資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 圖形的性質
第十三節 三角形基礎
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 三角形中的主要線段 ☆ 本板塊相關知識點在廣東近些年中考的考查來看，難度以簡單形式考查為主，試題基本以單知識點的形式考查，偶爾會在較為基礎的解答題中體現知識運用，難度也是不大，復習的時候熟練掌握相應的知識內容，強化知識運用。作為三角形的基本知識，以往考察較一般，今年如果出現試題，比較大概率出現在選擇題或者填空題中。
考點2 三角形的穩定性、特性與表示、分類 ☆☆
考點3 三角形的三邊關系及推論 ☆☆
考點4 三角形的內角和定理及推論 ☆☆
考點5 三角形的外角性質 ☆☆
考點1 三角形中的主要線段
（1）三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段_____相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。
（2）三角形中的主要線段
（1）三角形的一個角的平分線與這個角的_____相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。
（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的_____的線段叫做三角形的中線。
（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
考點2 三角形的穩定性、特性與表示、分類
1.三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的_____。三角形的這個性質在生產生活中應用很廣，需要穩定的東西一般都制成三角形的形狀。
2.三角形的特性與表示
三角形有下面三個特性：
（1）三角形有三條線段
（2）三條線段不在同一直線上 三角形是封閉圖形
（3）首尾順次相接
三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。
3.三角形的分類
三角形按邊的關系分類如下：
不等邊三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形
三角形按角的關系分類如下：
直角三角形（有一個角為直角的三角形）
三角形 銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）
斜三角形
鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）
把邊和角聯系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
4.三角形的面積
三角形的面積=×_____×_____
考點3 三角形的三邊關系定理及推論
（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和_____第三邊。
推論：三角形的兩邊之差_____第三邊。
（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形
②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。
③證明線段不等關系。
考點4 三角形的內角和定理及推論
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°。
推論：
①直角三角形的兩個銳角互余。
②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。
③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
考點5 三角形的外角性質
（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．
（2）三角形的外角性質：
①三角形的外角和為_____．
②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．
③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．
（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．
（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．
考點1 三角形中的主要線段
◇例題
1．（2022 新會區校級三模）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 臺山市模擬）如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為22，AB比AC長3，則△ACD的周長為 　 　．
◆變式訓練
1．（2023 佛山模擬）如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（　　）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．不能確定
2．（2020 廣州模擬）如圖，點D在線段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，則在△ABD中，BD邊上的高是　 　cm．
考點2 三角形的穩定性、特性與表示、分類
◇例題
1．（2023 南海區校級三模）下列圖形中有穩定性的是（　　）
A．平行四邊形 B．三角形
C．長方形 D．正方形
2．（2023 梅州一模）如圖，△ABC的面積為30，BD＝2CD，E為AB的中點，則△ADE的面積等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．9
◆變式訓練
1．（2023 南海區校級模擬）要使下面的木架不變形，至少需要再釘上幾根木條？（　　）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
2．（2023 南海區校級一模）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面積為25cm2，陰影部分三角形的面積為9cm2，若AA'＝1，則A'D的值為 　 　．
考點3 三角形的三邊關系定理及推論
◇例題
1．（2023 蓬江區校級三模）在下列長度的各組線段中，能組成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，3，6 D．3，4，5
