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微專題03 奔馳定理與三角形的“四心”
題型一：奔馳定理與三角形面積比例問題
題型二：奔馳定理與三角形“四心”關系
題型三：三角形的重心
題型四：三角形的外心
題型五：三角形的內心
題型六：三角形的垂心
1.奔馳定理
對于內一點，記，，，則
.
因該定理圖案形似奔馳車標，所以起名“奔馳定理”.
證明：延長交于點，
容易得到，且，
代入化簡得，
同理，
，
所以
即得證.
2.奔馳定理與三角形“四心”的關系
(1)重心：三角形中線的交點，重心將中線長度分成2：1．
當點是三角形的重心時，容易得到，
代入奔馳定理化簡得到， .
(2)外心：三角形邊的中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．
當點是三角形的外心時，由圓的性質可得，，
由面積公式，，
所以
(3)內心：三角形角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．
當點是三角形的內心時，由圓的性質可得,
由面積公式，，
所以，
又根據正弦定理，
所以也可以寫成.
(4)垂心：三角形高線的交點，高線與對應邊垂直．
當點是三角形的垂心時，根據圖形，可知，
所以
同理可得，所以
代入奔馳定理，即得：
．
3.三角形重心的向量表示
（1）；
（2）；
（3）動點滿足，，則的軌跡一定通過的重心
（4）動點滿足，，則動點的軌跡一定通過△ABC的重心
（5）重心坐標為：.
4.三角形外心的向量表示
（1）；
（2）動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的外心；
（3）若，則是的外心；
（4）；
（5）.
5.三角形內心的向量表示
（1）
（2）
（3）動點滿足，則的軌跡一定通過△ABC的內心
（4）
6.三角形垂心的向量表示
（1）
（2）
（3）動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的垂心
（4）
（5）.
題型一：奔馳定理
【例1】已知點是所在平面內一點，滿足， ，則_______
【答案】
【解析】（法1）：由結論推廣可得，，所以
（法2）：由可得，設AB，BC中點分別是D,E，得，所以點P在中位線上，且，所以
【變式1】已知點是所在平面內一點，滿足，則與面積之比是
【解析】（法1）：由得，，即，由結論推廣得
（法2）：由得，，即，化簡得，由，得，設AB中點為D，則，所以點P在的中位線上，所以
【變式2】設為所在平面上一點，且滿足．若的面積為8，則的面積為___________．
【答案】14
【解析】法一：共線系數和＋分點恒等式+等積變形
，設H為線段AC上一點，且，
則，
∵PD∥AB，∴
法二：奔馳定理推論：是平面內的一點，且，則
① ； ②
∵，
∴
【變式3】已知是內部的一點，，，所對的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因為,所以.
設可得則是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以與的面積之比為即為.
【變式4】已知是三角形內部一點，且，則的面積與的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，設，∵，∴，設與交于點，則平分，∴，是中點，
∴．比值為．
故選：C．
【變式5】若點是所在平面內的一點，點是邊靠近的三等分點，且滿足，則與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是所在平面內一點，連接，，延長至使，
∵，∴，
連接，則四邊形是平行四邊形，向量和向量平行且模相等，
由于，所以，又，所以，
在平行四邊形中，，則與的面積比為，
故選：C.
【變式6】平面上有及其內一點O，構成如圖所示圖形，若將，， 的面積分別記作，，，則有關系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結論稱為“奔馳定理”．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】由得，
由得，
根據平面向量基本定理可得，，
所以，，
延長交于，延長交于，
則，又，所以，
所以為的平分線，
同理可得是的平分線，
所以為的內心.
