資源簡介

第5節(jié)　反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用(必考,3~11分)
命題分析
　　反比例函數(shù)及其應(yīng)用是函數(shù)的重要內(nèi)容,在江西學(xué)考中,一般有1道解答題,難度中等.反比例函數(shù)的考查通常與一次函數(shù)或幾何圖形結(jié)合,主要涉及求函數(shù)解析式,結(jié)合圖象討論函數(shù)的增減性、函數(shù)值的大小比較、k的幾何意義.
【知識清單】
知識點(diǎn)1 反比例函數(shù)的概念
反比例函數(shù)
知識點(diǎn)2 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
反比例函數(shù) y=(k為常數(shù),且k≠0)
k的符號 k>0 k<0
圖象
性質(zhì) 象限 第① 象限(x,y同號) 第② 象限(x,y異號)
增減性 在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而③ 在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而④
漸近趨勢 圖象無限接近坐標(biāo)軸,但永遠(yuǎn)不會與坐標(biāo)軸⑤ (x≠0,y≠0)
對稱性 中心對稱圖形:關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱 軸對稱圖形:關(guān)于直線y=x,y=-x成軸對稱
知識點(diǎn)3 反比例函數(shù)的解析式
反比例函數(shù)的解析式
【參考答案】①一、三?、诙⑺摹、蹨p小?、茉龃蟆、菹嘟弧、迀k|?、?|k|
【自我診斷】
1.下列函數(shù)屬于反比例函數(shù)的是 ( )
A.y=2x B.y=-
C.y=- D.y=-
2.如圖,A為反比例函數(shù)y=(k≠0,x<0)的圖象上一點(diǎn),過點(diǎn)A作AB⊥y軸,垂足為B,若△OAB的面積為1,則k的值為( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.對于反比例函數(shù)y=-,下列說法不正確的是 ( )
A.點(diǎn)(-2,1)在它的圖象上
B.它的圖象在第二、四象限
C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
D.若點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)都在圖象上,且x14.已知點(diǎn)A(-4,y1),B(-2,y2),C(3,y3)都在反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為 ( )
A.y3B.y1C.y3D.y2【參考答案】1.B　2.D　3.D　4.C
【真題精粹】
考向1 反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)(6年2考)
1.(2019·江西)已知正比例函數(shù)y1的圖象與反比例函數(shù)y2的圖象相交于點(diǎn)A(2,4),下列說法正確的是 ( )
A.反比例函數(shù)y2的解析式是y2=-
B.兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4)
C.當(dāng)x<-2或0D.正比例函數(shù)y1與反比例函數(shù)y2都隨x的增大而增大
2.(2018·江西)在平面直角坐標(biāo)系中,分別過點(diǎn)A(m,0),B(m+2,0)作x軸的垂線l1和l2,探究直線l1,l2與雙曲線y=的關(guān)系,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( )
A.兩直線中總有一條與雙曲線相交
B.當(dāng)m=1時(shí),兩直線與雙曲線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等
C.當(dāng)-2D.當(dāng)兩直線與雙曲線都有交點(diǎn)時(shí),這兩交點(diǎn)的最短距離是2
考向2 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用
3.(2023·江西)如圖,已知直線y=x+b與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(2,3),與y軸交于點(diǎn)B,過點(diǎn)B作x軸的平行線交反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象于點(diǎn)C.
(1)求直線AB和反比例函數(shù)圖象的表達(dá)式.
(2)求△ABC的面積.
4.(2022·江西)如圖,點(diǎn)A(m,4)在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)B在y軸上,OB=2,將線段AB向右下方平移,得到線段CD,此時(shí)點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)D落在x軸正半軸上,且OD=1.
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　 　,點(diǎn)D的坐標(biāo)為　　　　,點(diǎn)C的坐標(biāo)為　　　　(用含m的式子表示).
(2)求k的值和直線AC的表達(dá)式.
5.(2021·江西)如圖,正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(1,a),在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,點(diǎn)C坐標(biāo)為(-2,0).
(1)求k的值.
(2)求AB所在直線的解析式.
熱點(diǎn)預(yù)測
6. (原創(chuàng))如圖,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象與矩形OABC的邊AB,BC分別相交于點(diǎn)D,E,已知C(-4,0),A(0,8),E是BC的中點(diǎn),EF⊥OA于點(diǎn)F,直線AC交EF于點(diǎn)G,連接ED,DG.
(1)求m的值及直線AC的解析式.
(2)求四邊形CEDG的面積.
考向3 反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合
7.(2020·江西)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,頂點(diǎn)A,B都在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,直線AC⊥x軸,垂足為D,連接OA,OC,并延長OC交AB于點(diǎn)E,當(dāng)AB=2OA時(shí),E恰為AB的中點(diǎn),若∠AOD=45°,OA=2.
(1)求反比例函數(shù)的解析式.
(2)求∠EOD的度數(shù).
【參考答案】1.C　2.D
3.(1)直線AB的表達(dá)式為y=x+1,反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=
(2)△ABC的面積=6
4.(1)(0,2);(1,0);(m+1,2)
(2)k=4　直線AC的表達(dá)式為y=-2x+6
5.(1)k=1　(2)直線AB的解析式為y=-x+