2．（2022 中山市二模）若長度分別是2，3，a的三條線段能組成一個三角形，則a的取值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023 禪城區三模）如果一個三角形兩邊的長分別等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的兩個實數根，那么這個三角形的第三邊的長可能是20嗎？　 　．（填“可能”或“不可能”）
◆變式訓練
1．（2023 茂南區三模）從長度為1、3、5、7的四條線段中，任意取出三條線段，能圍成三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，5，7 D．3，5，7
2．（2022 封開縣二模）已知三角形三邊為a、b、c，其中a、b兩邊滿足|a﹣6|+＝0，那么這個三角形的最大邊c的取值范圍是（　　）
A．c＞8 B．8＜c＜14 C．6＜c＜8 D．2＜c＜14
3．（2023 東莞市校級三模）已知三角形的兩邊長分別是1、2，第三邊為整數且為不等式組的解，求這個三角形的周長．
考點4 三角形的內角和定理及推論
◇例題
1．（2020 龍崗區模擬）一個三角形的三個內角的度數之比為1：2：3，則這個三角形一定是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023 廣東模擬）一副三角板按如圖所示放置，∠C＝30°，∠E＝45°，則∠EDC的大小為（　　）
A．80° B．75° C．70° D．60°
3．（2023 越秀區校級二模）在△ABC中，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，則∠ADC＝　 　．
◆變式訓練
1．（2021 南山區校級模擬）如圖，△EFG的三個頂點E，G和F分別在平行線AB，CD上，FH平分∠EFG，交線段EG于點H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，則∠EHF的大小為（　　）
A．105° B．75° C．90° D．95°
2．（2023 越秀區校級模擬）△ABC中，∠B＝40°，若從頂點A作高線AD和角平分線AE，AD與AE的夾角為5°，則∠C＝　 　．
3．（2023 惠州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥AB，交BC于點E．求∠BDE的度數．
考點5 三角形的外角性質
◇例題
1．（2023 南海區模擬）如圖，AB∥CD，將一塊三角板（∠E＝30°）按如圖所示方式擺放，若∠EHB＝55°，則∠FGC的度數為 （　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
2．（2023 河源一模）如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠COB的度數是（　　）
A．75° B．105° C．115° D．100°
3．（2011 金平區模擬）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α的度數為　 　．
◆變式訓練
1．（2023 越秀區校級一模）將一副直角三角板按圖放置，使含30°的三角板的短直角邊和含45°的三角板的一條直角邊重合，則∠1度數的為（　　）
A．60° B．70° C．75° D．80°
2．（2022 東莞市一模）將一副三角尺按如圖的方式拼擺，則∠CED的度數為 　 　°．
3．（2020 順德區校級模擬）已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC．求證：AD∥BC．
1．（2022 廣東）下列圖形中有穩定性的是（　　）
A．三角形 B．平行四邊形
C．長方形 D．正方形
2．（2023 鹽城）下列每組數分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（　　）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
3．（2022 杭州）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（　　）
A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線
B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線
D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線
4．（2021 畢節市）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數為（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．（2023 徐州）若一個三角形的邊長均為整數，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為 　 （寫出一個即可）．
6．（2022 哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是 　 　度．
7．（2022 陜西）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周長為8，則△ABD的周長為 　 　．
8．（2021 河北）如圖是可調躺椅示意圖（數據如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應 　 （填“增加”或“減少”） 　 　度．
1．（2022 禪城區一模）如圖，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做蘊含的道理是（　　）
A．兩點之間線段最短
B．三角形具有穩定性
C．經過兩點有且只有一條直線
D．垂線段最短
2．（2022 東莞市校級一模）小穎用長度為奇數的三根木棒搭一個三角形，其中兩根木棒的長度分別為7cm和3cm，則第三根木棒的長度是（　　）
A．7cm B．8cm C．11cm D．13cm
3．（2021 陽西縣模擬）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，則∠C的度數為（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
4．（2022 乳源縣三模）如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的中線，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周長為20，則△ABD的周長為（　　）
A．17 B．23 C．25 D．28
5．（2023 高要區一模）已知：如圖1，在△ABC中，AB＝AC．小明的作法如圖2所示，則他作出的兩條線的交點O是△ABC的（　　）
