資源簡介

提分微專題　相似三角形的五大常考模型
類型1 平行線型(“A”型, “X”型相似)
例題1
模型分析　如圖1、圖2,若DE∥BC,則△ADE∽△ABC,形象地說圖1為“A”型,圖2為“X”型,故稱之為平行線型相似三角形.
1.如圖,
在平行四邊形ABCD中,E是AB延長線上一點,連接DE交AC于點G,交BC于點F,則圖中相似三角形(不含全等三角形)共有 對.
2.如圖,在△ABC中,點D,E分別在AB,AC上,DE∥BC,∠ABE=∠AED,且AB=6,AC=9,則CE的長為 .
3.如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,點E在CD上,連接AE并延長,交BC的延長線于點F.
(1)求證:△ADE∽△FCE.
(2)若AB=4,AD=6,CF=2,求DE的長.
類型2 不平行型(斜交型相似)
模型分析　如圖1、圖2,若∠AED=∠B,則△AED∽△ABC,稱之為斜交型相似三角形.
4.如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC.
(2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的值.
5.如圖,小明畫了一個銳角△ABC,并作出了它的兩條高AD和BE,兩高相交于點P.小明說圖形中共有兩對相似三角形,他說的對嗎 請你判定一下,如果正確,就其中的一對進行證明.
類型3 子母型
模型分析　已知∠1=∠2,結(jié)論:△ACD ∽△ABC.
在右圖中,我們不僅要熟悉模型,還要熟記模型的結(jié)論,有時候題目中會給出三角形邊的乘積關(guān)系或者比例關(guān)系,我們要能快速判斷題中的相似三角形,模型中由△ACD ∽△ABC進而可以得到AC2=AD·AB.
6.如圖,在△ABC中,P為AB上一點,則在下列四個條件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③∠CAP=∠BAC;④=.其中能確定△APC和△ACB相似的是 (只填寫序號).
7.如圖,在△ABC中,AB=4,BC=8,D為BC邊上一點,BD=2.
(1)求證:△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于點E,請再寫出另一個與△ABD相似的三角形,并直接寫出DE的長.
類型4 一線三等角型
模型分析　已知:如圖1,2,3中,∠B=∠ACE=∠D.
結(jié)論:△ABC∽△CDE.
如圖1,∵∠ACE+∠DCE=∠B+∠A,又∵∠B=∠ACE,∴∠DCE=∠A,
∴△ABC∽△CDE.圖2,3同理可證△ABC∽△CDE.
在一線三等角的模型中,難點在于當已知三個相等的角的時候,容易忽略隱含的其他相等的角,此模型中的三垂直相似應(yīng)用較多,當看見該模型的時候,應(yīng)立刻能看出相應(yīng)的相似三角形.
8.在 ABCD中,AB=6,BC=8,E為BC上一點.
(1)如圖1,F為AB上一點,∠DEF=∠B=90°,=2.當BE>CE時,求證:DE=EF.
(2)如圖2,F為AB上一點,∠DEF=∠B=60°.當△DEF為直角三角形時,求AF的長.
9.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P為BC的中點,小明拿著含有30°角的透明直角三角板,使30°角的頂點落在點P上,三角板繞P點旋轉(zhuǎn).
(1)如圖1,當三角板的一直角邊和斜邊分別與AB,AC交于點E,F時,連接EF,請說明△BPE∽△CFP.
(2)操作:將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖2情形時,三角板的兩邊分別交BA的延長線,邊AC于點E,F,連接EF.
①探究1:△BPE與△CFP相似嗎 請說明理由.
②探究2:△BPE與△PFE相似嗎 請說明理由.
類型5 旋轉(zhuǎn)型
模型分析　條件:CD∥AB(△OCD∽△OAB),將△OCD 旋轉(zhuǎn)至右圖位置.
結(jié)論:右圖中①△OCD∽△OAB;△OAC∽△OBD; ②延長 AC 交 BD 于點 E,必有∠AEB=∠AOB;③點 E 在△OAB 的外接圓上.
10.如圖,△ABC和△DBE的頂點B重合,∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠BDE=30°,BC=3,BE=2.
(1)特例發(fā)現(xiàn):如圖1,當點D,E分別在AB,BC上時,可以得出結(jié)論:=　　　　,直線AD與直線CE的位置關(guān)系是　　　　.
(2)探究證明:如圖2,將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使點D恰好落在線段AC上,連接EC,(1)中的結(jié)論是否仍然成立 若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
11.已知點E在正方形ABCD的對角線AC上,正方形AFEG與正方形ABCD有公共點A.
(1)如圖1,當點G在AD上,點F在AB上,求的值.
(2)將正方形AFEG繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),如圖2,求的值.
(3)若AB=8,AG=AD,將正方形AFEG繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°),當C,G,E三點共線時,請直接寫出DG的長度.
【參考答案】
1.5　2.5　3.(1)略　(2)DE=3　4.(1)略　(2)CD=
5.略　6.①②④　7.(1)略　(2)DE=3
8.(1)略　(2)AF=
9.(1)略
(2)①△BPE∽△CFP.理由略　②△BPE∽△PFE.理由略
10.(1);垂直　(2)結(jié)論成立.理由略
11.(1)=2　(2)=　(3)4-4或4+4
2

展開更多......

收起↑