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重難點突破02 函數的綜合應用
目錄
1、高考中考查函數的內容主要是以綜合題的形式出現，通常是函數與數列的綜合、函數與不等式的綜合、函數與導數的綜合及函數的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數的性質，把函數的性質與數列、不等式、導數等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數圖像的各種變換形式（如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數的概念與性質；掌握指數、對數式大小比較的常見方法；掌握指數、對數方程和不等式的解法；掌握導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導數的幾何意義，特別是應用導數研究函數的單調性、最值等．
2、函數的圖象與性質
分奇、偶兩種情況考慮：
比如圖（1）函數，圖（2）函數
（1）當為奇數時，函數的圖象是一個“”型，且在“最中間的點”取最小值；
（2）當為偶數時，函數的圖象是一個平底型，且在“最中間水平線段”取最小值；
若為等差數列的項時，奇數的圖象關于直線對稱，偶數的圖象關于直線對稱．
3、若為上的連續單峰函數，且為極值點，則當變化時，的最大值的最小值為，當且僅當時取得．
題型一：函數與數列的綜合
例1．（2023·全國·高三專題練習）已知數列，滿足，，設數列的前項和為，則以下結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，把代入遞推可得：，
令，，則，在單調遞增，
，即當時，恒有成立，
，，，故選項錯誤；
又，選項錯誤；
，，
令，，則，函數在，上遞減，，
，故選項正確；
又由可得，，（當且僅當時取“ “，可得，
，故選項錯誤，
故選．
例2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，數列的前項和為，且滿足，則下列有關數列的敘述正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，解得或，
由零點存在性定理得，
當時，，數列單調遞減，
，，同理，，
迭代下去，可得，數列單調遞減，
故選項和選項都錯誤；
又，
，故錯誤；
對于，，
而，
，故正確．
故選．
例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，數列的前項和為，且滿足，，則下列有關數列的敘述正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】對于選項，，故錯誤；
對于選項，由 知，，
故 為非負數列，又，
設，則，
易知 在，單調遞減，在上單調遞增，
所以，
又，所以，從而，
所以 為遞減數列，且，故錯誤；
對于選項，
因為數列 為遞減數列，當 時，有，
，
故正確；對于選項，因為，而，故錯誤．故選．
變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足：，且，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C． D．
【答案】B
【解析】，故，．
，故且，于是與同號，
即．
對選項A：若，則，則，
，所以，錯誤；
對選項B：，，則，即，
于是，即，數列單調遞減，，
，，故，即，
，故 ，
故，故，正確；
對選項C：考慮函數，，，
函數單調遞增，結合的圖像，如圖所示：

由圖可知當 時，數列遞減，
，所以，即，不正確；
對選項D：設，則，，
，即，
等價于，化簡得，
而顯然不恒成立，不正確；
故選：B．
變式2．（2023·陜西渭南·統考二模）已知函數，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數列，對于，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C．數列是遞增數列 D．
【答案】D
【解析】的極值點為在上的變號零點.
即為函數與函數圖像在交點的橫坐標.
又注意到時，，時，，
，時，.
據此可將兩函數圖像畫在同一坐標系中，如下圖所示.
A選項，注意到時，，，.
結合圖像可知當，.
當，.故A錯誤；
B選項，由圖像可知，則，故B錯誤；
C選項，表示兩點與間距離，由圖像可知，
隨著n的增大，兩點間距離越來越近，即為遞減數列，故C錯誤；
D選項，由A選項分析可知，，
又結合圖像可知，當時，，即此時，
得在上單調遞增，
則，故D正確.
故選：D
變式3．（2023·上海楊浦·高三復旦附中?？奸_學考試）無窮數列滿足：，且對任意的正整數n，均有，則下列說法正確的是（ ）
A．數列為嚴格減數列 B．存在正整數n，使得
C．數列中存在某一項為最大項 D．存在正整數n，使得
【答案】D
【解析】因為，所以，所以，
由可得，則，
則有，
設函數，
，
當時，，當時，，
所以在單調遞增，單調遞減，
所以，
因為，所以
以此類推，對任意，故B錯誤；
所以，故A錯誤；
因為，所以數列中不存在某一項為最大項，C錯誤；
因為，所以，
，
所以存在正整數n，使得，D正確.
題型二：函數與不等式的綜合
例4．（2023·全國·高三專題練習）關于x的不等式，解集為___________.
