資源簡介

構建6　方程(組)與不等式的實際應用
命題分析
　　在真實的情境中,通過等量關系列方程或方程組求未知數,通過不等量關系列不等式求未知數的取值范圍,會出現在各種題型中,但按照課標要求一般不會有列不等式組解決實際問題的題目,可能會與函數或統計等實際應用問題相結合,這一特點在2024年的中考仍將延續.
【真題精粹】
考向1 行程問題
1.(2019·江西)斑馬線前“車讓人”的交通規則,不僅體現著一座城市對生命的尊重,也直接反映著城市的文明程度.如圖,這是某路口的斑馬線路段A-B-C橫穿雙向行駛車道,其中AB=BC=6米,在綠燈亮后,小明共用11秒通過AC段,其中通過BC段速度是通過AB段速度的1.2倍,求小明通過AB段時的速度.設小明通過AB段時的速度是x米/秒,根據題意可列方程:_______________________________________________.
考向2 購買問題
2.(數學文化)(2018·江西)中國的《九章算術》是世界現代數學的兩大源泉之一,其中有一問題:“今有牛五、羊二,直金十兩.牛二、羊五,直金八兩.問牛、羊各直金幾何 ”譯文:今有牛5頭,羊2頭,共值金10兩.牛2頭,羊5頭,共值金8兩.問牛、羊每頭各值金多少 設牛、羊每頭各值金x兩、y兩,依題意,則可列出方程組:　 .
3.(2023·江西)今年植樹節,某班同學共同種植一批樹苗,若每人種3棵,則剩余20棵;若每人種4棵,則還缺25棵.
(1)求該班的學生人數.
(2)這批樹苗只有甲、乙兩種,其中甲種樹苗每棵30元,乙種樹苗每棵40元.購買這批樹苗的總費用沒有超過5400元,請問至少購買了甲種樹苗多少棵
4.(2020·江西)放學后,小賢和小藝來到學校附近的地攤上購買筆芯和卡通筆記本,這種筆芯每盒10支,整盒買比單支買每支可優惠0.5元.小賢要買3支筆芯,2本筆記本,需花費19元;小藝要買7支筆芯,1本筆記本,需花費26元.
(1)求筆記本的單價和單獨購買一支筆芯的價格.
(2)小賢和小藝都還想再買一件單價為3元的小工藝品,但如果他們各自為要買的文具付款后,只有小賢還剩2元錢.他們要怎樣做才能既買到各自的文具,又都買到小工藝品 請通過計算說明.
5.(2021·江西)甲、乙兩人去市場采購相同價格的同一種商品,甲用2400元購買的商品比乙用3000元購買的商品數量少10件.
(1)求這種商品的單價.
(2)甲、乙兩人第二次再去采購該商品時,每件價格都降低了20元,甲購買商品的總價與上次相同,乙購買商品的數量與上次相同,則甲兩次購買這種商品的平均價格是 元/件,乙兩次購買這種商品的平均價格是 元/件.
(3)生活中,無論油價如何變化,有人總按相同金額加油,有人總按相同油量加油,結合(2)的計算結果,建議按相同 加油更劃算.(填“金額”或“油量”)
【參考答案】1.+=11　2.
3.(1)該班的學生人數為45　(2)至少購買了甲種樹苗80棵
4.(1)筆記本的單價為5元,單獨購買一支筆芯的價格為3元
(2)略
5.(1)這種商品的單價為60元　(2)48;50　(3)金額
【核心突破】
考點1 根據數量關系列方程或不等式
　　例題1 在數學課上,老師展示了下列問題,請同學們分組討論解決的方法.
中國古代人民很早就在生產生活中發現了許多有趣的數學問題,其中《孫子算經》中有這樣一個問題:“今有三人共車,二車空;二人共車,九人步,問人和車各幾何 ”大意:今有若干人乘車.若每3人乘一輛車,則余2輛空車;若每2人乘一輛車.則余9人需步行.問共有多少輛車 多少人
某小組選擇用一元一次方程解決問題,設共有x輛車,請補全他們的分析和解答過程.
(1)由“若每3人乘一輛車,則余2輛空車”,可得人數為　　　　.(用含x的式子表示)
(2)由“若每2人乘一輛車,則余9人需步行”可得人數為　　　　.(用含x的式子表示)
(3)根據兩種乘車方式的人數相等,列出方程:　　　　.