A．中心 B．內心 C．外心 D．重心
6．（2021 荔灣區校級三模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（　　）
A．85° B．75° C．65° D．60°
7．（2022 中山市一模）如圖，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則△ABC的面積是（　　）
A． B．1+ C．2 D．2+
8．（2021 越秀區校級三模）△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝80°，則∠C的外角的度數是 　 　．
9．（2020 廣東模擬）三角形三邊長分別為3，2a﹣1，4．則a的取值范圍是　 ．
10．（2020 順德區模擬）如圖，在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點P．若∠BPC＝130°，則∠A＝　 　 ．
11．（2023 南海區校級模擬）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為 　　．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 圖形的性質
第十三節 三角形基礎
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 三角形中的主要線段 ☆ 本板塊相關知識點在廣東近些年中考的考查來看，難度以簡單形式考查為主，試題基本以單知識點的形式考查，偶爾會在較為基礎的解答題中體現知識運用，難度也是不大，復習的時候熟練掌握相應的知識內容，強化知識運用。作為三角形的基本知識，以往考察較一般，今年如果出現試題，比較大概率出現在選擇題或者填空題中。
考點2 三角形的穩定性、特性與表示、分類 ☆☆
考點3 三角形的三邊關系及推論 ☆☆
考點4 三角形的內角和定理及推論 ☆☆
考點5 三角形的外角性質 ☆☆
考點1 三角形中的主要線段
（1）三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。
（2）三角形中的主要線段
（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。
（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
考點2 三角形的穩定性、特性與表示、分類
1.三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。三角形的這個性質在生產生活中應用很廣，需要穩定的東西一般都制成三角形的形狀。
2.三角形的特性與表示
三角形有下面三個特性：
（1）三角形有三條線段
（2）三條線段不在同一直線上 三角形是封閉圖形
（3）首尾順次相接
三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。
3.三角形的分類
三角形按邊的關系分類如下：
不等邊三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形
三角形按角的關系分類如下：
直角三角形（有一個角為直角的三角形）
三角形 銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）
斜三角形
鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）
把邊和角聯系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
4.三角形的面積
三角形的面積=×底×高
考點3 三角形的三邊關系定理及推論
（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。
推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。
（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形
②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。
③證明線段不等關系。
考點4 三角形的內角和定理及推論
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°。
推論：
①直角三角形的兩個銳角互余。
②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。
③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
考點5 三角形的外角性質
（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．
（2）三角形的外角性質：
①三角形的外角和為360°．
②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．
③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．
（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．
（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．
考點1 三角形中的主要線段
◇例題
1．（2022 新會區校級三模）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用高線的概念得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是B，
故選：B．
2．（2022 臺山市模擬）如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為22，AB比AC長3，則△ACD的周長為 　 　．
【分析】根據三角形的中線的概念得到BD＝DC，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝DC，
∵AB比AC長3，
∴AB＝AC+3，
∵△ABD的周長為22，
∴AB+AD+BD＝22，
∴AC+3+AD+DC＝22，
∴AC+AD+DC＝19，
∴△ACD的周長＝AC+AD+DC＝19，
故答案為：19．
◆變式訓練
1．（2023 佛山模擬）如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（　　）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．不能確定
