資源簡介

構建2　特殊的四邊形
命題分析
　　特殊的四邊形是初中階段重要的幾何內容,包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形,它們既有性質又有判定,既可以和三角形全等、三角形相似結合,又可以與圓的有關知識相結合,內容多,考查面?,難度中等或偏難,是江西中考必考內容.
【知識清單】
知識點1 特殊四邊形的定義及性質
特殊四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形
圖形
性質 邊 對邊① 對邊相等且平行 四條邊② ,對邊③ 四條邊相等,對邊平行
角 兩組對角分別相等 四個角④ (都是直角) 兩組對角分別相等 四個角相等(都是直角)
對角線 互相平分 互相平分且相等 互相⑤ 平分⑥ 互相平分且垂直,相等,平分一組對角
對稱性 中心對稱圖形 既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有2條對稱軸 既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有2條對稱軸 既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有4條對稱軸
對稱中心 對角線的交點
周長 C=2(a+b) C=2(a+b) C=4a C=4a
面積 S=ah S=ab S=ah=mn S=a2=m2
知識點2 特殊四邊形之間的關系
知識點3 中點四邊形
溫馨提示:(1)判斷一個四邊形的中點四邊形形狀的關鍵是判斷其 ;
(2)中點四邊形的周長是原四邊形兩條對角線的長度之和;
(3)中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半.
【參考答案】①相等且平行　②相等　③平行　④相等　⑤平分且垂直
⑥一組對角　⑦平行四邊形　⑧菱形　⑨矩形　⑩正方形
菱形　矩形　正方形　兩條對角線的位置和數量關系
【自我診斷】
1.如圖,在平行四邊形ABCD中,下列結論錯誤的是 ( )
A.AO=CO
B.AB=DC
C.∠DAB=∠BCD
D.AC=BD
2.如圖,在 ABCD中,AB=BC=5,對角線BD=8,則 ABCD的面積為 ( )
A.20 B.24 C.40 D.48
3.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,若AB=2,∠AOB=60°,則AC的長度為 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
4.下列說法:
(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形;
(2)對角線相等的平行四邊形是矩形;
(3)對角線互相垂直平分的四邊形是正方形;
(4)兩組對角相等的四邊形是平行四邊形;
其中正確的有 ( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
5.小琦在復習幾種特殊四邊形的關系時整理如圖,(1)(2)(3)(4)處需要添加相應的條件,則下列條件添加錯誤的是 ( )
A.(1)處可填∠A=90°
B.(2)處可填AD=AB
C.(3)處可填DC=CB
D.(4)處可填∠B=∠D
【參考答案】1.D　2.B　3.C　4.B　5.D
【真題精粹】
考向1 平行四邊形的性質與判定(6年2考)
1.(2021·江西)如圖,將 ABCD沿對角線AC翻折,點B落在點E處,CE交AD于點F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,則 ABCD的周長為 .
考向2 矩形的性質與判定(6年3考)
2.(2018·江西)如圖,在矩形ABCD中,AD=3,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉,得到矩形AEFG,點B的對應點E落在CD上,且DE=EF,則AB的長為 .
3.(分類討論)(2020·江西)如圖,矩形紙片ABCD的長AD=8 cm,寬AB=4 cm,折疊紙片,使折痕經過點B,交AD邊于點E,點A落在點A'處,展平后得到折痕BE,同時得到線段BA',EA',不再添加其他線段.當圖中存在30°角時,AE的長為　　　　　　cm.
4.(2019·江西)如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,對角線AC,BD相交于點O,且OA=OD.求證:四邊形ABCD是矩形.
考向3 菱形的性質與判定(必考,常在圓的綜合題中或幾何探究題中出現)
5.(2022·江西)如圖,四邊形ABCD為菱形,點E在AC的延長線上,∠ACD=∠ABE.
(1)求證:△ABC∽△AEB.
(2)當AB=6,AC=4時,求AE的長.
6.(2023·江西)課本再現
思考 我們知道,菱形的對角線互相垂直.反過來,對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎 可以發現并證明菱形的一個判定定理; 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
定理證明
(1)為了證明該定理,小明同學畫出了圖形(如圖1),并寫出了“已知”和“求證”,請你完成證明過程.