(4)寫出解方程的過程.
解題指南
　　“盈不足”問題通常列一元一次方程解答,一般把所求的兩個量中較小的設為未知數,使方程中出現乘法關系,而非除法關系,便于解答.
【等量關系】
每車人數×車數=乘車人數
【等量關系變形】
每車人數×車數+步行人數=總人數
方案一的總人數=方案二的總人數
變式特訓 1.(核心素養)“一粒米千滴汗,粒粒糧食汗珠換”.為抵制餐飲浪費行為,某送餐公司推出了“半份餐”服務,餐量是整份餐的一半,價格也是整份餐的一半,整份餐的單價為10元,希望中學每天中午從該送餐公司訂200份午餐,其中半份餐訂x(0A.y=-5x+2000
B.y=5x+1000
C.y=-5x+1000
D.y=5x+2000
2.受第24屆北京冬季奧林匹克運動會的影響,小勇愛上了雪上運動.一天,小勇在滑雪場訓練滑雪,第一次他從滑雪道A端以平均(x+2)米/秒的速度滑到B端,用了24秒;第二次從滑雪道A端以平均(x+3)米/秒的速度滑到B端,用了20秒.
(1)求x的值.
(2)設小勇從滑雪道A端滑到B端的平均速度為v米/秒,所用時間為t秒,請用含t的代數式表示v(不要求寫出t的取值范圍).
考點2 行程問題
　　例題2電氣機車和磁懸浮列車從相距298千米的兩地同時出發,相向而行,磁懸浮列車的速度比電氣機車速度的5倍還快20千米/時,半小時后兩車相遇.問兩車的速度各是多少
試題分析:①設電氣機車的速度為x千米/時,則磁懸浮列車的速度為　　　　千米/時.
②根據題意列方程,得　　　　.
③完成后續的解題步驟.
變式特訓 3.(真情境)坐火車從玉山縣到南昌市可以選擇普快列車,也可以選擇“和諧號”動車,兩條鐵路線途經各站點的距離都相同.春運期間加開了一列普快列車和一列“和諧號”動車,火車時刻表如圖所示,兩車都準點抵達,準點駛離沿途各站.已知玉山縣到南昌市的鐵路線全長288 km,從玉山縣到南昌市,普快列車比動車慢128 min,各站點之間兩車行駛的平均速度不變.
(1)動車的平均速度是多少
(2)動車幾點抵達南昌市
4.如圖1,A1B1和A2B2是水面上相鄰的兩條賽道(可看成兩條互相平行的線段).甲是一名游泳健將,乙是一名游泳愛好者,甲在賽道A1B1上從A1處出發,到達B1后,以同樣的速度回到A1處,然后重復上述過程;乙在賽道A2B2上以1.5 m/s的速度從B2處出發,到達A2后,以相同的速度回到B2處,然后重復上述過程(不考慮每次折返時的減速和轉向時間).若甲、乙兩人同時出發,設到池邊B1B2的距離為y(m),運動時間為t(s),甲游動時,y(m)與t(s)的函數圖象如圖2所示.
(1)賽道的長度是　　　m,甲的速度是　　　m/s;當t=　　　s時,甲、乙兩人第一次相遇,當t=　　　s時,甲、乙兩人第二次相遇.
(2)求第三次相遇時,兩人到池邊B1B2的距離.
考點3 購買問題
　　例題3 (文化自信)為了弘揚我國書法藝術,培養學生良好的書寫能力,某校舉辦了書法比賽,學校準備為獲獎同學頒獎.在購買獎品時發現,A種獎品的單價比B種獎品的單價多10元,用300元購買A種獎品的數量與用240元購買B種獎品的數量相同.設B種獎品的單價是x元,則可列分式方程:　 .
變式特訓 5.永遠跟黨走,奮進新征程.某班國慶期間決定去井岡山革命老區研學旅行,研學基地有甲、乙兩種快餐可供選擇,買1份甲種快餐和2份乙種快餐共需70元,買2份甲種快餐和3份乙種快餐共需120元.