【答案】
【解析】由題設，，而在R上遞增，
當即時，，原不等式不成立；
當即時，，原不等式恒成立.
綜上，解集為.
故答案為：
例5．（2023·全國·高三專題練習）意大利數學家斐波那契年~年）以兔子繁殖數量為例，引人數列：，該數列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數列稱為斐波那契數列，又稱“兔子數列”，其通項公式為．設是不等式的正整數解，則的最小值為__________．
【答案】8
【解析】由，得，
得，得，
得，，
所以，
令，則數列即為斐波那契數列，
，則，顯然數列為遞增數列且，所以數列亦為遞增數列，
由，得，，，，
，，
因為，，
所以
使得成立的的最小值為8．
故答案為：.
例6．（2023·遼寧·高三?？茧A段練習）已知函數，若不等式對任意的恒成立，則實數的最小值為______________.
【答案】
【解析】因為，
所以圖象關于點對稱，
又，
所以在上單調遞增，
等價于，
即恒成立，
所以，即恒成立，
令，可得，
而，當且僅當時取等號，
所以，即實數的最小值為.
故答案為：.
變式4．（2023·全國·模擬預測）已知函數是定義域為R的函數，，對任意，，均有，已知a，b為關于x的方程的兩個解，則關于t的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得且函數關于點對稱．
由對任意，，均有，
可知函數在上單調遞增．
又因為函數的定義域為R，
所以函數在R上單調遞增．
因為a，b為關于x的方程的兩個解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，則，
則由，得，
所以．
綜上，t 的取值范圍是.
故選：D．
題型三：函數中的創新題
例7．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）帕德近似是法國數學家亨利·帕德發明的用有理多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數，，函數在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：
(1)求實數，的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
【解析】（1）因為，所以，，
，則，，
由題意知，，，
所以，解得，.
（2）由（1）知，即證，
令，則且，
即證時，
記，，
則，
所以在上單調遞增，在上單調遞增，
當時，即，即成立，
當時，即，即成立，
綜上可得時，
所以成立，即成立.
（3）由題意知，欲使得不等式成立，
則至少有，即或，
首先考慮，該不等式等價于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范圍是，
再考慮，該不等式等價于，
記，，
則，所以當時，時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即，，
所以，，
當時由，可知成立，
當時由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范圍是，
綜上可得不等式的解集為.
例8．（2023·上海黃浦·上海市敬業中學?？既＃┒x：如果函數和的圖像上分別存在點M和N關于x軸對稱，則稱函數和具有C關系．
(1)判斷函數和是否具有C關系；
(2)若函數和不具有C關系，求實數a的取值范圍；
(3)若函數和在區間上具有C關系，求實數m的取值范圍．
【解析】（1）與是具有C關系，理由如下：
根據定義，若與具有C關系，則在與的定義域的交集上存在，使得，
因為，，，
所以，
令，即，解得，
所以與具有C關系.
（2）令，
因為，，所以，
令，則，故，
因為與不具有C關系，所以在上恒為負或恒為正，
又因為開口向下，所以在上恒為負，即在上恒成立，
當時，顯然成立；
當時，在上恒成立，
因為，當且僅當，即時，等號成立，
所以，所以，
綜上：，即.
（3）因為和，
令，則，
因為與在上具有C關系，所以在上存在零點，
因為，
當且時，因為，所以，
所以在上單調遞增，則，
此時在上不存在零點，不滿足題意；
當時，顯然當時，，
當時，因為在上單調遞增，且，
故在上存在唯一零點，設為，則，
所以當；當；又當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上存在唯一極小值點，
因為，所以，
又因為，所以在上存在唯一零點，
所以函數與在上具有C關系，
綜上：，即.
例9．（2023·重慶·高三統考階段練習）懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.年萊布尼茲和伯努利推導出某鏈線的方程為，其中為參數.當時，該方程就是雙曲余弦函數，類似的我們有雙曲正弦函數.
(1)從下列三個結論中選擇一個進行證明，并求函數的最小值；
①；
②；
③.
(2)求證：，.
【解析】（1）證明：選①，；
選②，；
選③，.
，令，
因為函數、均為上的增函數，故函數也為上的增函數，
故，則，所以，
所以，當且僅當時取“”，
所以的最小值為.
（2）證明：，
，
當時，，，所以，
所以，所以成立；
當時，則，且正弦函數在上為增函數，
，所以，，
所以成立，
綜上，，.
