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第3節(jié)　與圓有關(guān)的計(jì)算(6年2考,3~9分)
命題分析
　　與圓有關(guān)的計(jì)算的考查在江西學(xué)考越來(lái)越受到重視,2020年考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算,2021年考查了與扇形相關(guān)的不規(guī)則圖形面積的計(jì)算,2023年考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及切線的證明,估計(jì)在2024年學(xué)考中繼續(xù)考查.
【知識(shí)清單】
知識(shí)點(diǎn)1 與圓有關(guān)的計(jì)算
與圓有關(guān)的
計(jì)算
方法 公式法 直接和差法 構(gòu)造和差法 等積轉(zhuǎn)化法
圖示 已知CD∥AB.
計(jì)算 公式 S陰影=S扇形MEN S陰影=S△ABC-S扇形CAD S陰影=S△OBC-S扇形BDO S陰影=S扇形OCD
知識(shí)點(diǎn)2 圓錐的有關(guān)計(jì)算
名稱 公式 備注
圓錐 S側(cè)面積=πrl S底面圓=πr2 S全面積=πrl+πr2 r為底面圓半徑
C底面圓=2πr
展開圖與圓錐各量間的關(guān)系 (1)圓錐的軸截面是等腰三角形,圓錐的母線l和底面圓半徑r,圓錐的高h(yuǎn),滿足r2+h2=l2; (2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形; (3)圓錐底面的周長(zhǎng)等于其側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng); (4)圓錐的母線長(zhǎng)等于其側(cè)面展開圖扇形的半徑
　　溫馨提示:1.求“弓形”的面積,通常用“弓形”所在的扇形的面積減去扇形內(nèi)三角形的面積.
2.在求不規(guī)則圖形的面積時(shí),注意利用割補(bǔ)法與等積變換方法將不規(guī)則圖形化歸為規(guī)則圖形,再利用規(guī)則圖形的公式求解.
【參考答案】
①2πr?、凇、郐衦2?、?br/>【自我診斷】
1.若一個(gè)扇形的半徑是4 cm,圓心角是45°,則此扇形的弧長(zhǎng)是 ( )
A.π cm B.2π cm C.4π cm D.8π cm
2.已知一個(gè)扇形的圓心角為60°,半徑為4,則該扇形的面積為 ( )
A.π B.π　 C.π　 D.π
3.小逸同學(xué)在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中,制作了一個(gè)圓錐模型(如圖所示),經(jīng)過(guò)小逸同學(xué)測(cè)量,得到圓錐的底面直徑為10 cm,高為12 cm,則根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)推算該圓錐的側(cè)面積為 cm2.(結(jié)果保留π)
【參考答案】
1.A　2.D　3.65π
【真題精粹】
考向1 弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算(6年2考)
1.(2020·江西)已知∠MPN的兩邊分別與☉O相切于點(diǎn)A,B,☉O的半徑為r.
(1)如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)A,B之間的優(yōu)弧上,∠MPN=80°,求∠ACB的度數(shù).
(2)如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)PC最大時(shí),要使四邊形APBC為菱形,∠APB的度數(shù)應(yīng)為多少 請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若PC交☉O于點(diǎn)D,求第(2)問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)(用含r的式子表示).
考向2 扇形面積的有關(guān)計(jì)算(6年2考)
2.(2021·江西)如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AD為直徑,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,連接AC.
(1)求證:∠CAD=∠ECB.
(2)如圖2,若CE是☉O的切線,∠CAD=30°,連接OC.
①請(qǐng)判斷四邊形ABCO的形狀,并說(shuō)明理由;
②當(dāng)AB=2時(shí),求AD,AC與圍成陰影部分的面積.
【參考答案】
1.(1)50°
(2)當(dāng)∠APB=60°時(shí),四邊形APBC是菱形.理由略
(3)+1+r
2.(1)略　(2)①四邊形ABCO是菱形.理由略　②+π
【核心突破】
考點(diǎn)1 弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算
例題1(2023·萍鄉(xiāng)模擬)如圖1,AB是☉O的直徑,且AB=2,C是半圓AB的中點(diǎn),P是上一動(dòng)點(diǎn),將沿直線AP折疊交AB于點(diǎn)D,連接PD,PB.
(1)求證:PD=PB.
(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí),如圖2,求的長(zhǎng).
解題指南
　　(1)如圖,作點(diǎn)D關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)D',連接AD',PD',OD',OP,由折疊的性質(zhì)可知∠D'AP=∠PAB,PD'=PD,根據(jù)圓周角定理可知∠POD'=2∠D'AP,∠POB=2∠PAB,可得∠POD'=∠POB,繼而得到PD'=PB,即PD=PB.
(2)證明△OPB是等邊三角形,可知所對(duì)圓心角為60°,利用弧長(zhǎng)公式可求的長(zhǎng).
變式特訓(xùn)1.如圖,正六邊形ABCDEF的中心為O,半徑OA=6.
(1)求正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng).
(2)以A為圓心,AF為半徑畫弧BF,求的長(zhǎng).(結(jié)果保留π)
2.如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,∠ACB=45°,AD是☉O的直徑,過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.
(1)求證:PB是☉O的切線.
(2)若AB=2,∠CAB=30°,則的長(zhǎng).(結(jié)果保留π)
考點(diǎn)2 扇形面積的有關(guān)計(jì)算
例題2 (2023·南昌模擬) 如圖,
四邊形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形EBF的半徑為2,圓心角為60°,則圖中陰影部分的面積是 .
解題指南
　　菱形ABCD,∠A=60° △DAB是等邊三角形 △ABG≌△DBH S四邊形GBHD=S△ABD.
變式特訓(xùn) 3.如圖,在矩形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),連接CE,以CE為直徑的☉O與AD邊交于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G,連接OF,GF,EF,若∠BEC=∠CEF=60°,AF=2.
(1)試判斷☉O與AD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)求矩形ABCD的周長(zhǎng).
(3)求陰影部分的面積.
4.如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,E為BC的中點(diǎn),AE⊥DE于點(diǎn)E.O是線段AE上的點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OE為半徑的☉O與AB相切于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,連接OG.
(1)求證:△ECD∽△ABE.
(2)求證:☉O與AD相切.
(3)若BC=6,AB=3,求☉O的半徑和陰影部分的面積.
方法提煉
　　與圓有關(guān)陰影部分面積的解題策略:
1.求“弓形”的面積,通常用“弓形”所在的扇形的面積減去扇形內(nèi)三角形的面積.
2.在求不規(guī)則圖形的面積時(shí),注意利用割補(bǔ)法與等積變換方法,將不規(guī)則圖形化歸為規(guī)則圖形,再利用規(guī)則圖形的公式求解.
考點(diǎn)3 圓柱、圓錐的有關(guān)計(jì)算
例題3已知圓錐母線的長(zhǎng)為5,側(cè)面積為20π,則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為 .
變式特訓(xùn)5.如圖,要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐(接縫處忽略不計(jì)),若該圓錐的底面周長(zhǎng)為8π cm,側(cè)面積為48π cm2,則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是 .
【參考答案】
例題1　(1)
變式特訓(xùn)
1.(1)6　(2)4π　2.(1)略　(2)
例題2　-
變式特訓(xùn)
3.(1)☉O與AD相切.理由略　(2)12+8　(3)π
4.(1)略　(2)略　(3)-
例題3　4
變式特訓(xùn)
5.120°
2

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