為直角邊，為斜邊時，．
故選∶C．
活動三 典例突破1：
如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個正方形，如果正方形和正方形的面積分別為和，那么正方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別為和，
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的面積為，
故選：．
活動四 典例突破2：
葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其莖蔓常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．如圖，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是，當一段葛藤繞樹干盤旋1圈升高為時，這段葛藤的長為 ．
【答案】2.6
【分析】此題主要考查了勾股定理的應用．根據題意畫出圖形，利用圓柱側面展開圖，結合勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖所示：
，
∴這段葛藤的長．
故答案為：．
活動五 易錯題解析
在中，，，，則最長邊上的高為（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了與三角形高有關的計算、勾股定理的逆定理，先判斷出三角形為直角三角形，然后根據三角形面積相等得到最長邊上的高，熟練運用定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，，
即，
滿足，
∴是以為直角的直角三角形，
設最長邊上的高為，
根據，
解得，
故選：C．
活動六 典例突破3：
下列各組數據是勾股數的一組是（ ）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．13，14，15
【答案】A
【分析】本題考查勾股數，理解勾股數的概念是關鍵．根據勾股數是滿足的三個正整數求解即可．
【詳解】解：A、3，4，5滿足的三個正整數，是勾股數，符合題意；
B、0.3，0.4，0.5不是正整數，不是勾股數，不符合題意；
C、1，1，中的不是整數，三個數不是勾股數，不符合題意；
D、不等于，13,14,15不是勾股數，不符合題意，
故選：A．
活動七 典例突破4：
如圖，在四邊形中，、為對角線，，，，若，的面積為2，則的長為 ．

【答案】
【分析】根據已知條件得出，過點作于點，設交于點，根據三角形的面積求得，構造等腰直角三角形，進而額電池的長，即可求解．
【詳解】解：∵，設，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴
如圖所示，過點作于點，設交于點，

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∵的面積為2，
∴
∴，則，
在中，，
如圖所示，作關于的對稱點，連接，交于點，

∵，則是等腰直角三角形，
則，
設，則，
在中，
解得：或（舍去）
∴
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，勾股定理，軸對稱的性質，熟練掌握以上知識，得出解題的關鍵．
活動八 典例突破5
如圖，在中，，，，是的邊上的高，為垂足，且，.