變式5．（2023·廣東深圳·高三深圳市南山區華僑城中學?？茧A段練習）布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續實函數，存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點"函數，而稱為該函數的一個不動點． 現新定義： 若滿足，則稱為的次不動點．
(1)判斷函數是否是“不動點”函數，若是，求出其不動點； 若不是，請說明理由
(2)已知函數，若是的次不動點，求實數的值：
(3)若函數在上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數的取值范圍．
【解析】（1）依題意，設為的不動點，即，于是得，解得或，
所以 是“不動點” 函數，不動點是2和.
（2）因是“次不動點”函數，依題意有，即，顯然，解得，
所以實數的值是.
（3）設分別是函數在上的不動點和次不動點，且唯一，
由得：，即，整理得：，
令，顯然函數在上單調遞增，則，，則，
由得：，即，整理得：，
令，顯然函數在上單調遞增，，，則，
綜上得：，
所以實數的取值范圍.
題型四：最大值的最小值問題（平口單峰函數、鉛錘距離）
例10．（2023·浙江紹興·高三浙江省柯橋中學?？奸_學考試）已知函數，對于任意的實數a，b，總存在，使得成立，則當m取最大值時，（ ）
A．7 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
設，則，
在上單調遞增，在上單調遞減，
，
設，
畫出函數的圖像如圖
對任意的實數a，b，總存在，使得成立，
等價于求最大值中的最小值，
由圖像可知當時，取得最大值2，此時，
故選：A
例11．（2023·湖北·高三校聯考階段練習）設函數，若對任意的實數a，b，總存在使得成立，則實數的最大值為（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】C
【解析】由已知得
設構造函數滿足，即，解得，
則，令，
則函數可以理解為函數與函數在橫坐標相等時，縱坐標的豎直距離，
∵，且（當且僅當時取等號），
∴若設直線的方程為，直線的方程為，由此可知當，直線位于直線和直線中間時，縱坐標的豎直距離取得最大值中的最小值，故，
所以實數的最大值為.
故選：.
例12．（2023·全國·高三專題練習）設函數，若對任意的正實數，總存在，使得，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對任意的正實數，總存在，，使得，，．
令，，函數在，單調遞減，
∴（1），（4）．
①時，，則．
②時，，，則．
③時，，，則．
④時，，則．
綜上①②③④可得：，即 ．
實數的取值范圍為，．
故選：D．
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若對任意的實數a，b，總存在，使得成立，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由存在，使得成立，故，
又對任意的實數a，b，，則，
可看作橫坐標相同時，函數
與函數圖象上的縱向距離的最大值中的最小值，
又，作示意圖如圖所示：
設，則直線的方程，設與相切，
則，得，有，
得或，由圖知，切點，則，
當直線與，平行且兩直線距離相等時，即恰好處于正中間時，
函數與圖象上的縱向距離能取到最大值中的最小值，
此時，，故.
故選：B
變式7．（2023·高一課時練習）已知函數，當時，設的最大值為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】函數，當,時，的最大值為，
可得，，，
可得,,,
，
即，即有，則的最小值為，
故選：B
變式8．（2023·江西宜春·校聯考模擬預測）已知函數，且，滿足，當時，設函數的最大值為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，則，
當時，，為減函數，
當時，，為增函數，所以，
作出的圖象如下，
令，即，得，
且，顯然，
在上，當時，，
當時，，當時取等號；
當時， ，所以，
此時點到直線的距離都是，
當時，三點中中至少有一個點滿足
，所以，綜上所述，，
故選：D.
變式9．（2023·上海虹口·高三上海市復興高級中學校考期中）若a、，且對于時，不等式均成立，則實數對_________．
【答案】
【解析】對于時，不等式均成立，
即恒成立.
令，，
則表示圓心為，半徑為的圓在上的圓??；
表示圓心為，半徑為的圓在上的圓弧，如下所示：
根據題意，要滿足題意，其圖象需在圓弧以及圓弧之間，
數形結合可知：連接后所形成的直線恰好滿足題意，且唯一.
其斜率為，故其方程為，
故實數對.
為嚴謹，下證直線與圓相切，
圓心到直線的距離，
其與半徑1相等，故圓與直線相切，即證.
故答案為：.
