資源簡介

第2節(jié)　與圓有關的位置關系(必考,6~9分)
命題分析
　　圓的切線的性質與判定是江西學考的必考內容,圓的綜合題中基本都會涉及,往往需要用到勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識求解,與圓的切線相關的畫圖題也會考查,難度適中.
【知識清單】
知識點1 與圓有關的位置關系
圖1
點與圓的位置關系
(設圓的半徑為r,
平面內任一點到
圓心的距離為d)
直線與圓的位置關系(設圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d)
知識點2 切線
切線的性質:圓的切線⑦ 于過切點的半徑(或直徑)
切線的判定
圖2
切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長⑧ ,這一點和圓心的連線⑨ 兩條切線的夾角,如圖2,過☉O外一點P可引兩條切線PA,PB,則PA=⑩ ,PO平分∠APB
知識點3 三角形的內心
【參考答案】
①>　②=　③<　④>　⑤=　⑥<　⑦垂直　⑧相等
⑨平分　⑩PB　與三角形各邊相切的圓　三角形內切圓的圓心　各邊　三條角平分線
【自我診斷】
1.已知☉O的半徑為3,OA=5,則點A在 ( )
A.在☉O外 B.在☉O上
C.在☉O內 D.無法確定
2.在平面直角坐標系中,以點(-3,4)為圓心,3為半徑的圓 ( )
A.與x軸相離,與y軸相切
B.與x軸相離,與y軸相交
C.與x軸相切,與y軸相交
D.與x軸相切,與y軸相離
3.如圖,P為☉O外一點,PA為☉O的切線,A為切點,PO交☉O于點B,∠P=30°,OB=3,則線段OP的長為 ( )
A.3 B.3 C.6 D.9
4.如圖,☉O與△ABC的邊AB,AC,BC分別相切于點D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的長為 .
【參考答案】
1.A　2.A　3.C　4.7
【真題精粹】
考向 切線的性質與判定(必考)　
1.(2023·江西)如圖,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB為直徑的☉O與AC相交于點D,E為上一點,且∠ADE=40°.
(1)求的長.
(2)若∠EAD=76°,求證:CB為☉O的切線.
2.(2019·江西)如圖1,AB為半圓的直徑,點O為圓心,AF為半圓的切線,過半圓上的點C作CD∥AB交AF于點D,連接BC.
(1)連接DO,若BC∥OD,求證:CD是半圓的切線.
(2)如圖2,當線段CD與半圓交于點E時,連接AE,AC,判斷∠AED和∠ACD的數(shù)量關系,并證明你的結論.
圖1　　　　　　　 　圖2
3.(2018·江西)如圖,在△ABC中,O為AC上一點,以點O為圓心,OC為半徑作圓,與BC相切于點C,過點A作AD⊥BO交BO的延長線于點D,且∠AOD=∠BAD.
(1)求證:AB為☉O的切線.
(2)若BC=6,tan∠ABC=,求AD的長.
熱點預測
4.如圖,AB為☉O的直徑,D為☉O上一點,BC⊥CD于點C,交☉O于點E,CD與BA的延長線交于點F,BD平分∠ABC.
(1)求證:CD是☉O的切線.
(2)若AB=10,CE=1,求DF的長.
【參考答案】
1.(1)　(2)略
2.(1)略　(2)∠AED+∠ACD=90°.證明略
3.(1)略　(2)2　4.(1)略　(2)
【核心突破】
考點1 點與圓的位置關系
例題1 已知☉O的半徑為8 cm.
(1)在同一個平面內,若點P到圓心O的距離為5 cm,則點P在☉O .(填“內”、“上”或“外”)
(2)如圖,若P是☉O外一點,且PO=12 cm,Q是☉O上的一個動點,則PQ的最小值是 ,PQ的最大值是 .
解題指南
　　本題考查平面內點與圓的位置關系和最值問題.
(1)當點與圓心的距離dr時,點在圓的外部.
(2)當P,Q,O三點共線時,PQ存在最值.最小值為PO-r=12-8=4 cm,最大值為PO+r=12+8=20 cm.
變式特訓1.P是非圓上一點,若點P到☉O上的點的最小距離是4 cm,最大距離是10 cm,則☉O的半徑是 .