【分析】根據三角形的高的特點對選項進行一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A、銳角三角形，三條高線交點在三角形內，故錯誤；
B、鈍角三角形，三條高線不會交于一個頂點，故錯誤；
C、直角三角形的直角所在的頂點正好是三條高線的交點，可以得出這個三角形是直角三角形，故正確；
D、能確定C正確，故錯誤．
故選：C．
2．（2020 廣州模擬）如圖，點D在線段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，則在△ABD中，BD邊上的高是　 　cm．
【分析】首先根據三角形的高線的定義確定BD邊上的高為線段AC，此題得解．
【解答】解：如圖，∵AC⊥BC，
∴BD邊上的高為線段AC．
又∵AC＝4cm，
∴BD邊上的高是4cm．
故答案為：4．
考點2 三角形的穩定性、特性與表示、分類
◇例題
1．（2023 南海區校級三模）下列圖形中有穩定性的是（　　）
A．平行四邊形 B．三角形
C．長方形 D．正方形
【分析】根據三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性，
故選：B．
2．（2023 梅州一模）如圖，△ABC的面積為30，BD＝2CD，E為AB的中點，則△ADE的面積等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．9
【分析】根據三角形面積公式，兩三角形同高，則它們的面積比等于對應底邊比，進而求得答案．
【解答】解：∵在△ABD和△ACD中，邊BD與CD上的高相同，BD＝2CD，
∴根據三角形的面積公式，S△ABD＝S△ABC＝×30＝20．
同理，∵在△ADE和△BDE中，邊AE與BE上的高相同，E為AB的中點，
∴AE＝BE，根據三角形的面積公式，S△ADE＝S△ABD＝×20＝10．
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023 南海區校級模擬）要使下面的木架不變形，至少需要再釘上幾根木條？（　　）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【分析】根據三角形具有穩定性，六邊形轉化成三角形即可得出答案．
【解答】解：根據三角形的穩定性可知，要使六邊形木架不變形，至少要再釘上3根木條．
故答案選：C．
2．（2023 南海區校級一模）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面積為25cm2，陰影部分三角形的面積為9cm2，若AA'＝1，則A'D的值為 　 　．
【分析】設陰影部分三角形A'EF，先證明△DA′E∽△DAB，再利用相似三角形的性質求得A'D便可．
【解答】解：如圖，
∵S△ABC＝25、S△A′EF＝9，且AD為BC邊的中線，
∴S△A′DE＝S△A′EF＝4.5，S△ABD＝S△ABC＝12.5，
∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
則，即（）2＝，
解得A′D＝1.5或A′D＝﹣（舍），
故答案為：1.5．
考點3 三角形的三邊關系定理及推論
◇例題
1．（2023 蓬江區校級三模）在下列長度的各組線段中，能組成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，3，6 D．3，4，5
【分析】根據三角形的三邊關系進行判斷，兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．
【解答】解：A、1+2＝3，不能組成三角形，故此選項不符合題意；
B、2+3＜6，不能組成三角形，故此選不項符合題意；
C、3+3＝6，不能組成三角形，故此選不項符合題意；
D、4+3＞5，能組成三角形，故此選項符合題意．
故選：D．
2．（2022 中山市二模）若長度分別是2，3，a的三條線段能組成一個三角形，則a的取值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據三角形三邊關系定理得出3﹣2＜a＜3+2，求出即可．
【解答】解：由三角形三邊關系定理得：3﹣2＜a＜3+2，
即1＜a＜5，
即符合的整數a的值可以是2，3，4，不可能是1．
故選：A．
3．（2023 禪城區三模）如果一個三角形兩邊的長分別等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的兩個實數根，那么這個三角形的第三邊的長可能是20嗎？　 　．（填“可能”或“不可能”）
【分析】先解出一元二次方程，再根據三角形的三邊關系解答即可．
【解答】解：解一元二次方程x2﹣17x+66＝0，得x1＝11，x2＝6，
則11﹣6＜第三邊＜11+6，即5＜第三邊＜17，
∴這個三角形的第三邊的長不可能是20，
故答案為：不可能．
◆變式訓練
1．（2023 茂南區三模）從長度為1、3、5、7的四條線段中，任意取出三條線段，能圍成三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，5，7 D．3，5，7
【分析】運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度，即可判定這三條線段能構成一個三角形．
【解答】解：A、1+3＜5，三條線段不能圍成三角形，故A不符合題意；
B、1+3＜7，三條線段不能圍成三角形，故B不符合題意；
C、1+5＜7，三條線段不能圍成三角形，故C不符合題意；
D、3+5＞7，三條線段能圍成三角形，故D符合題意．
故選：D．
2．（2022 封開縣二模）已知三角形三邊為a、b、c，其中a、b兩邊滿足|a﹣6|+＝0，那么這個三角形的最大邊c的取值范圍是（　　）
A．c＞8 B．8＜c＜14 C．6＜c＜8 D．2＜c＜14
【分析】根據兩個非負數的和是0，可以求得a，b的值．因而根據三角形的三邊關系就可以求得第三邊的范圍．
【解答】解：根據題意得：a﹣6＝0，b﹣8＝0，
解得a＝6，b＝8，
因為c是最大邊，所以8＜c＜6+8，
即8＜c＜14．
故選：B．
3．（2023 東莞市校級三模）已知三角形的兩邊長分別是1、2，第三邊為整數且為不等式組的解，求這個三角形的周長．
【分析】分別解不等式，得出整數解，根據三角形的三邊關系即可求解．
【解答】解：，
解不等式①得x＜3，
解不等式②得x≥0，
∴0≤x＜3，
∴不等式的整數解為0、1、2，
∵2﹣1＜x＜2+1，
∴x取2，
∴三角形周長為1+2+2＝5．
考點4 三角形的內角和定理及推論
◇例題
1．（2020 龍崗區模擬）一個三角形的三個內角的度數之比為1：2：3，則這個三角形一定是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根據三角形內角和等于180°計算即可．
【解答】解：設三角形的三個內角的度數之比為x、2x、3x，
