資源簡介

第8節　二次函數的綜合應用(必考,9或12分)
命題分析
　　二次函數的綜合應用是函數極其重要的內容,在江西學考中一定有1道解答題,二次函數綜合題的考查是熱點且為必考內容.背景材料往往是以新定義、運動規律和二次函數的圖象和性質的綜合. 這類考題近3年主要為第22題,入手易,得滿分難.二次函數的實際應用是2024年各地中考命題熱點.
【真題精粹】
考向1 二次函數的實際應用(6年2考)
1.(拓展)某開發商計劃對某商業街一面8米×8米的正方形墻面ABCD進行如圖所示的設計裝修,四周是由八個全等的矩形拼接而成的,用甲類材料裝修,每平方米550元;中心區是正方形MNPQ,用乙類材料裝修,每平方米500元.設小矩形的較短邊AE的長為x米,裝修材料的總費用為y元.
(1)寫出總費用y關于x的函數解析式.
(2)開發商打算花費34400元全部用來購買甲、乙兩類材料,求甲類材料中矩形的長和寬.
(3)現將中心區MNPQ設計為廣告區域,其邊長不小于2米,請利用函數的性質來說明(2)中開發商的費用是否足夠.請說明理由.
考向2 二次函數中的圖形規律探究(6年1考)
2.(拓展)設拋物線的解析式為y=ax2,過點B1(1,0)作x軸的垂線,交拋物線于點A1(1,2);過點B2作x軸的垂線,交拋物線于點A2;…;過點Bnn-1,0(n為正整數 )作x軸的垂線,交拋物線于點An.連接AnBn+1,得直角三角形AnBnBn+1.
(1)求a的值.
(2)直接寫出線段AnBn,BnBn+1的長(用含n的式子表示).
(3)在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列問題:
①當n為何值時,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形
②設1≤k考向3 二次函數中新定義問題探究　
3.(拓展)如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的頂點為M,直線y=m與x軸平行,且與拋物線交于點A,B,若△AMB為等腰直角三角形,我們把拋物線上A,B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為拋物線對應的準碟形,線段AB稱為碟寬,頂點M稱為碟頂,點M到線段AB的距離為碟高(如圖2).
(1)拋物線y=x2對應的碟寬為　　　　;拋物線y=4x2對應的碟寬為　　　　;拋物線y=ax2(a>0)對應的碟寬為　　　　;拋物線y=a(x-2)2+3(a>0)對應的碟寬為　　　　.
(2)若拋物線y=ax2-4ax-(a>0)對應的碟寬為6,且在x軸上,求a的值.
(3)將拋物線yn=anx2+bnx+cn(an>0)對應的準碟形記為Fn(n=1,2,3,…),定義F1,F2,…,Fn為相似準碟形,相應的碟寬之比即相似比.若Fn與Fn-1的相似比為,且Fn的碟頂是Fn-1碟寬的中點,現將(2)中求得的拋物線記為y1,其對應的準碟形記為F1.
①求拋物線y2的表達式;
②若F1的碟高為h1,F2的碟高為h2,…,Fn的碟高為hn,則hn=　　　　,Fn的碟寬右端點橫坐標為　　　　.F1,F2,…,Fn的碟寬右端點是否在一條直線上 若是,直接寫出該直線的表達式;若不是,請說明理由.
考向4 二次函數的性質探究
4.(拓展)如圖,已知二次函數L1:y=x2-4x+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C.
(1)寫出A,B兩點的坐標.
(2)二次函數L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),頂點為P.
①直接寫出二次函數L2與二次函數L1圖象的兩條相同的性質.
②是否存在實數k,使△ABP為等邊三角形 若存在,請求出k的值;若不存在,請說明理由.
③若直線y=8k與拋物線L2交于E,F兩點,問線段EF的長度是否發生變化 如果不會,請求出EF的長度;如果會,請說明理由.
熱點預測
5.(原創)綜合與實踐
問題提出
某興趣小組開展綜合實踐活動:如圖1,在△ABC中,已知∠C=90°,∠A=45°,AC=12,AB的中點為M,點D在AB邊上以每秒4個單位長度的速度沿M→A勻速運動,同時點G在AB邊上以每秒2個單位長度的速度沿M→B勻速運動.當點D到達終點時,點G也隨之停止運動.以DG的長為長,MG的長為寬在直線AB的上方作矩形DEFG.設矩形DEFG與△ABC的重疊部分的面積為S,點D的運動時間為t(s).
初步感知
(1)如圖1,當點D由點M運動到點A時.
①當t=1時,S=　　　　;
②當點E落在線段AC上時,t的值為　　　　.
(2)當點D由點M運動到點A時,經探究發現S是關于t的兩個分段二次函數,并繪制成如圖2所示的圖象,且當2(3)試探究是否存在以點A,M,E為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
【參考答案】1.(1)y關于x的函數解析式為y=-800x2+3200x+32000
(2)甲類材料中矩形的長是6米,寬是1米
(3)略
2.(1)a=2　(2)AnBn=23-2n　BnBn+1=2-n
(3)①n=3　②存在.相似比是8∶1或64∶1
3.(1)4;;;　(2)a=
(3)①y2=x2-x+
②;2+;F1,F2,…,Fn的碟寬右端點在直線y=-x+5上
4.(1)點A,B的坐標分別為(1,0),(3,0)
(2)①圖象均經過點A(1,0)與點B(3,0);圖象的對稱軸均為直線x=2
②存在.k=±　③不會發生變化.EF=6
5.(1)①12　②2
(2)S=　CE=6
(3)存在.t的值為或
【核心突破】
考點1 二次函數的實際應用
　　例題1 (真情境)如圖1,利用噴水頭噴出的水對小區草坪進行噴灌是養護草坪的一種方法,如圖2,點O處有一個噴水頭,距離噴水頭8 m的M處有一棵高度是2.3 m的樹,距離這棵樹10 m的N處有一面高2.2 m的圍墻,建立如圖所示的平面直角坐標系,已知某次噴灌時,噴水頭噴出的水柱的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數關系y=ax2+bx+c(a<0).