題型二：奔馳定理與三角形四心的關系
【例1】（多選題）（2024·高一單元測試）如圖，為內任意一點，角的對邊分別為，則總有優美等式成立,此結論稱為三角形中的奔馳定理.由此判斷以下命題中，正確的有（ ）
A．若是的重心，則有
B．若，則是的內心
C．若，則
D．若是的外心，且，則
【答案】ABD
【解析】對于A，是的重心，則,
代入就得到,正確；
對于B，設點P到邊的距離分別為，
由得，，即，與已知條件比較知，，則是的內心，正確；
對于，即，
與比較得到，，錯誤；
對于D，是的外心，且，則，設三角形外接圓半徑為R，
所以，
代入奔馳定理即可得到，正確，
故選：ABD.
【變式1】如圖，已知是的垂心，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，如圖，
則，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔馳定理”有，
則，而與不共線，有，，即，
所以.
故選：A
【變式2】在面上有及內一點滿足關系式：即稱為經典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現有，則為的 心.
【答案】內
【解析】，，
，
，
，分別是，方向上的單位向量，
向量平分，即平分，同理平分，
為的內心，
故答案為：內
【變式3】如圖，已知是的垂心，且，則( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是的垂心，延長交與點，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨設，其中，
∵，
∴，解得或，
當時，此時，則都是鈍角，則，矛盾.
故，則，∴是銳角，，
于是，解得.
故選：A.
【變式4】奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內的一點，，，是的三個內角，且點滿足，則必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如圖，因為，
所以，同理，，
所以為的垂心。
因為四邊形的對角互補，所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又
．
由奔馳定理得.
故選C．
題型三、三角形的重心
【例1】若所在平面內一點P滿足，則P是的（ ）．
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】設中點為D，

由可得，
即點共線，且，則P為的重心.
故選：C
【變式1】O是平面內一定點，A，B，C是平面內不共線三點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心
【答案】D
【解析】由題設，
而所在直線過中點，即與邊上的中線重合，且，
所以P的軌跡一定通過的重心.
故選：D
【變式2】O是△ABC所在平面內一點，動點P滿足，
，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（　　）
A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心
【答案】D
【解析】，h為BC邊上的高
∴.
∴點P在三角形的中線上，所以點P的軌跡一定通過三角形的重心.
【變式3】若O是△ABC所在平面上一定點，H，N，Q在△ABC所在平面內，動點P滿足， ，則直線AP一定經過的____心，點H滿足，則H是的____心，點N滿足，則N是的____心，點Q滿足，則Q是的____心，下列選項正確的是（ ）
A．外心，內心，重心，垂心 B．內心，外心，重心，垂心
C．內心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，內心
【答案】B
【解析】，變形得到，
其中分別代表方向上的單位向量，
故所在直線一定為的平分線，
故直線AP一定經過的內心，
，即點到三個頂點相等，故點是的外心，
因為，所以，
如圖，取的中點，連接，
則，所以，
故三點共線，且，
所以是的重心，
由可得，
故，同理可得，
故為三條高的交點，為的垂心.
故選：B
【變式4】（多選題）點為△所在平面內一點，則（ ）
A．若，則點為△的重心
B．若，則點為△的垂心
C．若．則點為△的垂心
D．在中，設，那么動點的軌跡必通過△的外心
【答案】AD
【解析】A．由于，其中為的中點，可知為邊上中線的三等分點（靠近線段），故為△的重心；選項A正確.
B．向量，，分別表示在邊和上取單位向量和，它們的差是向量，當，即時，則點在的平分線上，同理由，知點在的平分線上，故為△的內心；選項B錯誤.
C．是以，為邊的平行四邊形的一條對角線的長，而是該平行四邊形的另一條對角線的長，表示這個平行四邊形是菱形，即，同理有，故為△的外心．選項C錯誤.
對于D，設是的中點，，
即，所以，
所以動點在線段的中垂線上，故動點的軌跡必通過△的外心.選項D正確.
故選：AD.
【例2】已知是的重心，若，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】連接并延長交于，如圖，

因為是的重心，則是的中點，
所以
，
又，所以，，
所以.
故選：B.