則x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
則3x＝90°，
∴這個三角形一定是直角三角形，
故選：B．
2．（2023 廣東模擬）一副三角板按如圖所示放置，∠C＝30°，∠E＝45°，則∠EDC的大小為（　　）
A．80° B．75° C．70° D．60°
【分析】利用平行線的性質先求出∠EBD，再利用三角形的外角和內角的關系得結論．
【解答】解：由三角板擺放位置，可知BE∥AC，
∴∠EAC＝∠E＝45°，
∴∠EDC＝∠EAC+∠C
＝45°+30°
＝75°．
故選：B．
3．（2023 越秀區校級二模）在△ABC中，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，則∠ADC＝　 　．
【分析】根據三角形內角和定理以及圖形中的各角之間的關系進行計算即可．
【解答】解：如圖，∵∠1+∠3＝∠BAC＝70°，∠ADC+∠2+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠ADC+∠1+∠3＝180°，
即∠ADC＝180°﹣70°＝110°，
故答案為：110°．
◆變式訓練
1．（2021 南山區校級模擬）如圖，△EFG的三個頂點E，G和F分別在平行線AB，CD上，FH平分∠EFG，交線段EG于點H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，則∠EHF的大小為（　　）
A．105° B．75° C．90° D．95°
【分析】首先根據∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，求出∠FEH的大小；然后根據AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根據FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根據三角形內角和定理，求出∠EHF的大小為多少即可．
【解答】解：∵∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，
∴∠FEH＝180°﹣36°﹣57°＝87°；
∵AB∥CD，
∴∠EFG＝∠AEF＝36°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH＝∠EFG＝×36°＝18°，
∴∠EHF＝180°﹣∠FEH﹣∠EFH＝180°﹣87°﹣18°＝75°．
故選：B．
2．（2023 越秀區校級模擬）△ABC中，∠B＝40°，若從頂點A作高線AD和角平分線AE，AD與AE的夾角為5°，則∠C＝　 　．
【分析】分兩種情形畫出圖形：①當∠B＞∠C時，如圖1中，②當∠B＜∠C時，如圖2中，分別求解即可．
【解答】解：①當∠B＞∠C時，如圖，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∵∠DAE＝5°，
∴∠BAE＝∠CAE＝55°，
∴∠BAC＝110°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣110°＝30°；
②當∠B＜∠C時，如圖，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∵∠DAE＝5°，
∴∠BAE＝∠EAC＝45°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝50°，
綜上所述，∠C＝30°或50°．
故答案為：30°或50°．
3．（2023 惠州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥AB，交BC于點E．求∠BDE的度數．
【分析】根據三角形內角和定理求出∠ABC，根據角平分線定義求出∠ABD，根據平行線的性質得出∠BDE＝∠ABD即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝40°．
考點5 三角形的外角性質
◇例題
1．（2023 南海區模擬）如圖，AB∥CD，將一塊三角板（∠E＝30°）按如圖所示方式擺放，若∠EHB＝55°，則∠FGC的度數為 （　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【分析】由三角形外角的性質可知∠EHB＝∠EFH+∠E，再由AB∥CD可知∠HGD＝∠EHB．
【解答】解：三角形外角的性質可知∠EFG＝90°，
∵∠EHB＝55°，∠E＝30°，
∴∠EFB＝∠EHB﹣∠E＝55°﹣30°＝25°，
∠HFG＝∠EFG﹣∠EFB＝90°﹣25°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠FGC＝∠EFG＝65°．
故選：B．
2．（2023 河源一模）如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠COB的度數是（　　）
A．75° B．105° C．115° D．100°
【分析】利用三角形的外角的性質解決問題即可．
【解答】解：∵∠BOC＝∠BDC+∠OCD，∠BDC＝60°，∠OCD＝45°，
∴∠BOC＝105°，
故選：B．
3．（2011 金平區模擬）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α的度數為　 　．
【分析】先根據直角三角板的性質求出∠1及∠2的度數，再根據三角形內角與外角的關系即可解答．
【解答】解：∵圖中是一副三角板，
∴∠2＝45°，∠1＝90°﹣45°＝45°，
∴∠α＝∠1+30°＝45°+30°＝75°．
故答案為：75°．
◆變式訓練
1．（2023 越秀區校級一模）將一副直角三角板按圖放置，使含30°的三角板的短直角邊和含45°的三角板的一條直角邊重合，則∠1度數的為（　　）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【分析】根據三角板可得：∠D＝60°，∠A＝45°，然后根據三角形內角和定理可得∠DGB的度數，進而得到∠AGE的度數，再根據三角形內角與外角的關系可得結論．
【解答】解：由題意可得：∠D＝60°，∠A＝45°，
∴∠DGB＝90°﹣60°＝30°．
∵∠DGB與∠AGE是對頂角，
∴∠AGE＝30°．
∴∠1＝∠A+∠AGE＝45°+30°＝75°．
故選：C．
2．（2022 東莞市一模）將一副三角尺按如圖的方式拼擺，則∠CED的度數為 　 　°．
【分析】根據三角形外角的性質可得∠CED＝∠CBD+∠BDE，進而得出答案．
【解答】解：∵一副三角尺按如圖的方式拼擺，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DAB＝30°，∠D＝60°，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CED＝∠CBD+∠BDE＝45°+60°＝105°．
