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第5節　相似三角形(必考,3~12分)
命題分析
　　相似三角形是平面幾何中的重要知識點,是考查學生思維的有效載體,單獨考查時一般難度較小,但也是江西學考幾何壓軸題中難度最大的知識點.利用相似三角形求線段的長和線段的比是重要的方法,除了熟練掌握相似的判定方法外,還需要掌握如下一些常見的相似模型:平行線型、斜交型、一線三等角型、雙蝴蝶型等,同時還要學會從復雜圖形中分離出基本圖形,利用基本圖形的性質進行解題.
【知識清單】
知識點1 比例線段的相關概念及性質
黃金分割:在線段AB上,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),如果=,那么稱線段AB被點C黃金分割,C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比,黃金比為⑤ ,線段AB有⑥ 個黃金分割點.
知識點2 平行線分線段成比例
知識點3 相似多邊形
知識點4 相似三角形
【參考答案】
①ac　②ad　③　④　⑤　⑥2　⑦成比例
⑧相似比　⑨相似比　⑩相似比的平方　相似比　相似比的平方　相似　夾角
【自我診斷】
1.若3a=4b(b≠0),則的值為 ( )
A. B. C. D.
2.如圖,已知AB∥CD∥EF,
BD∶DF=1∶2,那么下列結論中,正確的是 ( )
A.AC∶AE=1∶3
B.CE∶EA=1∶3
C.CD∶EF=1∶2
D.AB∶EF=1∶2
3.如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,點O為位似中心,已知BO∶OE=2∶1,則△ABC與△DEF的面積之比是 .
4.如圖,在△ABC中,點D在AC邊上,連接BD,若∠ABC=∠ADB,AD=2,AC=6,則AB的長為 .
【參考答案】
1.C　2.A　3.4∶1　4.2
【真題精粹】
考向1 相似三角形的判定與性質
1.(2023·江西)《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺(即圖中的∠ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可測量物體的高度.如圖,點A,B,Q在同一水平線上,∠ABC和∠AQP均為直角,AP與BC相交于點D.測得AB=40 cm,BD=20 cm,AQ=12 m,則樹高PQ=　　　m.
2.(2018·江西)如圖,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分線,BD交AC于點E,求AE的長.
考向2 相似三角形的應用
3.(拓展)某數學興趣小組在測量學校旗桿的高度時,讓一名同學直立在點F處,手拿一塊直角三角板CDE,保持斜邊CE與地面BF平行,延長CE交AB于點G,如圖,并沿著射線CD的方向觀察,剛好看到旗桿的頂端點A,已知該同學的身高CF為1.6 m(忽略頭頂到眼睛的高度),點F到旗桿底端的距離BF為12 m,CE=50 cm,CD=40 cm,求旗桿AB的高度.
【參考答案】
1.6　2.4　3.旗桿AB的高度為10.6米
【核心突破】
考點1 平行線分線段成比例
例題1如圖,l1∥l2∥l3,AB=5,DE=4,EF=8,求AC的長.
變式特訓1.如圖,已知AB∥CD∥EF,那么下列結論正確的是 ( )
A.=
B.=
C.=
D.=
考點2 相似三角形的性質與判定
一題多設問
例題2如圖,在△ABC中,點D,E分別在AC,AB上,且DE∥BC,連接EC和BD,EC和BD相交于點F.
(1)證明:△AED∽△ABC.
(2)若AD=3,CD=4,AE=2,求BE的長.
(3)若ED=5,BC=8,AD=3,求DC的長.
(4)若AD=3,CD=4,求C△AED∶C△ABC的值以及S△AED∶S△ABC的值.
(5)若=,求的值.
(6)若=,S△AED=4,求△ABC的面積.
變式特訓2.閱讀與思考:
如圖,這是兩位同學對一道習題的交流情況,請認真閱讀下列對話并完成相應的任務.
解決問題:
(1)寫出正確的比例式及后續解答.
(2)指出另一個錯誤,并給出正確解答.
拓展延伸:
(3)如圖,已知矩形ABCD的邊長AB=3 cm,BC=6 cm.某一時刻,動點M從點A出發沿AB方向以1 cm/s的速度向點B勻速運動;同時,動點N從點D出發沿DA方向以2 cm/s的速度向點A勻速運動.是否存在時刻t,使以A,M,N為頂點的三角形與△ACD相似 若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
方法提煉
　　判定兩個三角形相似的常規思考過程:
(1)先找兩對對應角相等,一般這個條件比較簡單;
(2)若只能找到一對對應角相等,則判斷相等角的兩夾邊是否對應成比例;
(3)若找不到角相等,則判斷三邊是否對應成比例;
(4)若題目出現平行線,則直接運用基本定理得出相似的三角形.
考點3 相似三角形的應用
例題3如圖,昌昌同學和同伴秋游時,發現在某地小山坡的點E處有一棵小樹,他們想利用皮尺、量角器和平面鏡測量小樹到山腳下的距離(即DE的長度),昌昌站在點B處,讓同伴移動平面鏡至點C處,此時昌昌在平面鏡內可以看到點E,且測得BC=3米,CD=28米,∠CDE=150°.已知昌昌的眼睛到地面的距離AB=1.5米,請根據以上數據,求DE的長度.(結果保留根號)
變式特訓3.如圖1,這是一個晾衣架,圖2是曬衣架的側面示意圖,立桿AB,CD相交于點O,B,D兩點在地面上,經測量得到AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm,OE=OF=34 cm,現將曬衣架完全穩固張開,扣鏈EF成一條線段.
(1)連接AC,求證:AC∥EF.
(2)若EF=32 cm,求利用夾子垂掛在曬衣架上的連衣裙總長度小于多少時,連衣裙才不會拖在地面上
【參考答案】
例題1　AC=15
變式特訓
1.D
例題2　(1)略　(2)BE=　(3)DC=
(4)C△AED∶C△ABC=3∶7,S△AED∶S△ABC=9∶49
(5)=　(6)S△ABC=25
變式特訓
2.(1)=,DE=　(2)略
(3)當t=或t=時,以A,M,N為頂點的三角形與△ACD相似
例題3　DE的長度為56(2+)米
變式特訓
3.(1)略
(2)利用夾子垂掛在曬衣架上的連衣裙總長度小于120 cm時,連衣裙才不會拖在地面上
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