【變式1】如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點G，點G稱為的重心，那么是（ ）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
【答案】B
【解析】因為為的中線，所以，
設，則，
故，所以，
因為，所以，
因為三點共線，可設，則，
故，
故，相加得，
解得，故.
故選：B
【變式2】已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，點P滿足，則與面積比為（ ）
A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2
【答案】B
【解析】如圖所示
是的重心，
,
,
,
,
，即，
點為的中點，即點為邊中線的兩個三等分點，
，
，
故選：B.
【變式3】記的內角的對邊分別為，若O為的重心，，則 .
【答案】
【解析】連接AO，延長AO交BC于D，由題意得D為BC的中點，，所以，.因為，
所以，得.
故.
故答案為:.
【例3】已知G為△ABC的重心（三條中線的交點），，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中點為，連接，如下圖所示：
因為G為△ABC的重心，所以，
因為，，
所以，
所以，
又，當且僅當時取等號；
所以的最小值為.
故選:C.
【變式1】如圖，經過的重心G的直線與分別交于點，，設，，則的值為 ．
【答案】3
【解析】設，由題意知，
，
由P，G，Q三點共線，得存在實數使得，
即，
從而消去，得．
故答案為：3
【變式2】在中，過重心的直線交邊于點，交邊于點（、為不同兩點），且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由是的重心，得到，再由三點共線，得到，結合題意，得出方程組求得，結合基本不等式，即可求得的最小值.
【詳解】如圖所示，設邊上的中點為，因為是的重心，可得，
根據向量的線性運算法則，可得，
又因為三點共線，可得，即，
可得，
因為，可得，
所以，整理得，即，其中，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.
故答案為：.
題型四、三角形的外心
【例1】在中，動點P滿足，則P點軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因為，
所以，
所以，
設的中點為，則，則，

所以，所以點P在線段AB的中垂線上，故點P的軌跡過的外心.
故選：A
【變式1】已知是所在平面上一點，若，則是的( )．
A．重心 B．內心 C．外心 D．垂心
【答案】C
【解析】，根據外心的性質，所以則是的外心，故選C.
【變式2】是所在平面上一點，若，則是的( )．
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】B
【解析】記AB中點為D，，點O在線段AB的中垂線上
其它同理，點O也在其他邊的中垂線上，所以點O是的外心.
【變式3】已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定經過的 ．(從“重心”，“外心”，“內心”，“垂心”中選擇一個填寫）
【答案】外心
【解析】如圖所示：為中點，連接，
，
，故，
即，故的軌跡一定經過的外心.
故答案為：外心
【變式4】（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．若A，B，C，D四點在同一條直線上，且，則
B．在中，若O點滿足，則O點是的重心
C．若，把右平移2個單位，得到的向量的坐標為
D．在中，若，則P點的軌跡經過的內心
【答案】BD
【解析】對于A，依題意如圖，
但，故選項A錯誤；
對于B，設的中點為，由于，即，
所以，所以O點是的重心，故選項B正確；
對于C，向量平移后不改變方向和模，為相等向量，故選項C錯誤；
對于D，根據向量加法的幾何意義知，以和為鄰邊的平行四邊形為菱形，
點P在該菱形的對角線上，由菱形的對角線平分一組對角，
故P點的軌跡經過的內心，故選項D正確.
故選：BD
【例2】已知點O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點，則 ．
【答案】5
【解析】如圖所示，
取AB的中點E，連接OE，
因為為△ABC的外心，則，
所以，
同理： ，
所以.
故答案為：5.
【變式1】已知中，，，，為的外心，若，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，為的外心，設外接圓半徑為，
在圓中，過作，，垂足分別為，，
則，分別為，的中點，
因為，兩邊乘以，即，
的夾角為，而，
則，得①，
同理兩邊乘，即，，
則，得②，
①②聯立解得，，
所以．
故選：C．
【變式2】已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若，且，則△ABC的面積為______.
