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提分微專題　全等三角形的四大常考模型
類型1 平移型
例題1
模型分析　把△ABC沿著某一條直線l平行移動,所得到的△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形.圖1,圖2是常見的平移型全等三角形.在證明平移型全等的試題中,常常要碰到移動方向的邊加(減)公共邊.如圖1,若BE=CF,則BE+EC=CF+CE,即BC=EF.如圖2,若BE=CF,則BE-CE=CF-CE,即BC=EF.
1.如圖,點A,D,B,E在一條直線上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF.求證:BC=EF.
類型2 軸對稱型
模型分析　將原圖形沿著某一條直線折疊后,直線兩邊的部分能夠完全重合,這兩個三角形稱為翻折型全等三角形(如圖).此類圖形中要注意其隱含條件,即公共邊或公共角相等.
2.如圖,在五邊形ABCDE中,F為CD上一點,連接AF.
(1)若AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD,求證:F為CD的中點.
(2)若AB=AE,∠B=∠E,AF平分∠BAE,AF⊥CD,求證:F為CD的中點.
類型3 旋轉型
模型分析　將三角形繞公共頂點旋轉一定角度后,兩個三角形能夠完全重合,則稱這兩個三角形為旋轉型三角形.識別旋轉型三角形時,如圖1,涉及對頂角相等;如圖2,涉及等角加(減)等角的條件.
條件:△OAB,△OCD均為等腰三角形,∠AOB=∠COD.
結論:①△OAC≌△OBD;②AC=BD;③∠AEB=∠AOB;④OE平分∠AED(或∠AED的外角);⑤點E在△OBD的外接圓上.
3.如圖,已知△ABC和△DBE均為等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°.
(1)求證:AD=CE.
(2)猜想:AD和CE是否垂直 若垂直,請說明理由;若不垂直,則只要寫出結論,不用寫理由.
4.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形.
(1)將△ADE繞點A旋轉到圖1的位置時,連接BD,CE并延長相交于點P(點P與點A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立,請證明.
(2)將△ADE繞點A旋轉到圖2的位置時,連接BD,CE相交于點P,連接PA,猜想線段PA、PB、PC之間的數量關系,并加以證明.
(3)將△ADE繞點A旋轉到圖3的位置時,連接BD,CE相交于點P,連接PA,猜想線段PA、PB、PC之間的數量關系.直接寫出結論,不需要證明.
類型4 一線三等角型
模型分析　如圖1,∠D=∠BAC=∠E,AB=AC,則△ADB≌△CEA.
如圖2,∠BAC=∠BDF=∠CEF,AB=AC,則△ADB≌△CEA.
特殊的三垂直情況:
如圖3,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE,AB⊥AC,則△ADB≌△CEA.
5.如圖,△ABC為等邊三角形,D,E,F分別為AB,BC,AC上的點,∠DEF=60°,BD=CE,求證:BE=CF.
6.如圖,向△ABC的外側作正方形ABDE、正方形ACFG,過點A作AH⊥BC于點H,AH的反向延長線與EG交于點P.
求證:BC=2AP.
【參考答案】
1.略　2.略　3.(1)略　(2)垂直.理由略
4.(1)略　(2)PB=PA+PC.證明略　(3)PA+PB=PC
5.略　6.略
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