故答案為：105．
3．（2020 順德區校級模擬）已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC．求證：AD∥BC．
【分析】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠EAC＝∠B+∠C，再根據角平分線的定義可得∠EAC＝2∠EAD，從而得到∠B＝∠EAD，然后根據同位角相等兩直線平行證明即可．
【解答】證明：由三角形的外角性質得，∠EAC＝∠B+∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠B＝∠EAD，
∴AD∥BC．
1．（2022 廣東）下列圖形中有穩定性的是（　　）
A．三角形 B．平行四邊形
C．長方形 D．正方形
【分析】根據三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性，
故選：A．
2．（2023 鹽城）下列每組數分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（　　）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【分析】根據三角形的三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行分析判斷．
【解答】解：A、5+7＝12，不能構成三角形，故此選項不合題意；
B、7+7＜15，不能構成三角形，故此選項不合題意；
C、6+9＜16，不能構成三角形，故此選項不合題意；
D、8+6＞12，能構成三角形，故此選項符合題意．
故選：D．
3．（2022 杭州）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（　　）
A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線
B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線
D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線
【分析】根據三角形的高的概念判斷即可．
【解答】解：A、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；
B、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，本選項說法正確，符合題意；
C、線段AD不是△ABC的BC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；
D、線段AD不是△ABC的AC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；
故選：B．
4．（2021 畢節市）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數為（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】利用三角形內角和定理和平行線的性質解題即可．
【解答】解：如圖，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故選：B．
5．（2023 徐州）若一個三角形的邊長均為整數，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為 　 （寫出一個即可）．
【分析】根據三角形兩邊之和大于第三邊確定第三邊的范圍，根據題意計算即可．
【解答】解：設三角形的第三邊長為x，
則5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
∵第三邊的長為整數，
∴x＝3或4或5或6或7．
故答案為：3或4或5或6或7（答案不唯一）．
6．（2022 哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是 　 　度．
【分析】分兩種情況：△ABC為銳角三角形或鈍角三角形，然后利用三角形內角和定理即可作答．
【解答】解：當△ABC為銳角三角形時，如圖，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
當△ABC為鈍角三角形時，如圖，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
綜上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案為：80或40．
7．（2022 陜西）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周長為8，則△ABD的周長為 　 　．
【分析】由AD是△ABC的中線，得BD＝CD，又△ACD的周長為8，AC＝3，可得BD+AD＝5，而AB＝4，即得AB+BD+AD＝9．
【解答】解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周長為8，
∴AC+CD+AD＝8，
∵AC＝3，
∴BD+AD＝5，
∵AB＝4，
∴AB+BD+AD＝9．
故答案為：9．
8．（2021 河北）如圖是可調躺椅示意圖（數據如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應 　 （填“增加”或“減少”） 　 　度．
【分析】延長EF，交CD于點 G，依據三角形的內角和定理可求∠ACB，根據對頂角相等可得∠DCE，再由三角形內角和定理的推論得到∠DGF的度數；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性質可得∠D的度數，從而得出結論．
【解答】解：延長EF，交CD于點G，如圖：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而圖中∠D＝20°，
∴∠D應減少10°．
故答案為：減少，10．
1．（2022 禪城區一模）如圖，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做蘊含的道理是（　　）
A．兩點之間線段最短
B．三角形具有穩定性
C．經過兩點有且只有一條直線
D．垂線段最短
【分析】根據三角形具有穩定性解答即可．
【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做的道理是三角形具有穩定性，
故選：B．
2．（2022 東莞市校級一模）小穎用長度為奇數的三根木棒搭一個三角形，其中兩根木棒的長度分別為7cm和3cm，則第三根木棒的長度是（　　）