【答案】
【解析】
代入，得
代入，得
故面積為
【補充】若去掉條件，則需要考慮外心在AC上的情況，此時△ABC為Rt△，面積為24
【變式3】已知點O是△ABC的外心，若，則cos∠BAC=__________.
【答案】
【解析】——構造方程組
解得（負值已舍去）
題型五、三角形的內心
【例1】已知點O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P的軌跡一定通過△ABC的( )
A.外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】B .
【解析】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向與的角平分線一致，
由，可得，
即，
所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，
故點P的軌跡一定經過的內心.
【變式1】已知所在的平面上的動點滿足，則直線一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】C
【解析】因為
，
根據平行四邊形法則知表示的向量在三角形角的平分線上，
而向量與共線，
點的軌跡過的內心.
故選：．
【變式2】（多選題）點O在所在的平面內，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則點O為的垂心
B．若，則點O為 的外心
C．若，則1
D．若且，則點O是的內心
【答案】ACD
【解析】對A：如圖所示， ，
則，，，
，
為的垂心，A正確；
對B：如圖，取的中點，連接，由，則，
，，三點共線，又是的中線，且，
為的重心，B錯誤；
對C：如圖：，分別是，的中點，
由，，，
，，，
則，，，
則，C正確；
對D：如圖，
，，
，，即為的平分線，
同理由得，即為的平分線，
為的內心，D正確．
故選：ACD
【例2】已知點O是的內心，，，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】連接并延長交于點，連接，則由角平分線定理得到的長度關系，再由平面向量基本定理，利用三點共線，得到關系式，比較系數可得答案.
【詳解】連接并延長交于點，連接，
因為O是的內心，所以為的平分線，
所以根據角平分線定理可得，
所以,
因為三點共線，所以設，
則，
因為，
所以，
故選：D
【變式1】設為的內心，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中點，連，
因為，，所以，，
所以的內心在線段上，為內切圓的半徑，
因為，
所以，
所以，得，
所以，
所以，
又，所以，
又已知，所以，
所以.

故選：B.
【變式2】已知在中，，，設是的內心，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以的中點為坐標原點，建立如下圖所示的坐標系，由內切圓的性質得出，再由得出.
【詳解】以的中點為坐標原點，建立如下圖所示的坐標系：
設的內切圓的半徑為，則，解得
故，則
因為，所以，即，解得，故.
故選：C
【變式3】已知為的內心，且滿足，若內切圓半徑為2，則其外接圓半徑的大小為（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】在中，取邊的中點，連接，

則，而，有，因此點共線，
由為的內心，得平分，即有，
因此，，有，，令內切圓與邊切于點，連接，
則，，，
，，
在中，，
令外接圓半徑為，由正弦定理得.
故選：A
【變式4】設I為的內心，若，，，則
【答案】
【解析】解法1：不難發現，是以B為直角頂點的直角三角形，如圖，設圓I與 分別相切于點D E F，設圓I的半徑為r，則，顯然四邊形是正方形，所以，從而，，易證，，所以，，故，從而，，
.
故答案為: .
解法2：按解法1求得的內切圓半徑，由圖可知在上的投影即為，
所以.

故答案為: .
【例3】在△ABC中，，若O為內心，且滿足，則x+y的最大值為 ．
【答案】
【解析】延長AO交BC于D，設BC與圓O相切于點E，AC與圓O相切于點F，則OE＝OF，則，
設，
因為B、C、D三點共線，
所以，即
，
因為，，所以，
所以．
故答案是：
題型六、三角形的垂心
【例1】若是內一點，且，則為的（　　）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．內心
【答案】A
【解析】因為，
所以，
即，
則，，
即是三條高線的交點，為的垂心.
故選：A.
【變式1】已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的( )．
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】D
【解析】原式為
等式兩邊同時乘，得
，∴
【變式2】若為所在平面內一點，且
則點是的( )
A．垂心 B．外心 C．內心 D．重心
【答案】A
【解析】
得,即，同理可得
【例2】已知的垂心為點，面積為15，且，則 ；若，則 .
