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第六章　圓
第1節　與圓有關的概念及其基本性質(6年3考,3~8分)
命題分析
　　與圓有關的概念及其基本性質是圓的基礎知識,江西學考中,一般在圓的綜合題中涉及,有時會有1道創新作圖題,難度不大.由垂徑定理而構成的直角三角形和由直徑所對圓周角構成的直角三角形經常考查,圓心角、圓周角定理及推論是圓中進行角的轉化的有力工具.另外,隱形圓也是幾何壓軸題經常涉及的內容之一.
【知識清單】
知識點1 與圓有關的概念及性質
圓的定義 平面上到定點的距離等于定長的所有點的集合,其中定點為① ,定長為②
確定圓的條件 不在同一直線上的三個點確定一個圓
圓的對稱性 (1)圓是③ 對稱圖形,任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸;(2)圓是④ 圖形,圓心是對稱中心
有關概念(如圖) 弦 連接圓上任意兩點的線段叫做弦(線段AD)
直徑 經過圓心的弦叫做直徑(線段AB),直徑是圓中最長的弦
弦心距 圓心到弦的距離(線段OE的長)
弧 圓上任意兩點間的部分叫圓弧:大于半圓的弧叫⑤ (如);小于半圓的弧叫⑥ (如)
等弧 同圓或等圓中,能夠互相重合的弧
圓心角 頂點在圓心的角(如∠AOC)
圓周角 頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角(如∠ADC)
知識點2 圓心角、弧、弦及弦心距的關系
定理 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的⑦ 相等,所對的⑧ 相等,弦的弦心距也相等
常用結論 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦及弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量也分別相等
數學語言 如圖,∠AOB=∠COD AB=CD = OE=OF
知識點3 垂徑定理及其推論
垂徑定理 垂直于弦的直徑⑨ ,并且平分弦所對的兩條弧
推論 平分弦(不是直徑)的直徑⑩ 于弦,并且平分弦所對的兩條弧
常用結論 弦的 經過圓心,并且平分弦所對的兩條弧
根據圓的對稱性,如圖,在以下五條結論中:(1)= ;(2)=;(3)AM= ;(4)AB⊥CD;(5)CD是直徑,只要滿足其中兩個,另外三個結論一定成立,即知二推三
常作輔助線:過圓心作弦的垂線,構造直角三角形,得r2=d2+
知識點4 圓周角定理及其推論
定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 如圖,∠P=∠AOB
推論 同弧或等弧所對的圓周角 (如圖1,∠A=∠B,∠C=∠D,如圖2,∠E=∠F)
半圓(或直徑)所對的圓周角是 (如圖,∠ACB=90°),90°的圓周角所對的弦是 (如圖,∠ACB所對的弦是直徑AB)
知識點5 圓的內接多邊形溫馨提示:圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角(和它相鄰的內角的對角).
【參考答案】
①圓心　②半徑　③軸　④中心對稱　⑤優弧　⑥劣弧　⑦弦　⑧弧　⑨平分弦　⑩垂直　垂直平分線　
BM　一半　相等　直角　直徑　內接多邊形　三角形外接圓的圓心　三個頂點　三邊中垂線的交點　不在同一條直線上的三個點　互補
【自我診斷】
1.有下列四種說法:
①半徑確定了,圓就確定了;②直徑是弦;③弦是直徑;④半圓是弧,但弧不一定是半圓.其中,錯誤的說法有 ( )
A.1個 B.2個　 C.3個　 D.4個
2.如圖,AB是☉O的直徑,∠BDC=32°,則∠AOC等于 ( )
A.158° B.58°　 C.64°　 D.116°
3.如圖,OA,OB,OC都是☉O的半徑,AC,OB交于點D.若AD=CD=8,OD=6,則BD的長為 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
4.如圖,點A,B,C,D均在直線l上,點P在直線l外,則經過其中任意三個點,最多可畫出圓的個數為 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如圖,四邊形ABCD內接于☉O,∠ABC=135°,AC=4.