題型五：倍值函數
例13．（2023·全國·高三專題練習）函數的定義域為，若滿足：①在內是單調函數；②存在使得在上的值域為，則稱函數為“成功函數”．若函數（其中，且）是“成功函數”，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為、的單調性相同，
所以為定義域上的增函數，
因為存在使得在上的值域為，
所以，即有兩解，
即在R上有兩個不相等的實數根，
令，則在上有兩個不同的解，
所以，解得，
故選：D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中學?？计谀┰O函數的定義域為，若存在閉區間，使得函數滿足：（1）在上是單調函數；（2）在上的值域是，則稱區間是函數的“和諧區間”，下列結論錯誤的是
A．函數存在“和諧區間”
B．函數不存在“和諧區間”
C．函數存在“和諧區間”
D．函數（，）不存在“和諧區間”
【答案】D
【解析】函數中存在“和諧區間”,則①在內是單調函數；②或,若,若存在“和諧區間”,則此時函數單調遞增,則由,得存在“和諧區間”正確.若,若存在“和諧區間”,則此時函數單調遞增,則由,得,即是方程的兩個不等的實根,構建函數,所以函數在上單調減,在上單調增,函數在處取得極小值，且為最小值,,無解,故函數不存在“和諧區間”,正確.若函數,,若存在“和諧區間”,則由,得,即存在“和諧區間”,正確.若函數,不妨設,則函數定義域內為單調增函數,若存在“和諧區間”, 則由,得,即是方程的兩個根,即是方程的兩個根,由于該方程有兩個不等的正根，故存在“和諧區間”,結論錯誤,故選D.
例15．（2023·安徽·高三統考期末）函數的定義域為，若存在閉區間，使得函數滿足：①在內是單調函數；②在上的值域為，則稱區間為的“倍值區間”．下列函數中存在“倍值區間”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①③
【答案】C
【解析】函數存在“倍值區間”，即函數的圖像與直線有交點，
與直線有交點是（0，0），（2,4）；對于，構造函數；所以沒有零點，即與直線沒有交點；
與直線的交點是（0，0），（1,2）.解方程即，當無解；有兩解.故
不滿足題意.選C.
變式10．（2023·全國·高三專題練習）函數的定義域為，對給定的正數，若存在閉區間，使得函數滿足：①在內是單調函數；②在上的值域為，則稱區間為的級“理想區間”.下列結論錯誤的是（ ）
A．函數（）存在1級“理想區間”
B．函數（）不存在2級“理想區間”
C．函數（）存在3級“理想區間”
D．函數，不存在4級“理想區間”
【答案】D
【解析】A中，當時，在上是單調增函數，且在上的值域是，
所以存在1級“理想區間”，所以A正確；
B中，當時，在上是單調增函數，且在上的值域是，所以不存在2級“理想區間”，所以B正確；
C中，由，得，當時，，所以在上為增函數，假設存在，使得，則有，即，由，得或，所以當時，滿足條件，即區間為，所以C正確；
D中，若存在“4級理想區間” ，則是方程的兩個根，由和在內有3個交點，如圖所示，所以該方程存在兩個不等的根，故存在“4級理想區間” ，所以D錯誤，
故選：D
變式11．（2023·全國·高三專題練習）設函數的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數”.若函數為“倍縮函數”，則實數t的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為函數為“倍縮函數”，且為遞增函數
所以存在，使在上的值域為
則 ，由此可知等價于 有兩個不等實數根
令
則，令
解得
代入方程得
解得，因為有兩個不等的實數根
所以t的取值范圍為
所以選B
題型六：函數不動點問題
例16．（2023·廣西柳州·統考模擬預測）設函數（，為自然對數的底數），若曲線上存在點使成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由題意， 存在，使成立，
即存在，使成立，
所以，即，
所以
所以存在，使與有交點，
對，，求導得，
設，則，
令，即；令，即，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以在上單調遞增，
又，
，
要使與有交點，則，
所以的取值范圍是.
故選：A.
例17．（2023·全國·高三專題練習）設函數，若曲線是自然對數的底數）上存在點使得，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為 ,所以 在 上有解
因為 ,( 易證 ) ,所以函數 在 上單調遞增,因此由得 在 上有解，即 ,因為 ，選C.
例18．（2023·江蘇·高二專題練習）若存在一個實數，使得成立，則稱為函數的一個不動點.設函數為自然對數的底數，定義在R上的連續函數滿足，且當時，若存在，且為函數的一個不動點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意知，令，，，為奇函數，
，且當時，，
當時，，單調遞減，在R上單調遞減，
由，得，即，
，即，，
為函數的一個不動點，，即，
，即關于x的方程在上有解.