【答案】30 25
【解析】如圖，
是的邊上的高，則；設，
因為，面積為15，所以，即；
.
由第一空可知，所以；
所以，由可得，即；
因為，
所以；
故答案為：30 25.
【變式1】若為的垂心，，則＝ ， ．
【答案】 或
【解析】因為，所以，
設為的中點，為的中點，則，，
所以，
所以為的中位線，且，所以為的中點，所以，
又，，所以，所以，
所以，
同理可得，
所以，，
又為的垂心，，
設，，則，，
所以，即，所以，則
所以，所以，
故答案為：；
【變式2】已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則 .
【答案】/
【解析】因為，
所以，同理，
由H為△ABC的垂心，得，即，
可知，即，
同理有，即，可知，即，
所以， ，又，
所以．
【變式3】已知H為的垂心，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依題意，，同理．
由H為△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，解得，
，又，
所以．
故選：C．
【變式4】在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中點，H是的垂心，則 .
【答案】
【解析】因為H是的垂心，可得，所以.
又因為D是BC的中點，可得AD是中線，所以.
從而
.
故答案為：
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微專題03 奔馳定理與三角形的“四心”
題型一：奔馳定理與三角形面積比例問題
題型二：奔馳定理與三角形“四心”關系
題型三：三角形的重心
題型四：三角形的外心
題型五：三角形的內心
題型六：三角形的垂心
1.奔馳定理
對于內一點，記，，，則
.
因該定理圖案形似奔馳車標，所以起名“奔馳定理”.
證明：延長交于點，
容易得到，且，
代入化簡得，
同理，
，
所以
即得證.
2.奔馳定理與三角形“四心”的關系
(1)重心：三角形中線的交點，重心將中線長度分成2：1．
當點是三角形的重心時，容易得到，
代入奔馳定理化簡得到， .
(2)外心：三角形邊的中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．
當點是三角形的外心時，由圓的性質可得，，
由面積公式，，
所以
(3)內心：三角形角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．
當點是三角形的內心時，由圓的性質可得,
由面積公式，，
所以，
又根據正弦定理，
所以也可以寫成.
(4)垂心：三角形高線的交點，高線與對應邊垂直．
當點是三角形的垂心時，根據圖形，可知，
所以
同理可得，所以
代入奔馳定理，即得：
．
3.三角形重心的向量表示
（1）；
（2）；
（3）動點滿足，，則的軌跡一定通過的重心
（4）動點滿足，，則動點的軌跡一定通過△ABC的重心
（5）重心坐標為：.
4.三角形外心的向量表示
（1）；
（2）動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的外心；
（3）若，則是的外心；
（4）；
（5）.
5.三角形內心的向量表示
（1）
（2）
（3）動點滿足，則的軌跡一定通過△ABC的內心
（4）
6.三角形垂心的向量表示
（1）
（2）
（3）動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的垂心
（4）
（5）.
題型一：奔馳定理
【例1】已知點是所在平面內一點，滿足， ，則_______
【變式1】已知點是所在平面內一點，滿足，則與面積之比是
【變式2】設為所在平面上一點，且滿足．若的面積為8，則的面積為___________．
【變式3】已知是內部的一點，，，所對的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式4】已知是三角形內部一點，且，則的面積與的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式5】若點是所在平面內的一點，點是邊靠近的三等分點，且滿足，則與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【變式6】平面上有及其內一點O，構成如圖所示圖形，若將，， 的面積分別記作，，，則有關系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結論稱為“奔馳定理”．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
題型二：奔馳定理與三角形四心的關系
【例1】（多選題）（2024·高一單元測試）如圖，為內任意一點，角的對邊分別為，則總有優美等式成立,此結論稱為三角形中的奔馳定理.由此判斷以下命題中，正確的有（ ）
A．若是的重心，則有
B．若，則是的內心
C．若，則
D．若是的外心，且，則
【變式1】如圖，已知是的垂心，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】在面上有及內一點滿足關系式：即稱為經典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現有，則為的 心.