(1)∠AOC的度數為 .
(2)☉O的半徑為 .
【參考答案】
1.B　2.D　3.B　4.D　5.(1) 90°　(2)2
【真題精粹】
考向1 垂徑定理及其推論
1.(拓展)如圖,AC是☉O的直徑,弦BD⊥AO于點E,連接BC,過點O作OF⊥BC于點F,若BD=8,OF=,則OE的長為 ( )
A.3 B.4 C.2 D.5
考向2 圓周角定理及其推論
2.(拓展)如圖,點A,B,C在☉O上,CO的延長線交AB于點D,∠A=50°,∠B=30°,則∠ADC的度數為 .
3.(拓展)如圖,△ABC內接于☉O,AO=2,BC=2,則∠BAC的度數為 .
【參考答案】
1.A　2.110°　3.60°
【核心突破】
考點1 圓的有關概念與性質
例題1 下列說法正確的是 ( )
A.直徑是圓中最長的弦,有4條
B.長度相等的弧是等弧
C.頂點在圓上的角是圓周角
D.弧不一定是半圓,而半圓是弧
變式特訓1.若一個圓的半徑為5,則該圓的弦長不可能是 ( )
A.1 B.4 C.10 D.11
考點2 弦、弧、圓心角之間的關系
例題2如圖,
AB是半圓O的直徑,D,C是半圓上的三等分點,則∠ACD的度數是 ( )
A.20° 　B.30° C.40° D.50°
變式特訓2.
如圖,C是☉O的直徑AB上的一點,過點C作弦DE,使CD=CO.若對應的圓心角的度數為35°,則對應的圓心角的度數是 .
考點3 垂徑定理及其推論
例題3
已知AB是☉O中的一條弦,弦AB=8,圓心O到AB的距離為3 cm,則圓的直徑為 cm.
變式特訓3.AB是☉O的直徑,AB垂直于弦CD,垂足為E,若AB=10,CD=8,則線段BE= .
4.(古代科技)筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具,明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理,如圖1,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓,如圖2,圓心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB長為6米,☉O半徑長為4米.若點C為運行軌道的最低點,則點C到弦AB所在直線的距離是 ( )
A.1米 B.(4-)米
C.2米 D.(4+)米
考點4 圓周角定理及其推論
例題4
如圖,點A,B,C在☉O上,∠ACB=54°,則∠BAO的度數是 ( )
A.54° B.27°
C.36° D.108°
變式特訓5.在☉O中,若弦BC垂直平分半徑OA,則弦BC所對的圓周角等于 .
考點5 圓的內接四邊形
例題5如圖,四邊形ABCD內接于☉O,D是的中點,若∠B=70°,則∠CAD的度數為 ( )
A.70°
B.55°
C.35°
D.20°
例題6如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=4,AD=5,則CD的長為
( )
A.2
B.
C.4-
D.3-
變式特訓6.如圖,四邊形ABCD內接于☉O,延長CO交☉O于點E,連接BE.若∠A=100°,∠E=60°,則∠OCD的大小為 .
7.如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AB=AD,其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F,若CD=10,AF=5,則DF的長為 .
方法提煉
　　與圓有關的角度及線段計算的解題策略:
1.解決與圓有關角度的相關計算時,一般先判斷角是圓周角還是圓心角,再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角,利用同弧所對圓周角相等,同弧所對圓周角是圓心角的一半關系求解,特別地,當有直徑這一條件時,往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一性質.注意同圓的半徑相等這一隱含條件.
2.解決與圓有關線段的相關計算時,通常作弦心距和連接半徑構造直角三角形,利用勾股定理,建立方程r2=+(r-h)2來求解.其中r為半徑、d為弦長、h為弓高(弧的中點到弦的距離).
【參考答案】
例題1　D
變式特訓
1.D
例題2　B
變式特訓
2.105°
例題3　10
變式特訓
3.2或8
4.B
例題4　C
變式特訓
5.60°或120°
例題5　C
例題6　B
變式特訓
6.50°　7.5-5
2

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