資源簡介

構(gòu)建5　解一元二次方程
命題分析
　　一元二次方程及其應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容,在江西學(xué)考中,一般單獨考查1道簡單題,主要考查根與系數(shù)的關(guān)系,一元二次方程的定義及解法和根的判別式也偶爾出現(xiàn),這類考題近6年都為選擇題或填空題.一元二次方程的解法單獨考查較少,通常融合在拋物線與坐標(biāo)軸或直線的交點問題中.
【知識清單】
知識點1 一元二次方程的相關(guān)概念
一元二次方程 定義 只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程
一般 形式 ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0),其中ax2,bx,c分別叫做二次項,一次項,常數(shù)項,a,b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)
解 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根
知識點2 一元二次方程的解法
一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
直接開 平方法 形如=n的方程,可直接開方求解,則x=±-m
因式 分解法 可化為a(x+m)(x+n)=0的方程,用因式分解法求解,則x1=-m,x2=-n
公式法 將一元二次方程的一般式中的系數(shù)a,b,c的值直接代入求根公式x=(b2-4ac≥0),就可以得到方程的根
配方法 若ax2+bx+c=0不易于分解因式,可考慮配方為a(x+h)2=k,再直接開方求解,配方法的關(guān)鍵是先將二次項系數(shù)化為1,再將方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方
知識點3 一元二次方程根的判別式
1.一元二次方程根的判別式:我們把b2-4ac叫做關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式,用符號“Δ”表示.
2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根分別是x1,x2,那么x1+x2=-,x1·x2=.
推論1:如果方程x2+px+q=0的兩個實數(shù)根分別是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.
推論2:以兩個數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
技巧提示:利用根與系數(shù)關(guān)系的前提是原方程的Δ≥0.
【自我診斷】
1.下列方程是一元二次方程的是 ( )
A.ax2+bx+c=0 B.x2+3x-1=x2-4
C.x(x-1)=0 D.x+=2
2.一元二次方程3x2-2x=1的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是 ( )
A.3、2、1 B.3、-2、1
C.3、-2、-1 D.-3、2、-1
3.用配方法解方程x2-8x+2=0,則方程可變形為 ( )
A.(x-4)2=6 B.(x-8)2=18
C.(x-4)2=18 D.(x-4)2=14
4.若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是 .
5.若一元二次方程x2-3x-2=0的兩個實數(shù)根分別為a,b,則a-ab+b的值為 .
【參考答案】1.C　2.C　3.D　4.k≤1且k≠0　5.5
【真題精粹】
考向1 一元二次方程的解法
1.(過程性學(xué)習(xí))小明在解方程x2-5x=1時出現(xiàn)了錯誤,解答過程如下:
解:∵a=1,b=-5,c=1,……第一步
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21,……第二步
∴x=,……第三步
∴x1=,x2=.……第四步
(1)小明的解答過程是從第　　　　步開始出錯的,其錯誤原因是　　　　　　.
(2)寫出此題正確的解答過程.
考向2 一元二次方程根的判別式(6年1考)
2.(2022·江西)關(guān)于x的方程x2+2x+k=0有兩個相等的實數(shù)根,則k的值為 .
考向3 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(6年4考)
3.(2020·江西)若關(guān)于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一個根為x=1,則這個一元二次方程的另一個根為 .
4.(2021·江西)已知x1,x2分別是一元二次方程x2-4x+3=0的兩個根,則x1+x2-x1x2= .
5.(2019·江西)設(shè)x1,x2分別是一元二次方程x2-x-1=0的兩個根,則x1+x2+x1x2= .
6.(2018·江西)一元二次方程x2-4x+2=0的兩根分別為x1,x2,則-4x1+2x1x2的值為 .
熱點預(yù)測
7.若關(guān)于x的一元二次方程x2-x+m=0的一個根是x=-4,則該方程的另外一個根是 .
【參考答案】1.(1)一;原方程沒有化成一般形式　(2)略
2.1　3.x=-2　4.1　5.0　6.2　7.x=6
【核心突破】
考點1 解一元二次方程
一題多解
　　例題1 按下面的要求解方程x2+5x+4=0.
配方法:
公式法:
因式分解法:
解題指南
　　注意在使用公式法時,先要將一元二次方程化為一般式,即ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,其次計算根的判別式Δ:①Δ>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;②Δ=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;③Δ≥0,方程有實數(shù)根;④Δ<0,方程沒有實數(shù)根.
考點2 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
　例題2已知x1,x2分別是一元二次方程2x2-x-6=0的兩個根,則x1x2= .
　　例題3設(shè)a,b分別為一元二次方程x2-x-3=0的兩個實數(shù)根,則a-2a2-b= .
變式特訓(xùn) 已知一元二次方程x2-3x+1=0的兩個實數(shù)根分別為a,b,則代數(shù)式5-a2b-ab2的值為 .
【參考答案】例題1　配方法:略　公式法:略
因式分解法:略
例題2　-3
例題3　-7
變式特訓(xùn)　2
2

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