(1)買一份甲種快餐和一份乙種快餐各需多少元
(2)已知該班購買甲、乙兩種快餐共55份,所花的快餐費不超過1280元,問至少買乙種快餐多少份
考點4 銷售問題　
　　例題4臨近春節的前三個月,某干果店迎來了銷售旺季,第一個月的銷售額為8萬元,第三個月的銷售額為11.52萬元.設銷售額的月平均增長率為x,則根據題意,以下方程正確的為 ( )
A.8(1+2x)=11.52
B.2×8(1+x)=11.52
C.8(1+x)2=11.52
D.8(1+x2)=11.52
變式特訓 6.某造紙廠為節約木材,實現企業綠色低碳發展,通過技術改造升級,使再生紙項目的生產規模不斷擴大.該廠3,4月份共生產再生紙800噸,其中4月份再生紙的產量比3月份的2倍少100噸.
(1)求4月份再生紙的產量.
(2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元,5月份再生紙的產量比上月增加了m%,且5月份每噸再生紙的利潤比上月增加了%,則5月份再生紙項目的月利潤達到66萬元.求m的值.
(3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元,4至6月份每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙的產量比上月增長的百分數相同,6月份再生紙項目的月利潤比上月增加了25%.求6月份每噸再生紙的利潤.
考點5 說理決策問題
例題5 (2023·宜春模擬)為慶祝“元旦”,光明學校統一組織合唱比賽,七、八年級共92人(其中七年級的人數多于八年級的人數,且七年級的人數不足90人)準備統一購買服裝參加比賽.下表是某服裝廠給出的服裝的價格表:
購買服裝 的套數 1套至45套 46套至90套 91套及以上 (含91套)
每套服裝 的價格 60元 50元 40元
(1)如果兩個年級單獨購買服裝一共應付5000元,問七、八年級各有多少學生參加合唱比賽
(2)如果七年級參加合唱比賽的學生中,有10名同學被調去參加繪畫比賽,不能參加合唱比賽,請你為兩個年級設計一種最省錢的購買服裝的方案.
變式特訓 7.(2023·南昌模擬)已知A型車和B型車載滿貨物一次可運貨情況如下表.某物流公司現有35噸貨物,計劃同時租用A型車a輛,B型車b輛,一次運完且恰好每輛車都載滿貨物.根據以上信息,解答下列問題.
A型車/輛 B型車/輛 共運貨/噸
3 2 19
2 3 21
(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸
(2)請你幫該物流公司設計租車方案.
(3)若A型車每輛需租金300元/次,B型車每輛需租金320元/次,請選出最省錢的租車方案,并求出最少的租車費.
考點6 與圖形相關的應用
　　例題6 (文化自信)《千里江山圖》是宋代王希孟的作品.如圖,它的局部畫面裝裱前是一個長為2.4米,寬為1.4米的矩形,裝裱后,整幅圖畫寬與長的比是8∶13,且四周邊襯的寬度相等,則邊襯的寬度應是多少米 設邊襯的寬度為x米,根據題意,以下方程正確的為( )
A.=
B.=
C.=
D.=
變式特訓 8.六張完全相同的小矩形紙片C與A,B兩張矩形紙片恰好能拼成一個長為50、寬為m的大矩形,部分數據如圖所示.
(1)若n=8,則矩形紙片A的水平邊長為　　　　.
(2)請用含m,n的代數式表示矩形紙片A的周長:　　　　.
(3)若矩形紙片A,B的面積相等,求n的值.
【參考答案】例題1　(1)3(x-2)　(2)2x+9　(3)3(x-2)=2x+9　(4)略
變式特訓
1.A
2.(1)x的值為3　(2)v=
例題2　①(5x+20)　②[x+(5x+20)]=298　③略
變式特訓
3.(1)288 km/h　(2)上午11:02抵達南昌市
4.(1)50;2;;　(2) m
例題3　=
變式特訓
5.(1)購買一份甲種快餐需要30元,購買一份乙種快餐需要20元
(2)至少購買乙種快餐37份
例題4　C
變式特訓
6.(1)4月份再生紙的產量為500噸　(2)20　(3)1500元
例題5　(1)八年級有40人,七年級有52人參加合唱比賽
(2)最省錢的購買服裝的方案是買91套演出服
變式特訓
7.(1)1輛A型車載滿貨物一次可運貨3噸,1輛B型車載滿貨物一次可運貨5噸
(2)方案1:租用A型車5輛,B型車4輛
方案2:租用A型車10輛,B型車1輛
(3)最省錢的租車方案是租用A型車5輛,B型車4輛,最少的租車費為2780元
例題6　D
變式特訓
8.(1)26　(2)100+2m-12n　(3)n=或n=50(舍去)
2

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