令，，則，
在上單調遞減，，
要使關于x的方程在上有解，則，即實數a的取值范圍為.
故選：B
變式12．（2023·全國·高三專題練習）設函數（為自然對數的底數），若曲線上存在點使得，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：由題意可得，
，
而由可知，
當時，＝為增函數，
∴時，．
∴ 不存在使成立，故A，B錯；
當時，＝，
當時，只有時才有意義，而，故C錯．故選D．
法二：顯然，函數是增函數，，由題意可得，
，而由可知，
于是，問題轉化為在上有解．
由，得，分離變量，得，
因為，，
所以，函數在上是增函數，于是有，
即，應選D．
變式13．（2023·全國·高三專題練習）設函數（），為自然對數的底數，若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵曲線上存在點
∴
函數（）在上是增函數，根據單調性可證
即在上有解，分離參數，，，根據是增函數可知，只需故選A.
題型七：函數的旋轉問題
例19．（2023·江蘇蘇州·高三蘇州中學校考階段練習）將函數f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉角θ(θ∈(0，α])，得到曲線C，若對于每一個旋轉角θ，曲線C都仍然是一個函數的圖象，則α的最大值為（ ）
A．π B． C． D．
【答案】D
【解析】函數的圖像繞坐標原點逆時針方向連續旋轉時，
當且僅當其任意切線都不經過y軸時，其圖像都仍然是一個函數的圖像.
因為在是減函數且，當且僅當時等號成立，
故函數的圖像的切線中，
在處切線的傾斜角最大，其值為.
由此可知－.
故選.
例20．（2023·上海長寧·高三上海市延安中學校考期中）設是含數的有限實數集，是定義在上的函數，若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則在以下各項中，的可能取值只能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得到：問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合．
我們可以通過代入和賦值的方法當f（1）=，，0時，此時得到的圓心角為，，0，然而此時x=0或者x=1時，都有2個y與之對應，而我們知道函數的定義就是要求一個x只能對應一個y，因此只有當x=，此時旋轉，此時滿足一個x只會對應一個y，故選B．
例21．（2023·全國·高三專題練習）雙曲線繞坐標原點O旋轉適當角度可以成為函數f（x）的圖象，關于此函數f（x）有如下四個命題，其中真命題的個數為（ ）
①f（x）是奇函數；
②f（x）的圖象過點或；
③f（x）的值域是；
④函數y＝f（x）－x有兩個零點．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】C
【解析】
雙曲線關于坐標原點對稱，可得旋轉后得到的函數的圖象關于原點對稱，所以為奇函數，故①正確；雙曲線的頂點為，漸近線方程為，可得的圖象漸近線為和，圖象關于直線對稱，所以的圖象過點或，由圖象的對稱性可得，逆時針旋轉60度，位于一、三象限，按順時針旋轉60度，位于二、四象限；故②正確；逆時針旋轉60度，位于一、三象限，由圖象可得頂點為或，不是極值點，則的值域不是，順時針旋轉60度，位于二、四象限，由圖象的對稱性知的值域不是，故③錯誤；當的圖象位于一、三象限時，的圖象與直線有2個交點，函數有兩個零點，當的圖象位于二、四象限時，的圖象與直線沒有交點，函數沒有零點，故④錯誤，故選；C.
變式14．（2023·全國·高三專題練習）將函數的圖像繞著原點逆時針旋轉角得到曲線，當時都能使成為某個函數的圖像，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在原點處的切線斜率為，切線方程為
當繞著原點逆時針方向旋轉時，若旋轉角大于，則旋轉所成的圖像與軸就會有兩個交點，則曲線不再是函數的圖像.所以的最大值為.
故選：B.
題型八：函數的伸縮變換問題
例22．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學?？计谀┒x域為的函數滿足，當時，.若時，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當x∈(2,3),則x 2∈(0,1)，
則f(x)=2f(x 2) 1=2(x 2)2 2(x 2) 1，
即為f(x)=2x2 10x+11，
當x∈[3，4]，則x 2∈[1，2]，
則f(x)=2f(x 2) 1=.
當x∈(0,1)時,當x=時,f(x)取得最小值,且為 ；
當x∈[1,2]時,當x=2時,f(x)取得最小值,且為；
當x∈(2,3)時,當x=時,f(x)取得最小值,且為 ；
當x∈[3,4]時,當x=4時,f(x)取得最小值，且為0.