(1)某次噴水澆灌時,測得x與y的幾組數據如下:
x 0 2 6 10 12 14 16
y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56
①根據上述數據,求這些數據滿足的函數關系;
②判斷噴水頭噴出的水柱能否越過這棵樹,并說明理由.
(2)某次噴水澆灌時,已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y=-0.04x2+bx,假設噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹,且不會澆到墻外,下面有四個關于b的不等式:
A.-0.04×82+8b>2.3
B.-0.04×182+18b>2.2
C.-0.04×182+18b<2.2
D.>13
其中正確的不等式是　　　　.(填上所有正確的選項)
變式特訓 (真情境)根據以下素材,探索完成任務.
如何設計噴水裝置的高度
素 材 1 圖1為某公園的圓形噴水池,圖2是其示意圖,O為水池中心,噴頭A,B之間的距離為20 m,噴射水柱呈拋物線形,水柱在距水池中心7 m處達到最高,高度為5 m.水池中心處有一個圓柱形蓄水池,其底面直徑CD為12 m,高CF為1.8 m
問題解決
素 材 2 如圖3,擬在圓柱形蓄水池中心處建一噴水裝置OP(OP⊥CD),并從點P向四周噴射與圖2中形狀相同的拋物線形水柱,且滿足以下條件: ①水柱的最高點與點P的高度差為0.8 m; ②不能碰到圖2中的水柱; ③落水點G,M的間距滿足GM∶FM=2∶7
任 務 1 確定水柱形狀 在圖2中以點O為坐標原點,水平方向為x軸建立平面直角坐標系,并求左邊這條拋物線的函數表達式
任 務 2 探究落水點位置 在建立的坐標系中,求落水點G的坐標
任 務 3 擬定噴水裝置的高度 求出噴水裝置OP的高度
考點2 二次函數中的實際問題最值的探究
　　例題2 (原創)某服裝店新到一種新款服裝,每件進價為100元,營銷時發現:當銷售單價定為150元時,每天的銷售量為20件,若銷售單價每上漲5元,每天的銷售量就會減少1件.
(1)寫出商店銷售這種服裝,每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的函數關系式.
(2)當銷售單價定為多少元時,每天的銷售利潤最大 最大值是多少
(3)商店的營銷部結合上述情況,提出了A,B兩種營銷方案.
方案A:為了讓利顧客,該服裝的銷售利潤不超過進價的60%.
方案B:為了滿足市場需要,每天的銷售量不少于17件.
請比較哪種方案的最大利潤更高,并說明理由.
考點3 二次函數與幾何圖形結合探究
　　例題3 如圖1,在矩形ABCD中,動點P從點A出發,以2 m/s的速度沿AD向終點D移動,設移動時間為t(s).連接PC,以PC為一邊向BC的上方作正方形PCEF,連接DE,DF.設△PCD的面積為y(cm2).y與t之間的函數關系如圖2所示.若△DEF的面積為S,探究S與t的關系.
初步感知
(1)①AB= cm,AD= cm;
②當t=1時,正方形PCEF的面積為 ,△DEF的面積為 ;
③點P從點A到點D的移動過程中,點E的運動路徑長是 cm.
拓展應用
(2)求△DEF的面積S關于t的函數解析式,并求出△DEF的面積S的最小值.
(3)若出現2個時刻t1,t2(t1解題指南
　　(1)識圖找關鍵點:(0,20),(5,0)對應圖形中P點在A點和D點的情況.
(2)△ABC≌△CE'E EE'=BC=10(點E的運動軌跡是線段).
(3)①PC∥EF ∵S△DEF+S△PDC=S正方形PCEF.
②借助二次函數圖象的對稱性,注意易錯點t的范圍是0≤t≤5,找到符合條件的部分.
考點4 二次函數中新定義問題探究
　例題4定義:由兩條與x軸有著相同的交點,并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”,如圖1,拋物線C1:y=x2+2x-3與拋物線C2:y=ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”,拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A(-3,0),B(點B在點A的右側),與y軸的交點分別為點G,H(0,-1).
(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標.
(2)如圖1,M是x軸下方拋物線C1上的點,過點M作MN⊥x軸于點N,交拋物線C2于點D,求線段MN與線段DM的長度的比值.
　　(3)如圖2,E是點H關于拋物線對稱軸的對稱點,連接EG,在x軸上是否存在點F,使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形 若存在,請求出點F的坐標;若不存在,請說明理由.
【參考答案】例題1　(1)①y=-0.02x2+0.48x
②噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹.理由略
(2)AC
變式特訓　(1)y=-(x+7)2+5
(2)點G的坐標為(-4.2,1.8)　(3)OP=6
例題2　(1)y=-x+50
(2)當單價為175元時,該新款服裝每天的銷售利潤最大,最大利潤為1125元
(3)方案B的最大利潤更高.理由略
例題3　(1)①4;10　②80;24　③10
(2)S△DEF=2t2-16t+38,S的最小值為6
(3)3≤t≤5;8
例題4　(1)拋物線C2的解析式為y=x2+x-1.G(0,-3)
(2)
(3)存在,點F的坐標為(-2,0)或(--2,0)
2

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