考點2 線與圓的位置關系
例題2如圖,在Rt△ACB中,∠C=90°,BC=3,AC=4.
(1)以C為圓心,3為半徑的☉C與直線AB的位置關系是 .
(2)以點B為圓心,3為半徑的☉B(tài)與直線AC的位置關系是 .
(3)以點A為圓心,3為半徑的☉A與直線BC的位置關系是 .
方法提煉
　　圓心到直線的距離記為d,當dr時,直線與圓的位置關系為相離.
　　例題3如圖,在☉O中,點O為圓心,半徑為5,AB為圓上的一條弦,且AB=8,C為☉O上一動點,過點C作CD⊥AB于點D.
(1)如圖1,當點C在劣弧 上時,求CD的最大值及△ABC面積的最大值.
(2)如圖2,當點C在優(yōu)弧 上時,求CD的最大值及△ABC面積的最大值.
考點3 切線的性質與判定
例題4如圖,AB為☉O的直徑,C為☉O上一點,過點C作☉O的切線交AB的延長線于點D,DB=AD,連接AC,若AB=4,則AC的長為 ( )
A.2
B.
C.4
D.2
變式特訓2.如圖,PA,PB分別與☉O相切于A,B兩點,C為☉O上一點,連接AC,BC,
若∠P=80°,則∠ACB的度數(shù)為 ( )
A.80° B.40° C.50° D.70°
3.如圖,在△ABC中,以AB為直徑作☉O交AC,BC于點D,E,且D是AC的中點,過點D作DG⊥BC于點G,交BA的延長線于點H.
(1)求證:直線HG是☉O的切線.
(2)若HA=3,cos B=,求CG的長.
4.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,過點A,B的☉O分別交AC,BC于點D,E,AB=AE,CD的垂直平分線交BC于點F,連接DF.
(1)求證:DF是☉O的切線.
(2)已知EF=3,DE=4,求BE和AB的長.
方法提煉
　　與圓切線相關的綜合問題的解題方法:
1.判斷一條直線是否為圓的切線的方法:①知道直線和圓有公共點時,連半徑,證垂直;②不知道直線和圓有無公共點時,作垂直,證明垂線段等于半徑.
2.利用切線的性質解決問題時,通常連過切點的半徑,利用直角三角形的性質來解決問題.
3.直角三角形的外接圓與內切圓半徑的求法:若a,b是Rt△ABC的兩條直角邊,c為斜邊,則①外接圓半徑R=;②內切圓半徑r=.
4.對于涉及圓切線性質與判定的綜合問題,往往涉及全等、相似等知識點,能綜合運用進行推理是解題的關鍵.
考點4 切線長定理
例題5 如圖,
從☉O外一點P引☉O的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的長為 ( )
A.8 　B.4 C.4 D.8
變式特訓5.如圖,
這是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盤擺放而成的圖形,A為60°角與直尺的交點,B為光盤與直尺唯一的交點,若AB=3,則光盤的直徑是 ( )
A.6 　B.3 　C.6 D.3
考點5 三角形的內心和外心
例題6
如圖,在正方形ABCD中,E是對角線BD上一點(不與點B重合),若點O是△BEC的內心,則∠COE ( )
　　A.大小為定值,等于112.5°
B.大小不確定,可以等于90°
C.大小為定值,等于127.5°
D.大小不確定,隨著點E的變化而變化
變式特訓 6.如圖,在正方形網格中,A,B,C,D,E,P均在格點處,則點P是下列哪個三角形的外心 ( )
A.△ACE B.△ABD
C.△ACD D.△BCE
7. 如圖,在Rt△ABC中,內切圓O的半徑為r,☉O與△ABC各邊分別相切于點D,E和F,已知AD=3,BD=2,則r的值為 .
【參考答案】
例題1　(1) 內　(2) 4 cm　 20 cm
變式特訓
1.7 cm或3 cm
例題2　(1)相交　(2)相切　(3)相離
例題3　(1)CD=2,△ABC面積的最大值=8
(2)CD=8,△ABC面積的最大值=32
例題4　D
變式特訓
2.C
3.(1)略　(2)　4.(1)略　(2)BE=,AB=
例題5　A
變式特訓
5.A
例題6　A
變式特訓
6.D　7.1
2

展開更多......

收起↑