綜上可得,f(x)在(0,4]的最小值為 .
若x∈(0,4]時, 恒成立，
則有.
解得.
當x∈(0,2)時,f(x)的最大值為1,
當x∈(2,3)時,f(x)∈[ , 1)，
當x∈[3,4]時,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值為1.
由，即為，解得，
綜上，即有實數t的取值范圍是.
故選：C.
例23．（2023·全國·高三專題練習）定義域為的函數滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為當時，不等式恒成立，所以，
當時，
當時，，當時， ，因此當時，，選B.
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知定義域為R的函數滿足，當時，，設在上的最大值為則數列的前n項和的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】時，，最大值為，
時，，易知時，遞增，時，遞減，因此最大值為，
綜上，，，即，
又，即，
當時，，∴，
∴是等比數列，公比為，
∴．
故選：D．
變式15．（2023·甘肅·高三西北師大附中階段練習）定義域為R的函數滿足，當時， ，若時，恒成立，則實數的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當時，的取值范圍是；
當時，的取值范圍是，
所以當時，的取值范圍是,
因為函數滿足，所以，
又當時,,
故的取值范圍是，
所以時，，
故，解得，
所以實數的取值范圍是，
故選：D.
題型九：V型函數和平底函數
例25．（2023·全國·高三專題練習）已知a1，a2，a3與b1，b2，b3是6個不同的實數，若關于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，則集合A中，最多有__個元素．
【答案】1
【解析】令f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g(x)＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|，
將關于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的個數的問題轉化為兩個函數圖象交點個數的問題
不妨令a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3，
由于f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝，
g(x)＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|＝，
考查兩個函數，可以看到每個函數都是由兩條射線與兩段折線所組成的，且兩條射線的斜率對應相等，兩條線段的斜率對應相等．
當a1，a2，a3的和與b1，b2，b3的和相等時，此時兩個函數射線部分完全重合，這與題設中方程的解集是有限集矛盾
不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3＜b1+b2+b3，﹣a1﹣a2﹣a3＞﹣b1﹣b2﹣b3，
兩個函數圖象射線部分端點上下位置不同，即若左邊f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射線端點在上，右邊射線端點一定在下，反之亦有可能．
不妨認為左邊f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射線端點在上，右邊射線端點一定在下，且射線互相平行，中間線段也對應平行，圖象只能如圖：
故兩函數圖象只能有一個交點，即方程的解集是有限集時，最多有一個元素，
故答案為：1．
例26．（浙江省衢州市2022-2023學年高三數學試題）已知等差數列滿足：，則的最大值為（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
【答案】C
【解析】
不為常數列，且數列的項數為偶數，設為
則，一定存在正整數k使得或
不妨設，即，
從而得，數列為單調遞增數列，
，且，
，同理
即，
根據等差數列的性質，
所以n的最大值為12，選項C正確，選項ABD錯誤
故選：C.
例27．（上海市川沙中學2022-2023學年高三第二學期數學試題）等差數列，滿足，則（ ）
A．的最大值為50 B．的最小值為50
C．的最大值為51 D．的最小值為51
【答案】A
【解析】為等差數列，則使，所以數列中的項一定有正有負，不妨設，因為為定值，故設，且，解得.若且，則，同理若，則.所以，所以數列的項數為，所以，由于，所以，解得，故，故選A.
變式16．（上海市青浦區2023屆高三二模數學試題）等差數列，滿足，則（　?。?br/>A．的最大值是50 B．的最小值是50
C．的最大值是51 D．的最小值是51
【答案】A
【解析】時，滿足條件，所以滿足條件，即最小值為2，舍去B,D.
要使得取最大值，則項數n為偶數，
設，等差數列的公差為，首項為，不妨設，
則，且，由可得，
所以
,
因為，所以，所以，而，
所以，故.
