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提分微專題　隱形圓問題
類型1 四點共圓
模型分析　在圖1中,∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°A,B,C,D四點共圓.
在圖2中,∠ENF=∠EMFE,F,M,N四點共圓.
1. 綜合與實踐
小明在劉老師的指導下開展“探究四點共圓的條件”活動,得出結論:對角互補的四邊形四個頂點共圓.小明繼續利用上述結論進行探究.
【提出問題】
如圖1,在線段AC同側有兩點B,D,連接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四點在同一個圓上.
【探究展示】
如圖2,作經過點A,C,D的☉O,在劣弧AC上取一點E(不與A,C重合),連接AE,CE,則∠AEC+∠D=180°.(依據1)
∵∠B=∠D,∴∠AEC+∠B=180°,∴A,B,C,E四點在同一個圓上(對角互補的四邊形四個頂點共圓),∴點B,D在點A,C,E所確定的☉O上,(依據2)
∴點A,B,C,D四點在同一個圓上.
【反思歸納】
(1)上述探究過程中的“依據1”“依據2”分別是指什么
依據1:　　　　.
依據2:　　　　.
【拓展延伸】
(2)如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,將△ABC繞點A逆時針旋轉,得到△ANM,旋轉角為α(0<α<90°),連接CM交BN于點D,連接BM.小明發現,旋轉過程中,D始終為BN的中點,為驗證結論,小明連接AD,判斷A,D,B,C四點共圓后得出結論.
①請你幫小明證明ND=DB;
②當△BDM為直角三角形,且BN=4時,請直接寫出BC的長.
解題指南
類型2 定點、定長作圓
模型分析
如圖,OA=OB=OC=2,則點A,B,C在以點O為圓心,以2為半徑的圓上.
2. 閱讀下列材料,并完成相應學習任務:
我們知道,圓是所有到定點的距離等于定長的點的集合,而弧、弦、圓心角、圓周角的關系又是論證同圓或等圓中弧、角、線段之間關系的主要依據,因而在幾何問題中,當已知條件中有共端點的幾條線段相等時,可以通過構造輔助圓的方法.達到轉化和聯系角的目的.
如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AC=AD.
求證:∠1+∠2=90°.
學習任務:
(1)材料中畫橫線部分的“依據1”和“依據2”分別是(請填寫出定理的具體內容)
依據1:　　　　.
依據2:　　　　.
(2)用材料中提供的方法,解決下面問題:如圖4,在△ABC中,AB=AC,AD與AB關于直線AM對稱(點B的對應點為D),CD與AM交于點N,求證:∠1=∠2.
解題指南
3.圓的定義:在同一平面內,到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.
(1)如圖1,OA=OB=OC,請利用圓規畫出過A、B、C三點的圓.若∠AOB=70°,則∠ACB=　　　　.
(2)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BCA=30°,AB=2.
①如圖2,P為 AC邊的中點,將AC沿BA方向平移2個單位長度,點A,P,C的對應點分別為點D,E,F,求四邊形BDFC的面積.
②如圖3,將AC邊沿BC方向平移a個單位長度至DF,是否存在這樣的a,使得直線DF上有一點Q,滿足∠BQA=45°,且此時四邊形BADF的面積最大 若存在,求出四邊形BADF面積的最大值及平移距離a;若不存在,請說明理由.
類型3 定弦對定角作圓
模型分析　若∠P 保持不變,∠P 所對的邊長為 d 保持不變,則∠P 的頂點 P 的軌跡為圓弧.(簡稱:定邊對定角)
4.如圖,在正方形 ABCD 中,AD=2,E,F 分別為邊 DC,CB 上的動點,且始終保持 DE=CF,連接 AE 和 DF 交于點 P,則線段 CP 的最小值為 .
解題指南
　　 △ADE≌△DCF ∠APD=90°保持不變 點P的軌跡為以AD為直徑的一段弧 點到圓上的距離最短問題
5.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知B(0,14),C(2,0),E(8,0),P為x軸上方的點,連接EP,CP,我們約定:線段CE所對的∠CPE叫做線段CE的張角,把經過C,E,P三點的圓叫作線段CE的張角圓.
(1)如果CE為張角圓的直徑,那么CE的張角∠CPE=　　　　 °.
(2)如果CE的張角∠CPE=45°,求線段CE的張角圓的半徑.
(3)已知當點P在OB上存在最大的張角∠CPE時,求出點P的坐標.
(4)M是(3)的張角圓上的動點,A是線段BM的中點,連接OA,求AO的取值范圍.
6.【教材呈現】下面是華師大版九年級下冊數學教材第43頁的部分內容.
圓周角定理　在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于該弧所對的圓心角的一半;相等的圓周角所對的弧相等.
由圓周角定理,可以得到以下推論:推論1　90°的圓周角所對的弦是直徑.(如圖1)
【推論證明】已知:△ABC的三個頂點都在☉O上,且∠ACB=90°.
求證:線段AB是☉O的直徑.
請你結合圖2寫出推論1的證明過程.
【深入探究】如圖3,點A,B,C,D均在半徑為1的☉O上,若∠ACB=90°,∠ACD=60°,則線段AD的長為　　　　 .
【拓展應用】如圖4,△ABC是等邊三角形,以AC為底邊在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD,E是BC的中點,連結DE.若AB=2,則DE的長為　　　　 .
【參考答案】
1.(1)依據1:圓內接四邊形對角互補.
依據2:過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓.
(2)①略　②
2.(1)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;直徑或半圓所對的圓周角是直角
(2)略
3.(1)35°　(2)①6　②存在.四邊形BADF的最大面積=4+2
4.-1
5.(1)90　(2)3　(3)P(0,4)
(4)-≤OA≤+
6.【推論證明】略
【深入探究】
【拓展應用】1+
2

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