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提分微專題　中點(diǎn)的妙用
類型1 三角形的中位線
例題1
模型分析　在三角形中,如果有中點(diǎn),可構(gòu)造三角形的中位線,利用三角形中位線的性質(zhì)定理:DE∥BC,且DE=BC來解題.中位線定理中既有線段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系,該模型可以解決角問題,線段之間的倍半、相等及平行問題.
1.如圖,在△ABC中,AB=AC,延長AB到點(diǎn)D,使BD=AB,取AB的中點(diǎn)E,連接CD和CE.求證:CD=2CE.
2.如圖,在△ABC中,AC>AB,點(diǎn)D在AC上,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),連接EF并延長,與BA的延長線交于點(diǎn)G,若∠EFC=60°,連接GD,判斷△AGF的形狀并證明.
類型2 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
模型分析　在直角三角形中,當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)時,經(jīng)常會作斜邊上的中線,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即CD=AB,來證明線段間的數(shù)量關(guān)系,而且可以得到兩個等腰三角形:△ACD和△BCD.該模型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應(yīng)用.
3.如圖,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于點(diǎn)D,M為BC的中點(diǎn),AB=10,則DM的長度是 .
類型3 等腰三角形中的“三線合一”
模型分析　如圖,在等腰三角形ABC中,D為BC的中點(diǎn).等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時,常作底邊的中線,利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到角相等,為解題創(chuàng)造更多的條件,當(dāng)看見等腰三角形的時候,就應(yīng)想到 “等邊對等角、等角對等邊、三線合一”.
4.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,且∠ABC=2∠C.求證:CD=AB+BD.
類型4 線段的垂直平分線
模型分析　在△ABC中,DE垂直平分BC,連接BE,由垂直平分線的性質(zhì)即可得到BE=CE.
出現(xiàn)線段垂直平分線時,往往在線段垂直平分線上利用已知點(diǎn)(或構(gòu)造點(diǎn))與線段兩端連線,得到相等線段構(gòu)成等腰三角形.
5.如圖,在△ABC中,∠B=45°,D是邊BC的中點(diǎn),DE⊥BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,連接CE.
(1)求∠AEC的度數(shù).
(2)請你判斷AE,BE,AC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
類型5 倍長中線法構(gòu)造全等三角形
模型分析　1.如圖1,AD是△ABC的中線,延長AD至點(diǎn)E,使DE=AD,易證:△ADC≌△EDB(SAS).
2.如圖2,D是BC的中點(diǎn),延長FD至點(diǎn)E,使DE=FD,易證:△FDB≌△EDC(SAS).
當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時候,可以嘗試倍長中線或類中線,構(gòu)造全等三角形,目的是對已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移.
6.如圖,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M為BC的中點(diǎn),求證:DE=2AM.
【參考答案】
1.略　2.△AGF是等邊三角形.證明略　3.5　4.略
5.(1)∠AEC=90°　(2)AE2+EB2=AC2.證明略
6.略
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