資源簡介

第4節　等腰三角形與直角三角形(必考,3分左右,
常在幾何綜合中考查)
命題分析
　　特殊三角形是江西學考的重點考查內容,主要考點:給出等腰三角形的兩條不相等的邊長,求等腰三角形的周長或面積;給出等腰三角形一個角的度數,求其他內角的度數;將等腰三角形作為條件在填空題最后一題中出現,突出分類討論的思想,利用勾股定理求直角三角形的邊.2022年有一道與反比例函數圖象相關的等腰三角形的分類討論填空題;2021年有一道與等腰三角形相關的簡單解答題,但近幾年單獨考查等腰三角形、直角三角形的試題比較少,多是將它們和其他知識融合在一起綜合考查,難度較大.對于特殊的三角形除了要掌握其特殊的性質外,還應加強讀圖能力,要能在復雜的圖形中發現基本圖形和性質.
【知識清單】
知識點1 等腰三角形的性質與判定
　　等腰三角形
知識點2 等邊三角形的性質與判定
等邊三角形
知識點3 直角三角形的性質與判定
直角三角形
【參考答案】
①頂角的平分線、底邊上的高線、底邊的中線　②60°　③60°　④90°　⑤斜邊的一半　⑥斜邊的一半　⑦a2+b2=c2　⑧a2+b2=c2
【自我診斷】
1.如圖,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底邊BC上的高,下面結論不一定成立的是 ( )
A.BD=CD 　　B.BD=AD
C.AD平分∠BAC 　　D.∠B=∠C
2.圖中共有等腰三角形 ( )
A.4個 B.5個 C.3個 D.2個
3.已知等邊△ABC的邊長AB=8,則△ABC的面積為 ( )
A.16 B.24
C.32 D.64
4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=4,D為AB的中點,則CD為 .
【參考答案】
1.B　2.B　3.A　4.4
【真題精粹】
考向1 等腰三角形的性質與判定(6年5考)
1.(拓展)一把園林剪刀如圖1所示,把它抽象為圖2,其中OA=OB.若剪刀張開的角為30°,則∠A= 度.
2.(2021·江西)如圖,在△ABC中,∠A=40°,∠ABC=80°,BE平分∠ABC交AC于點E,ED⊥AB于點D,求證:AD=BD.
考向2 直角三角形的性質與判定(必考)
3.(2023·江西)如圖,在 ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,將AB繞點A逆時針旋轉角α(0°<α<360°)得到AP,連接PC,PD.當△PCD為直角三角形時,旋轉角α的度數為 .
4.(拓展)如圖,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個動點,∠AOC=60°,則當△PAB為直角三角形時,AP的長為 .
【參考答案】
1.75　2.略　3.90°或180°或270°　4.2或2或2
【核心突破】
考點1 等腰三角形的性質與判定
例題1 在△ABC中,AB=AC.
(1)若∠B=40°,則∠C= .
(2)若△ABC的兩邊長分別為3和6,則△ABC的周長為 .
(3)如圖,過點A作AD⊥BC于點D,若BC=6,∠C=30°.
①CD= ,AD= ,AC= ,S△ABC= .
②點P從點B出發,以每秒1個單位長度的速度在射線BC上運動,設運動時間為t,若△ACP是等腰三角形,則t= 秒.
解題指南
　　1.在等腰三角形中,等邊對等角(等角對等邊).
2.已知等腰三角形的兩條邊長,求周長,需要分類討論,但前提條件必須要滿足三角形的三邊關系.
3.等腰三角形的分類討論
變式特訓1.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在AC邊上,E是BC邊上一點,若AB=6,AE=3,∠AED=∠B,則AD的長為 ( )
A.3 B.4 C.5 D.5.5
2.如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(1,1),點B(0,2),若在y軸上找一點C,使△ABC是等腰三角形,則點C的坐標為 .
3.性質探究
如圖1,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,則底邊AB與腰AC的長度之比為　　　　.
理解運用
(1)若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+2,則它的面積為　　　　.
(2)如圖2,在四邊形EFGH中,EF=EG=EH.在邊FG,GH上分別取中點M,N,連接MN.若∠FGH=120°,EF=20,求線段MN的長.
類比拓展
(3)頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為　　　　.(用含α的式子表示)
方法提煉
　　等腰三角形的性質與判定:
1.等腰三角形的性質為我們探究線段相等或角相等提供了重要的依據,它是溝通題中邊角關系的重要橋梁.把邊的關系轉化成角的關系(如等邊對等角,等腰三角形“三線合一”)是等腰三角形性質的本質所在,需要添加輔助線時,一般添加頂角的平分線或底邊上的高或底邊上的中線.
2.證明等腰三角形的方法:①通過等角對等邊可證;②通過三角形全等可證;③利用線段的垂直平分線的性質可證.
考點2 直角三角形的性質與判定
例題2 (2023·贛州模擬)在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,則BC= .
　　例題3在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,如圖1,若∠C=90°,則有a2+b2=c2.當△ABC為銳角三角形時,小明猜想:a2+b2>c2.理由如下:如圖2,過點A作AD⊥CB于點D,設CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax.∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴當△ABC為銳角三角形時,a2+b2>c2.小明的猜想是正確的.
(1)請你猜想,當△ABC為鈍角三角形時,a2+b2與c2的大小關系.(溫馨提示:在圖3中,作BC邊上的高)
(2)證明你猜想的結論是否正確.
變式特訓4.根據圖形(如圖1,圖2)的面積關系,下列說法正確的是 ( )
A.圖1能說明勾股定理,圖2能說明完全平方公式
B.圖1能說明平方差公式,圖2能說明勾股定理
C.圖1能說明完全平方公式,圖2能說明平方差公式
D.圖1能說明完全平方公式,圖2能說明勾股定理
5.如圖,在四邊形ABDC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥BD于點D.若BD=2,CD=4,則線段AB的長為 .
6.如圖1,△EBD和△ABC都是等腰直角三角形,△BDE的斜邊BD落在△ABC的斜邊BC上,直角邊BE落在邊AB上.
(1)當BE=1時,求BD的長.
(2)如圖2,將△EBD繞點B逆時針旋轉,使BD恰好平分∠ABC,DE交AB于點F,延長ED交BC于點M.
①當BE=1時,求EM的長.
②寫出FM與BE的數量關系,并說明理由.
方法提煉
　　直角三角形性質的“四運用”:
1.勾股定理是揭示直角三角形三邊關系的定理.若已知直角三角形中的兩邊長,則可求出第三邊長;若已知直角三角形三邊的關系,則可設未知邊長,根據勾股定理列方程求解.
2.在直角三角形中求邊長,首先要考慮的是用勾股定理求解.當直角三角形中出現30°角時應聯想到30°角所對直角邊是斜邊的一半,當出現斜邊上的中線時要想到直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半,這些線段間的數量關系是直角三角形中求線段長的關鍵.
3.若圖形中含折疊,考慮用折疊的性質,然后在直角三角形中,設未知量,列方程求解.
4.若所求為線段和(或可轉化為線段和的形式),考慮用證全等轉化到直角三角形中求解.
【參考答案】
例題1　(1)40°　(2)15
(3)①3　　2　3　②(6-2)或4或(6+2)
變式特訓
1.A　2.(0,0),(0,2+),(0,1)
3.性質探究　∶1(或)
理解運用　(1)　(2)MN=10
類比拓展　(3)2sin α∶1(或2sin α)
例題2　3+3或3-3
例題3　(1)a2+b2變式特訓
4.B　5.2
6.(1)BD=　(2)①EM=1+　②FM=2BE,理由略
2

展開更多......

收起↑