已知:在 ABCD中,對角線BD⊥AC,垂足為O.
求證: ABCD是菱形.
知識應用
(2)如圖2,在 ABCD中,對角線AC和BD相交于點O,AD=5,AC=8,BD=6.
①求證: ABCD是菱形.
②延長BC至點E,連接OE交CD于點F,若∠E=∠ACD,求的值.
考向4 正方形的性質與判定(6年3考)　
7.(數學文化)(2019·江西)我國古代數學名著《孫子算經》有估算方法:“方五,邪(通“斜”)七.見方求斜,七之,五而一.”譯文:如果正方形的邊長為五,則它的對角線長為七.已知正方形的邊長,求對角線長,則先將邊長乘以七再除以五.若正方形的邊長為1,由勾股定理得對角線長為,依據《孫子算經》的方法,則它的對角線的長是 .
8.(分類討論)(2018·江西)在正方形ABCD中,AB=6,連接AC,BD,P是正方形邊上或對角線上一點,若PD=2AP,則AP的長為 .
考向5 中點四邊形
9.(拓展)如圖,在任意四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點,對于四邊形EFGH的形狀,某班學生在一次數學活動課中,通過動手實踐,探索出如下結論,其中錯誤的是 ( )
A.當E,F,G,H是各邊中點,且AC=BD時,四邊形EFGH為菱形
B.當E,F,G,H是各邊中點,且AC⊥BD時,四邊形EFGH為矩形
C.當E,F,G,H不是各邊中點時,四邊形EFGH可以為平行四邊形
D.當E,F,G,H不是各邊中點時,四邊形EFGH不可能為菱形
【參考答案】1.4a+2b　2.3　3.或4或(8-4)　4.略
5.(1)略　(2)AE=9　6.(1)略　(2)①略　②=
7.1.4　8.2或2或-　9.D
【核心突破】
考點1 平行四邊形的性質與判定
例題1 如圖, ABCD的對角線AC,BD相交于點O,BD=2AB,AE∥BD,OE∥AB,AO=4,S四邊形ABOE=4,則BD的長為 .
變式特訓 1.如圖,在 ABCD中,點E,F分別在AD,BC上,DE=BF=3,EF⊥AD,若EF=8,AE=9,則AB的長為 ( )
A.6 B. C.9 D.10
2.如圖,在 ABCD中,點E,F分別在AD,BC上,連接BE,DF,且∠ABE=∠CDF.
(1)探究四邊形BEDF的形狀,并說明理由.
(2)連接AC,分別交BE,DF于點G,H,連接BD交AC于點O.若=,AE=4,求BC的長.
考點2 矩形的性質與判定
例題2 如圖,在△ABC中,AB=AC,AE⊥BC,AD平分∠FAC,CD⊥AD于點D.求證:四邊形AECD是矩形.
變式特訓 3.如圖,O為矩形ABCD對角線的交點,AD=8 cm,AB=6 cm,將△ABO向右平移得到△DCE,則△ABO向右平移的過程中掃過的面積是( )
A.12 cm2 B.24 cm2
C.48 cm2 D.60 cm2
4.如圖1,已知AD∥BC,AB∥DC,∠B=∠C.
(1)求證:四邊形ABCD為矩形.
(2)如圖2,M為AD的中點,N為AB的中點,連接CN,CM,MN,BN=2.若∠BNC=2∠DCM,求BC的長.
考點3 菱形的性質與判定
　　例題3 如圖,在矩形ABCD中,AC,BD相交于點O,AE∥BD,BE∥AC.
(1)求證:四邊形AEBO是菱形.
(2)若AB=OB=2,求四邊形AEBO的面積.
變式特訓 5.如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OE⊥AD,垂足為E,AC=8,BD=6,則OE的長為 .
6.如圖,在菱形ABCD中,EF是AB的垂直平分線,∠FBA=50°,則∠ACB的度數為 .
7.如圖,在等腰三角形ABC中,AD平分頂角∠BAC,交底邊BC于點H,點E在AD上,BE=BD.求證:四邊形BDCE是菱形.