(1)試判斷的形狀，并說明理由；
(2)求的長.
【答案】(1)是直角三角形；
(2)．
【分析】本題考查勾股定理，勾股定理逆定理的應用．
（1）根據勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判斷即可；
（2）由是的邊上的高，利用面積法計算即可．
【詳解】（1）解：∵在中，，，，
根據勾股定理，
∵，
∴是直角三角形；
（2）解：∵是的邊上的高，
∴，
∴．
活動九 達標檢測
1.以下三組數中是勾股數的一組是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
【答案】D
【分析】本題考查了勾股數，勾股數：滿足的三個正整數，稱為勾股數．欲求證是否為勾股數，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
【詳解】解：A、因為，所以它們不是勾股數，故本選項不符合題意；
B、因為，所以它們不是勾股數，故本選項不符合題意；
C、因為，，都不是整數，所以它們不是勾股數，故本選項錯誤；
D、，所以它們是勾股數，故本選項正確；
故選：D．
2．如圖是一個長方體包裝盒，高為，底面是正方形，邊長為，現需用繩子裝飾，繩子從出發，沿長方體表面繞到處，則繩子的最短長度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平面展開——最短路徑問題，把長方體右邊的表面展開，連接，則就是繩子的最短時經過的路徑，然后根據勾股定理求解，利用兩點之間線段最短的性質，將長方體右邊的表面展開是解題的關鍵．
【詳解】如圖，
將長方體右邊的表面翻折（展開），連接，顯然兩點之間線段最短，為點到點的最短距離，由勾股定理知：
，
∴，即繩子最短為，
故選：．
3.在中，，，，求的長（ ）
A．4 B．2 C．4或6 D．2或4
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的特征，過點A作于點D，然后進行分類討論：當點B和點C在兩側時，當點B和點C在同側時，根據勾股定理求出，即可求解．
【詳解】解：過點A作于點D，
當點B和點C在兩側時，
∵，，
∴，
在中，根據勾股定理可得：，
∴，
當點B和點C在同側時，
同理可得：，
∴，
綜上：的長為2或4，
故選：D．
4.下列各組數中，能作為直角三角形三邊長的是（ ）
A．1，3， B．9，16，25 C．2，2，4 D．10，24，25
【答案】A
【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形，據此先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．
【詳解】解：A、∵，
∴三邊長為1，3，，可以組成直角三角形，故此選項符合題意；
B、∵，
∴三邊長為9，16，25，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；
C、∵，
∴三邊長為2，2，4，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；
D、∵，
∴三邊長為10，24，25，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；
故選A．
5．下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是（ ）
A．，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．10，24，26
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，比較最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，即可判斷答案．
【詳解】解：A、，不能作為直角三角形的三邊長，符合題意；
B、，能作為直角三角形的三邊長，不符合題意；
C、，能作為直角三角形的三邊長，不符合題意；
D、，能作為直角三角形的三邊長，不符合題意；
故選：A．
6．由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
【答案】D
【分析】本題考查勾股定理的逆定理、三角形內角和．根據勾股定理的逆定理可以判斷A、B、C，根據三角形內角和可以判斷D．
【詳解】解：由，可得，則，即由線段，，組成的三角形是直角三角形，故選項A不符合題意；
，故選項中的三條線段可以構成直角三角形，故選項B不符合題意；
，故選項中的三條線段可以構成直角三角形，故選項C不符合題意；
，最大的，故選項D中的三角形不是直角三角形，符合題意；
故選：D．
7.如圖，在中，，，是等邊三角形，，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了等腰三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，勾股定理和角所對直角邊是斜邊的一半，過作于點，則，從而可得出，再根據等邊三角形的性質得到，最后用勾股定理即可求解，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用．
【詳解】如圖，過作于點，則，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
設，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案為：．
8．已知，在x軸上找一點P，使得點P到A， B兩點的距離相等，則點P的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理，設點P的坐標為，則，，根據點P到A， B兩點的距離相等，得到，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設點P的坐標為，
∴，，
∵點P到A， B兩點的距離相等，
∴，
∴，
解得，
∴點P的坐標為，
故答案為：．
9.已知三角形的三邊長為1、2、，則它的最小角為 度．
【答案】30
【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，再證明得到，則可證明是等邊三角形，得到，據此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，中，，點D是延長線上一點，且，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴三角形的三邊長為1、2、，則它的最小角為30度，
故答案為：30．
10．在中，的對邊分別為a、b﹑c，下列條件中：①；②；③；④．能判斷是符合條件的直角三角形的有 個．
【答案】3
【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形內角和定理．根據勾股定理的逆定理以及三角形內角和定理，逐項判斷即可．
【詳解】解：①由題意知，，則是符合條件的直角三角形，符合題意；
②由題意知，，則是直角三角形，但不是符合的條件形，故不符合題意；
③由題意知，則是符合條件的直角三角形，符合題意；
④由題意知，則是符合條件的直角三角形，符合題意；
即符合要求的只有3個，
故答案為：3．
11.如圖，在等腰中，，點O是的中點，邊的長為，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在O點處，將三角板繞點O旋轉，始終保持三角板的直角邊與相交，交點為點D，另一條直角邊與相交，交點為點E，求等腰直角三角形的邊被三角板覆蓋部分的兩條線段與的長度之和．
【答案】10
【分析】本題考查等腰三角形的性質，三角形全等的判定及性質，勾股定理．
連接，根據等腰可求得，再由“三線合一”與“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得，，由 ，，得到，從而通過“”證明，得到．在等腰中，根據勾股定理求得，從而．
【詳解】連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在等腰中，點O是的中點，
∴，，
，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
∵在等腰中，，，
∴，即，
∴，
∴．
12.如圖，在中，，，，點D是外一點，連接，， 且，．
(1)求的長；
(2)求四邊形的面積
【答案】(1)5
(2)36
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．
(1)利用勾股定理直接計算求解即可．
(2) 根據勾股定理計算，根據勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根據面積公式計算即可．
【詳解】（1）∵，，，
∴，
故得長為5．
（2）∵，，，
且，
∴，
∴四邊形面積為：
=．
活動十 拓展練習：
如圖，明明在距離河面高度為的岸邊C處，用長為的繩子拉點B處的船靠岸，若明明收繩后，船到達D處，則船向岸A移動了多少米？