6.(1)m=-16　直線AC的解析式為y=2x+8
(2)四邊形CEDG的面積=8
7.(1)反比例函數(shù)的解析式為y=(x>0)
(2)∠EOD=15°
【核心突破】
考點(diǎn)1 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
一題多設(shè)問
　　例題1 已知反比例函數(shù)y=(a是常數(shù)).
(1)若反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A(1,4)和B(m,-2),則a= ,m= .
(2)若反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限,則
①a的取值范圍是 ,在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而 .
②若此時(shí)點(diǎn)C(-2,y1),D(-1,y2),E(1,y3)都在反比例函數(shù)上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是 (用“<”連接).
③當(dāng)-2≤x≤-1時(shí),此時(shí)函數(shù)y的最大值和最小值的差為2,則a的值為 .
(3)如圖,這是反比例函數(shù)y=的圖象,則y=ax+2的圖象不經(jīng)過第 象限.
考點(diǎn)2 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合
　　例題2 如圖,直線y1=x+b交x軸于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)A(0,2),與反比例函數(shù)y2=的圖象交于點(diǎn)C(1,m),D(n,-1),連接OC,OD.
(1)求k的值.
(2)求△COD的面積.
(3)根據(jù)圖象直接寫出y1(4)在x軸上找一點(diǎn)P,使S△POC=S△COD,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(5)將直線y=-x+3沿y軸平移m個(gè)單位長度后得到直線l,當(dāng)l與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),求m的值.
方法提煉
　　(1)確定函數(shù)解析式:一般先通過一個(gè)函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo),再代入另一個(gè)函數(shù)表達(dá)式求解.
(2)比較函數(shù)值的大小:①找界點(diǎn)(交點(diǎn));②找符合范圍;③看自變量x的范圍.
(3)交點(diǎn)個(gè)數(shù):函數(shù)圖象的交點(diǎn)即函數(shù)值y相等,轉(zhuǎn)化為方程,交點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程的解的個(gè)數(shù)(或直接分析圖象).
(4)已知坐標(biāo)求面積可用“割補(bǔ)法”或“鉛垂法”S=×鉛垂高×水平寬,已知面積求坐標(biāo)可先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),注意表示長度時(shí)可借助絕對值保證非負(fù)性.
變式特訓(xùn) 1.(2023·撫州模擬)如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)B(m,2).
(1)求反比例函數(shù)的解析式.
(2)點(diǎn)D(2,n)也在反比例函數(shù)的圖象上,求△DOB的面積.
考點(diǎn)3 反比例函數(shù)中“k”的幾何意義
　　例題3如圖,P是反比例函數(shù)y=的圖象上一點(diǎn).
(1)若下面四個(gè)圖中的陰影部分的面積為4,則對應(yīng)的k的值分別為 , , , .
(2)如圖,過點(diǎn)P作x軸的平行線,交雙曲線y=于點(diǎn)C.
①如圖5,若△OPC的面積為4,則k的值為 ;
②如圖6,若P(1,4),Q是x軸上任意一點(diǎn),則△PCQ的面積為 ;
③如圖7,點(diǎn)A,B在x軸上,若四邊形ABCP是矩形,它的面積為4,則k的值為 .
解題指南
　　點(diǎn)P(x,y)在反比例函數(shù)的圖象上,則|k|=|xy|,即點(diǎn)P與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于|k|.
考點(diǎn)4 反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合
　　例題4如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,AB的垂直平分線PD交雙曲線于點(diǎn)P.
(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,8),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　.
(2)若AP⊥BP,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m.
①求k與m之間的關(guān)系式;
②連接OA,OP,若△AOP的面積為6,求k的值.
變式特訓(xùn) 2.如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸的正半軸上,E為AB的中點(diǎn),反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,且與BC交于點(diǎn)D,連接OD,OE,DE.若△ODE的面積為3,則k的值為 .
考點(diǎn)5 反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
　　例題5 (學(xué)科融合)小明學(xué)習(xí)了物理中的杠桿平衡原理發(fā)現(xiàn):阻力×阻力臂=動力×動力臂.現(xiàn)已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為2400 N和1 m,則動力F(單位:N)關(guān)于動力臂l(單位:m)的函數(shù)圖象大致是 ( )
　　A　　B
C　　D
變式特訓(xùn) 3.小明學(xué)習(xí)了物理中的歐姆定律發(fā)現(xiàn):電阻兩端的電壓=電流強(qiáng)度×電流通過的電阻.已知某滑動變阻器兩端電壓恒定,當(dāng)變阻器的電阻調(diào)節(jié)為10 Ω時(shí),測得通過該變阻器的電流為24 A,則通過該滑動變阻器的電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是 ( )
A　 　B
C　　D
【參考答案】例題1　(1)-1　-2
(2)①a<3　減小?、趛2(3)四
例題2　(1)k=3　(2)S△COD=4　(3)x<-3或0(4)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,0或-,0
(5)m=-3+2或m=-3-2
變式特訓(xùn)
1.(1)反比例函數(shù)的解析式為y=　(2)S△BOD=
例題3　(1)4　8　4　2　(2)①4?、??、?
例題4　(1)(2,4)　(2)①k=2m2?、趉=8
變式特訓(xùn)
2.4
例題5　A
變式特訓(xùn)
3.A
2

展開更多......

收起↑