考點4 正方形的性質與判定
　　例題4如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC和CD上,且滿足△AEF是等邊三角形,連接AC交EF于點G.
(1)求證:CE=CF.
(2)若等邊△AEF的邊長為2,求AC的長.
變式特訓 8.如圖,在正方形ABCD中,AB=4 cm,延長AB至點E,使BE=8 cm,F是DE的中點,求線段BF的長度.
9.(過程性學習)問題解決:一節數學課上,老師提出了這樣一個問題:如圖1,P是正方形ABCD內一點,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度數嗎
小明通過觀察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:將△BPC繞點B逆時針旋轉90°,得到△BP'A,連接PP',求出∠APB的度數.
思路二:將△APB繞點B順時針旋轉90°,得到△CP'B,連接PP',求出∠APB的度數.
請參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過程.
類比探究:如圖2,若P是正方形ABCD外一點,PA=5,PB=2,∠APB=45°,求PC的長.
方法提煉
　　矩形、菱形、正方形的解題策略:
1.判斷一個四邊形是矩形、菱形和正方形時,要注意題中給出的前提條件是平行四邊形還是任意四邊形.
2.已知矩形、菱形和正方形,根據它們的性質,可以得到線段或角的數量關系和位置關系.
3.在解決矩形、菱形和正方形的問題時,注意對全等三角形的性質和判定以及相似三角形的性質和判定的使用.
4.注意根據矩形、菱形和正方形的對稱性來解決問題.
考點5 中點四邊形
　　例題5如圖,四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E,F,G,H,順次連接EF,FG,GH,HE,得到四邊形EFGH(即四邊形ABCD的中點四邊形).
(1)四邊形EFGH的形狀是　　　　.
(2)當四邊形ABCD的對角線滿足　　　　的條件時,四邊形EFGH是矩形.
(3)當四邊形ABCD的對角線滿足　　　　的條件時,四邊形EFGH是菱形.
(4)當四邊形ABCD的對角線滿足　　　　的條件時,四邊形EFGH是正方形,證明你的結論.
變式特訓 10.(2023·山西)閱讀與思考
下面是一位同學的數學學習筆記,請仔細閱讀并完成相應任務.
瓦里尼翁平行四邊形
　　我們知道,如圖1,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,順次連接E,F,G,H,得到的四邊形EFGH是平行四邊形.
我查閱了許多資料,得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁(Varingnon,Pierre 1654-1722)是法國數學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切.
①當原四邊形的對角線滿足一定關系時,瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系.
③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結論可借助圖1證明如下:
證明:如圖2,連接AC,分別交EH,FG于點P,Q,過點D作DM⊥AC于點M,交HG于點N.
∵H,G分別為AD,CD的中點,∴HG∥AC,HG=AC, (依據1)
∴=.∵DG=GC,∴DN=NM=DM.
∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形,∴HE∥GF,即HP∥GQ.
∵HG∥AC,即HG∥PQ,
∴四邊形HPQG是平行四邊形, (依據2)
∴S HPQG=HG·MN=HG·DM.
∵S△ADC=AC·DM=HG·DM,∴=S△ADC,同理,…
任務:
(1)材料中的依據1是指: 　 .
依據2是指: 　 .
(2)請用刻度尺、三角板等工具,畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,并使得四邊形EFGH為矩形.(要求同時畫出四邊形ABCD的對角線)
(3)在圖1中,分別連接AC,BD得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,BD的長度的關系,并證明你的結論.
【參考答案】例題1　2
變式特訓
1.D
2.(1)四邊形BEDF為平行四邊形.理由略
(2)BC=16
例題2　略
變式特訓
3.D
4.(1)略　(2)BC=4
例題3　(1)略　(2)四邊形AEBO的面積=2
變式特訓
5.　6.25°　7.略
例題4　(1)略　(2)AC=+1
變式特訓
8.線段BF的長度為2 cm
9.問題解決:略
類比探究:PC=
例題5　(1)平行四邊形　(2)互相垂直　(3)相等　(4)垂直且相等
變式特訓
10.(1)三角形中位線定理;兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
(2)略
(3)瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于AC+BD.理由略
2

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