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第2節　圖形的對稱、平移、旋轉
命題分析
　　圖形的對稱、平移、旋轉是圖形的變換的重要內容,在江西學考中,圖形的對稱常出現在選擇題或者填空題中,相對比較簡單,圖形的平移、旋轉一般出現在無刻度直尺作圖及幾何綜合題中,且考查的頻率比較高.
【知識清單】
知識點1 圖形的對稱
　軸對稱圖形
與中心對稱圖形
常見的軸對稱圖形:等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、正五邊形、正六邊形、圓等.
常見的中心對稱圖形:平行四邊形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等.
常見的既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形:菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等.
　軸對稱
與中心對稱
知識點2 圖形的折疊
圖形的折疊
知識點3 平移與旋轉
內容 要素 性質 作圖步驟
(1)平移的方向; (2)平移的距離 (1)平移前后對應線段平行(或共線)且⑤ ,對應點所連的線段⑥ ; (2)對應角分別⑦ ,且對應角的兩邊分別平行(或共線),方向一致; (3)平移變換后的圖形與原圖形⑧ (1)確定平移方向和平移距離; (2)找原圖形的關鍵點; (3)按平移方向和平移距離各關鍵點; (4)按原圖形順次連接各關鍵點平移后的對應點,得到平移后的圖形
(1)旋轉中心; (2)旋轉方向; (3)旋轉角度 (1)對應點到旋轉中心的距離⑨ (2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于⑩ (3)旋轉前后的圖形 (1)確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角; (2)找原圖形的關鍵點; (3)連接關鍵點與旋轉中心,按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉,得到各關鍵點的對應點; (4)按原圖形順次連接各關鍵點旋轉后的對應點,得到旋轉后的圖形
知識點4 圖形的位似
圖形的位似
【參考答案】
①180°　②垂直平分?、廴取、芟嗟取、菹嗟取、奁叫星蚁嗟取、呦嗟取、嗳取、嵯嗟取、庑D角　全等
【自我診斷】
1.(文化自信)中國傳統文化博大精深.下面四個圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ( )
A B
C D
2. 如圖,將四邊形ABCD沿BC方向平移后得到四邊形PEFQ,若BF=8,CE=4,則平移的距離為 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如圖,Rt△ABC向右翻滾,下列說法正確的有 ( )
(1)① ②是旋轉;
(2)① ③是平移;
(3)① ④是平移;
(4)② ③是旋轉.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4.如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(-1,),以原點O為中心,將點A順時針旋轉90°得到點A',則點A'坐標為 ( )
A.(1,-) B.(-,1)
C.(0,2) D.(,1)
5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=70°,將Rt△ABC繞點C順時針旋轉角度α(0°<α<180°)得到Rt△A1B1C,使得A1,B1,A三點共線,則α的度數為 ( )
A.110° B.120°
C.130° D.140°
【參考答案】
1.C　2.A　3.C　4.D　5.D
【真題精粹】
考向1 對稱圖形的判斷
1.(2023·江西)下列圖形中,是中心對稱圖形的是 ( )
A 　B
C 　D
2.(拓展)下列圖形中,是軸對稱圖形的是 ( )
A　　　　B　　　　C　　　　D
考向2 對稱圖形的相關計算
3.(2019·江西)如圖,在△ABC中,D是BC上的點,∠BAD=∠ABC=40°,將△ABD沿著AD翻折得到△AED,則∠CDE= .
4.(拓展)如圖,正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關于某點中心對稱.已知A,D1,D三點的坐標分別是(0,4),(0,3),(0,2).
(1)求對稱中心的坐標.
(2)寫出頂點B,C,B1,C1的坐標.
考向3 圖形的平移
5.(2018·江西)小軍同學在網格紙上將某些圖形進行平移操作,他發現平移前后的兩個圖形所組成的圖形可以是軸對稱圖形.如圖,現在他將正方形ABCD從當前位置開始進行一次平移操作,平移后的正方形頂點也在格點上,則使平移前后的兩個正方形組成軸對稱圖形的平移方向有 ( )
A.3個 B.4個
C.5個 D.無數個
6.(拓展)如圖,把△ABC(點A,B,C均在網格格點處)的頂點A先向下平移2格,再向左平移1格到達A'點,連接A'B,則線段A'B與線段AC的關系是 ( )
A.相等 B.平分
C.垂直 D.平分且垂直
考向4 圖形的旋轉
類型1　與旋轉有關的計算
7.如圖,
在△ABC中,∠BAC=33°,將△ABC繞點A按順時針方向旋轉50°,對應得到△AB'C',則∠B'AC的度數為 .