A．7cm B．8cm C．11cm D．13cm
【分析】首先根據三角形的三邊關系求得第三根木棒的取值范圍，再進一步根據奇數這一條件分析．
【解答】解：根據三角形的三邊關系，得
7﹣3＜第三根木棒＜7+3，即4＜第三根木棒＜10．
又∵第三根木棒的長選取奇數，
∴第三根木棒的長度可以為5cm，7cm，9cm．
故選：A．
3．（2021 陽西縣模擬）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，則∠C的度數為（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【分析】由三角形的內角和定理可直接求解．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
故選：B．
4．（2022 乳源縣三模）如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的中線，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周長為20，則△ABD的周長為（　　）
A．17 B．23 C．25 D．28
【分析】根據三角形中線的定義可得AD＝CD，由△BCD的周長為20，BC＝8，求出CD+BD＝12，進而得出△ABD的周長．
【解答】解：∵BD是AC邊上的中線，
∴AD＝CD，
∵△BCD的周長為20，BC＝8，
∴CD+BD＝BC+BD+CD﹣BC＝20﹣8＝12，
∴CD+BD＝AD+BD＝12，
∵AB＝5，
∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝5+12＝17．
故選：A．
5．（2023 高要區一模）已知：如圖1，在△ABC中，AB＝AC．小明的作法如圖2所示，則他作出的兩條線的交點O是△ABC的（　　）
A．中心 B．內心 C．外心 D．重心
【分析】根據等腰三角形的“三線合一”定理可得，AD是垂直平分線，由另一痕跡是AB邊的垂直平分線得點O為外心．
【解答】解：按如圖作圖痕跡可知，AD為∠BAC的角平分線，
∵AB＝AC，
∴AD也是BC邊的中線、高線，即BC邊的垂直平分線，
∵另一痕跡是AB邊的垂直平分線，
∴點O為邊的垂直平分線的交點，
∴點O為外心，
故選：C．
6．（2021 荔灣區校級三模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（　　）
A．85° B．75° C．65° D．60°
【分析】利用三角形外角的性質解答即可．
【解答】解：如圖所示，
∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故選：B．
7．（2022 中山市一模）如圖，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則△ABC的面積是（　　）
A． B．1+ C．2 D．2+
【分析】如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，先證明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再證明AD＝BD，計算AE和BC的長，根據三角形的面積公式可解答．
【解答】解：如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴AE＝CD＝，
∴△ABC的面積＝ BC AE＝××（2+2）＝2+．
故選：D．
8．（2021 越秀區校級三模）△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝80°，則∠C的外角的度數是 　 　．
【分析】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝80°，
∴∠C的外角的度數是∠A+∠B＝50°+80°＝130°．
故答案為：130°．
9．（2020 廣東模擬）三角形三邊長分別為3，2a﹣1，4．則a的取值范圍是　 ．
【分析】根據三角形的三邊關系為兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，列出不等式即可求出a的取值范圍．
【解答】解：∵三角形的三邊長分別為3，2a﹣1，4，
∴可得，
解得1＜a＜4．
故答案為：1＜a＜4．
10．（2020 順德區模擬）如圖，在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點P．若∠BPC＝130°，則∠A＝　 　 ．
【分析】據三角形的內角和等于180°，求出∠PBC+∠PCB的度數，再根據角平分線的定義，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC中，根據三角形內角和定理，即可求出∠BAC的度數．
【解答】解：在△PBC中，∵∠BPC＝130°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣130°＝50°．
∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝2×50°＝100°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°．
故答案為：80°．
11．（2023 南海區校級模擬）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為 　　．
【分析】利用三角形相似的性質和根據三角形同底不同高的性質，求出面積之比，再進行計算即可求出其面積的值．
【解答】解：如圖，
△AOB∽△DOC，AB＝2，CD＝4，
∴S△AOB：S△DOC＝AB2：CD2＝1：4，
設S△AOB＝x，則S△DOC＝4x，
∵△CDB與△ABD同底，
∴S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，
令S△OBD＝a，則有，
S△ABD＝S△AOB+S△OBD＝x+a，
S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a，
∵S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，
∴（4x+a）：（x+a）＝2：1，解得a＝2x，
∴S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a＝4x+2x＝6x，
∵S△CDB＝CD BD＝×4×4＝8，
∴6x＝8，解得x＝，
∵S△DOC＝4x，
∴S△DOC＝4x＝4×＝，
∴陰影部分的面積為．
故答案為：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