【答案】向岸A移動了9米
【分析】本題考查了勾股定理的應用，根據題意得到，分別根據勾股定理求出，，即可求出．
【詳解】解：由題意得，
在中，，
在中，，
∴．
答：船向岸A移動了9米．
【學習反思】
這節課，你有哪些收獲？你還有什么疑惑？
我的收獲有：
我的疑惑有：
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第18章《勾股定理》單元復習學案
【學習目標】
1.知道本章的知識結構，并能用書面形式整理出來.
2.體驗勾股定理的探究過程，養成良好的思維習慣.
3.會用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題，提高思考、分析、解決問題的能力.
【學習重難點】
重點：勾股定理及其逆定理的內容和應用.
難點：勾股定理發現過程中所體現的重要數學思想.
【學法指導】
通過復習回顧，探究本章的主要內容，理解掌握勾股定理及其逆定理的內容與應用.
【自主學習】
1.什么是勾股定理？
2.什么是勾股定理的逆定理？
3.什么是勾股數？常見的勾股數有哪些？
4.勾股定理及其逆定理的應用有哪些？
【課內探究】
活動一 小組合作：請你整理出本章的知識結構圖
活動二 易錯題解析
已知是某直角三角形的三邊長，若，，則下列關于c的說法中，正確的是（）
A．c的值只能為 B．c的值只能為
C．c的值為或 D．c的值有無限多個
活動三 典例突破1：
如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個正方形，如果正方形和正方形的面積分別為和，那么正方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
活動四 典例突破2：
葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其莖蔓常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．如圖，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是，當一段葛藤繞樹干盤旋1圈升高為時，這段葛藤的長為 ．
活動五 易錯題解析
在中，，，，則最長邊上的高為（ ）
A．3 B．4 C． D．
活動六 典例突破3：
下列各組數據是勾股數的一組是（ ）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．13，14，15
活動七 典例突破4：
如圖，在四邊形中，、為對角線，，，，若，的面積為2，則的長為 ．

活動八 典例突破5
如圖，在中，，，，是的邊上的高，為垂足，且，.

(1)試判斷的形狀，并說明理由；
(2)求的長.
活動九 達標檢測
1.以下三組數中是勾股數的一組是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
2．如圖是一個長方體包裝盒，高為，底面是正方形，邊長為，現需用繩子裝飾，繩子從出發，沿長方體表面繞到處，則繩子的最短長度是（ ）
A． B． C． D．
3.在中，，，，求的長（ ）
A．4 B．2 C．4或6 D．2或4
4.下列各組數中，能作為直角三角形三邊長的是（ ）
A．1，3， B．9，16，25 C．2，2，4 D．10，24，25
5．下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是（ ）
A．，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．10，24，26
6．由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
7.如圖，在中，，，是等邊三角形，，則 ．
8．已知，在x軸上找一點P，使得點P到A， B兩點的距離相等，則點P的坐標為 ．
9.已知三角形的三邊長為1、2、，則它的最小角為 度．
10．在中，的對邊分別為a、b﹑c，下列條件中：①；②；③；④．能判斷是符合條件的直角三角形的有 個．
11.如圖，在等腰中，，點O是的中點，邊的長為，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在O點處，將三角板繞點O旋轉，始終保持三角板的直角邊與相交，交點為點D，另一條直角邊與相交，交點為點E，求等腰直角三角形的邊被三角板覆蓋部分的兩條線段與的長度之和．
12.如圖，在中，，，，點D是外一點，連接，， 且，．
(1)求的長；
(2)求四邊形的面積
活動十 拓展練習：
如圖，明明在距離河面高度為的岸邊C處，用長為的繩子拉點B處的船靠岸，若明明收繩后，船到達D處，則船向岸A移動了多少米？

【學習反思】
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