8.(拓展)如圖,這是將菱形ABCD以點O為中心按順時針方向分別旋轉90°,180°,270°后形成的圖形.若∠BAD=60°,AB=2,則圖中陰影部分的面積為 .
9.(拓展)如圖,正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合,將△AEF繞頂點A旋轉,在旋轉過程中,當BE=DF時,∠BAE的大小可以是 .
類型2　與旋轉有關的創新作圖(6年1考)
10.(2020·江西)如圖,在正方形網格中,△ABC的頂點在格點上,請僅用無刻度直尺完成以下作圖.(保留作圖痕跡)
(1)在圖1中,作△ABC關于點O對稱的△A'B'C'.
(2)在圖2中,作△ABC繞點A順時針旋轉一定角度后,頂點仍在格點上的△AB'C'.
【參考答案】
1.B　2.C　3.20°
4.(1)(0,2.5)
(2)B(-2,4),C(-2,2),B1(2,1),C1(2,3)
5.C　6.D　7.17°　8.12-4　9.15°或165°　10.略
【核心突破】
考點1 對稱圖形的判斷
類型1　軸對稱圖形
例題1 (2023·贛州模擬)如圖,七巧板起源于我國先秦時期,古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術,經歷代演變而成七巧板.下列由七巧板拼成的表情圖中,是軸對稱圖形的為 ( )
A　　　　　B
C　　　　　 D
變式特訓1.下列圖形中,其中一個三角形能通過軸對稱變換得到另一個三角形的是( )
A　　B　　C　　D
2.
如圖,這是由三個相同的小正方形組成的圖形,在圖中補畫一個相同的小正方形,使補畫后的四個小正方形所組成的圖形為軸對稱圖形的方法有 ( )
A.1種 B.2種 C.3種 D.4種
類型2　中心對稱圖形
　　例題2(2023·景德鎮模擬)2022年11月29日23時08分,“神舟十五號”載人飛船成功發射.3名航天員順利進駐中國空間站,與“神舟十四號”航天員乘組首次實現“太空會師”.下列航天圖標是中心對稱圖形的是 ( )
A B
C 　D
變式特訓3.下列圖形中,是中心對稱圖形的是 ( )
A　B　C　D
4.
圖中陰影部分是由4個完全相同的正方形拼接而成的,若要在①,②,③,④四個區域中的某個區域處添加一個同樣的正方形,使它與陰影部分組成的新圖形是中心對稱圖形,則這個正方形應該添加在 ( )
A.區域①處 B.區域②處
C.區域③處 D.區域④處
考點2 對稱與坐標變換
例題3
如圖,平行四邊形OABC的頂點O(0,0),B(2,2),C(1.6,0.8).若將平行四邊形先沿著y軸進行第一次軸對稱變換,所得圖形再沿著x軸進行第二次軸對稱變換,軸對稱變換的對稱軸遵循y軸、x軸、y軸、x軸…的規律進行,則經過第2022次變換后,平行四邊形OABC的頂點A的坐標為 ( )
A.(-0.4,1.2) B.(-0.4,-1.2)
C.(1.2,-0.4) D.(-1.2,-0.4)
變式特訓5.如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,4),B(4,2),C(3,5).
(1)請畫出△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC關于原點成中心對稱,并寫出點A1,B1,C1的坐標.
(2)求出△A1B1C1的面積.
考點3 利用對稱解決線段最短問題
例題4
如圖,P為矩形ABCD的對角線AC上一動點,E為BC的中點,連接PE,PB,若AB=4,BC=4,則PE+PB的最小值為 .
變式特訓
6.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,G是AD的中點,線段EF在邊AB上左右滑動,若EF=1,則GE+CF的最小值為 .