【變式3】如圖，已知是的垂心，且，則( )
A． B． C． D．
【變式4】奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內的一點，，，是的三個內角，且點滿足，則必有（ ）
A．
B．
C．
D．
題型三、三角形的重心
【例1】若所在平面內一點P滿足，則P是的（ ）．
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【變式1】O是平面內一定點，A，B，C是平面內不共線三點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心
【變式2】O是△ABC所在平面內一點，動點P滿足，
，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（　　）
A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心
【變式3】若O是△ABC所在平面上一定點，H，N，Q在△ABC所在平面內，動點P滿足， ，則直線AP一定經過的____心，點H滿足，則H是的____心，點N滿足，則N是的____心，點Q滿足，則Q是的____心，下列選項正確的是（ ）
A．外心，內心，重心，垂心 B．內心，外心，重心，垂心
C．內心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，內心
【變式4】（多選題）點為△所在平面內一點，則（ ）
A．若，則點為△的重心
B．若，則點為△的垂心
C．若．則點為△的垂心
D．在中，設，那么動點的軌跡必通過△的外心
【例2】已知是的重心，若，則（ ）
A．1 B． C． D．
【變式1】如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點G，點G稱為的重心，那么是（ ）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
【變式2】已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，點P滿足，則與面積比為（ ）
A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2
【變式3】記的內角的對邊分別為，若O為的重心，，則 .
【例3】已知G為△ABC的重心（三條中線的交點），，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】如圖，經過的重心G的直線與分別交于點，，設，，則的值為 ．
【變式2】在中，過重心的直線交邊于點，交邊于點（、為不同兩點），且，則的最小值為 .
題型四、三角形的外心
【例1】在中，動點P滿足，則P點軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【變式1】已知是所在平面上一點，若，則是的( )．
A．重心 B．內心 C．外心 D．垂心
【變式2】是所在平面上一點，若，則是的( )．
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【變式3】已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定經過的 ．(從“重心”，“外心”，“內心”，“垂心”中選擇一個填寫）
【變式4】（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．若A，B，C，D四點在同一條直線上，且，則
B．在中，若O點滿足，則O點是的重心
C．若，把右平移2個單位，得到的向量的坐標為
D．在中，若，則P點的軌跡經過的內心
【例2】已知點O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點，則 ．
【變式1】已知中，，，，為的外心，若，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【變式2】已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若，且，則△ABC的面積為______.
【變式3】已知點O是△ABC的外心，若，則cos∠BAC=__________.
題型五、三角形的內心
【例1】已知點O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P的軌跡一定通過△ABC的( )
A.外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【變式1】已知所在的平面上的動點滿足，則直線一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【變式2】（多選題）點O在所在的平面內，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則點O為的垂心
B．若，則點O為 的外心
C．若，則1
D．若且，則點O是的內心
【例2】已知點O是的內心，，，則（ ）
A． B． C．2 D．
【變式1】設為的內心，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】已知在中，，，設是的內心，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】已知為的內心，且滿足，若內切圓半徑為2，則其外接圓半徑的大小為（ ）
A． B．3 C． D．4
【變式4】設I為的內心，若，，，則
【例3】在△ABC中，，若O為內心，且滿足，則x+y的最大值為 ．
題型六、三角形的垂心
【例1】若是內一點，且，則為的（　　）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．內心
【變式1】已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的( )．
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【變式2】若為所在平面內一點，且
則點是的( )
A．垂心 B．外心 C．內心 D．重心
【例2】已知的垂心為點，面積為15，且，則 ；若，則 .
【變式1】若為的垂心，，則＝ ， ．
【變式2】已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則 .
【變式3】已知H為的垂心，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式4】在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中點，H是的垂心，則 .
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