考點4 與折疊相關的證明與計算
　　例題5　如圖,四邊形ABCD為正方形,E是BC的中點,將正方形ABCD沿AE折疊,得到點B的對應點為F,延長EF交線段DC于點P,若AB=6,則DP的長度為 .
方法提煉
　　折疊問題的常見處理策略
本　質 軸　對　稱
(1)折痕兩側所有的對應元素都相等 對應邊相等,對應角相等,折痕上的點到對應點的距離相等,與全等有關
(2)對應點的連線被折痕垂直平分 這與垂直處理、中點處理有關
(3)折疊出角平分線,結合平行線,易得等腰三角形 這與角平分線、等腰三角形及倍半角模型有關
在平面直角坐標系中,與折疊有關的問題,可以借助解析法求解.比如結合對稱點坐標的通解通法 解析思想
變式特訓7.
如圖,E是矩形ABCD的邊AB上一點,將△ADE沿著DE翻折得到△A'DE,A'E與DC交于點F,若AD=,AE=3,則EF= .
8.折紙是我國傳統的民間藝術.精美的折紙背后離不
開數學原理,這吸引著無數數學教育工作者以折痕為研究對象,關注折法和折疊過程中所得平面圖形的性質.如圖,在矩形紙片ABCD中,AB>AD.
(1)折疊矩形紙片ABCD,使點C落在線段AB上,折痕為BM.直接寫出∠CBM的度數.
(2)現要折出60°角,小明同學采用下面的方法.
步驟一:對折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合,得到折痕EF,再把紙片展平;
步驟二:再一次折疊紙片,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
請在橫線上將步驟二補充完整,并證明所折出的角為60°.
考點5 圖形的平移
例題6如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點D,BC=6,AD=3,將△ABC沿射線BC的方向向右平移2個單位長度后得到△A'B'C',連接A'C,則△A'B'C的面積為 .
變式特訓9.
如圖,把Rt△ABC放在平面直角坐標系內,其中∠CAB=90°,BC=10.點A,B的坐標分別為(1,0),(7,0),將Rt△ABC沿x軸向右平移,當點C落在直線y=2x-10上時,線段BC掃過的面積為 .
考點6 圖形的旋轉
例題7如圖,菱形ABCD與菱形AEFG全等,則菱形AEFG可以看作是菱形ABCD經過怎樣的圖形變換得到 現有下列結論:①經過1次平移和1次旋轉;②經過1次平移和1次翻折;③經過1次旋轉,且平面內可以作為旋轉中心的點共有3個.其中所有正確結論的序號是 ( )
A.①②　B.①③　C.②③　D.①②③
　　例題8在正方形ABCD中,E為AB的中點.請僅用無刻度的直尺按要求作圖,并保留作圖痕跡.
(1)在圖1中,將點E繞點B順時針旋轉90°.
(2)在圖2中,將△ABD繞點D逆時針旋轉90°.
變式特訓10.如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=50°.
將△ABC繞著點B逆時針方向旋轉,得△DBE,其中AC∥BD,BF,BG分別為△ABC與△DBE的中線,則∠FBG的度數為 .
11.如圖,△ABC與△ACD為正三角形,O為射線CA上的動點,作射線OM與射線BC相交于點E,將射線OM繞點O逆時針旋轉60°,得到射線ON,射線ON與射線CD相交于點F.
(1)如圖1,當點O與點A重合時,點E,F分別在線段BC,CD上,求證:△AEC≌△AFD.
(2)如圖2,當點O在CA的延長線上時,點E,F分別在線段BC的延長線和線段CD的延長線上,請寫出CE,CF,CO三條線段之間的數量關系,并說明理由.
【參考答案】
例題1　C
變式特訓
1.C　2.D
例題2　B
變式特訓
3.D　4.B
例題3　B
變式特訓
5.(1)畫圖略,A1(-1,-4),B1(-4,-2),C1(-3,-5)
(2)
例題4　6
變式特訓
6.3
例題5　2
變式特訓
7.2
8.(1)45°
(2)使點C落在線段EF上,折痕為BM,則∠BMC=60°.證明略
例題6　6
變式特訓
9.64
例題7　A
例題8　略
變式特訓
10.65°　11.(1)略　(2)CE+CO=CF.理由略
2

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