故選A
變式17．（浙江省金麗衢十二校2022-2023學年高三第一次聯考數學試題）設等差數列，，…，（，)的公差為，滿足，則下列說法正確的是
A． B．的值可能為奇數
C．存在，滿足 D．的可能取值為
【答案】A
【解析】因為
所以
令
則 （）
①當時，，不滿足（），舍去．
②當時，由（）得為平底型，故為偶數 ．
的大致圖像為：
則
所以，故A正確．
由
當 時
當 時
故不存在，滿足，C錯
由于 所以，故D錯
③當時，令
由于 的圖像與的圖像關于軸對稱，故只需研究
故令
因為
所以
由②知為平底型，故為偶數，故B錯
令
所以 ，故A正確
由②知，不存在，滿足，故C錯
由②知，，故D錯
綜上所述，A正確,BCD錯誤
故選A.重難點突破02 函數的綜合應用
目錄
1、高考中考查函數的內容主要是以綜合題的形式出現，通常是函數與數列的綜合、函數與不等式的綜合、函數與導數的綜合及函數的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數的性質，把函數的性質與數列、不等式、導數等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數圖像的各種變換形式（如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數的概念與性質；掌握指數、對數式大小比較的常見方法；掌握指數、對數方程和不等式的解法；掌握導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導數的幾何意義，特別是應用導數研究函數的單調性、最值等．
2、函數的圖象與性質
分奇、偶兩種情況考慮：
比如圖（1）函數，圖（2）函數
（1）當為奇數時，函數的圖象是一個“”型，且在“最中間的點”取最小值；
（2）當為偶數時，函數的圖象是一個平底型，且在“最中間水平線段”取最小值；
若為等差數列的項時，奇數的圖象關于直線對稱，偶數的圖象關于直線對稱．
3、若為上的連續單峰函數，且為極值點，則當變化時，的最大值的最小值為，當且僅當時取得．
題型一：函數與數列的綜合
例1．（2023·全國·高三專題練習）已知數列，滿足，，設數列的前項和為，則以下結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，數列的前項和為，且滿足，則下列有關數列的敘述正確的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，數列的前項和為，且滿足，，則下列有關數列的敘述正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足：，且，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C． D．
變式2．（2023·陜西渭南·統考二模）已知函數，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數列，對于，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C．數列是遞增數列 D．
變式3．（2023·上海楊浦·高三復旦附中?？奸_學考試）無窮數列滿足：，且對任意的正整數n，均有，則下列說法正確的是（ ）
A．數列為嚴格減數列 B．存在正整數n，使得
C．數列中存在某一項為最大項 D．存在正整數n，使得
題型二：函數與不等式的綜合
例4．（2023·全國·高三專題練習）關于x的不等式，解集為___________.
例5．（2023·全國·高三專題練習）意大利數學家斐波那契年~年）以兔子繁殖數量為例，引人數列：，該數列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數列稱為斐波那契數列，又稱“兔子數列”，其通項公式為．設是不等式的正整數解，則的最小值為__________．
例6．（2023·遼寧·高三校考階段練習）已知函數，若不等式對任意的恒成立，則實數的最小值為______________.
變式4．（2023·全國·模擬預測）已知函數是定義域為R的函數，，對任意，，均有，已知a，b為關于x的方程的兩個解，則關于t的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
題型三：函數中的創新題
例7．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）帕德近似是法國數學家亨利·帕德發明的用有理多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數，，函數在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：
(1)求實數，的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
例8．（2023·上海黃浦·上海市敬業中學?？既＃┒x：如果函數和的圖像上分別存在點M和N關于x軸對稱，則稱函數和具有C關系．
(1)判斷函數和是否具有C關系；
(2)若函數和不具有C關系，求實數a的取值范圍；
(3)若函數和在區間上具有C關系，求實數m的取值范圍．
例9．（2023·重慶·高三統考階段練習）懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.年萊布尼茲和伯努利推導出某鏈線的方程為，其中為參數.當時，該方程就是雙曲余弦函數，類似的我們有雙曲正弦函數.
(1)從下列三個結論中選擇一個進行證明，并求函數的最小值；
①；
②；
③.
(2)求證：，.
變式5．（2023·廣東深圳·高三深圳市南山區華僑城中學?？茧A段練習）布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續實函數，存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點"函數，而稱為該函數的一個不動點． 現新定義： 若滿足，則稱為的次不動點．
(1)判斷函數是否是“不動點”函數，若是，求出其不動點； 若不是，請說明理由
(2)已知函數，若是的次不動點，求實數的值：
(3)若函數在上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數的取值范圍．
題型四：最大值的最小值問題（平口單峰函數、鉛錘距離）
例10．（2023·浙江紹興·高三浙江省柯橋中學?？奸_學考試）已知函數，對于任意的實數a，b，總存在，使得成立，則當m取最大值時，（ ）
A．7 B．4 C． D．
例11．（2023·湖北·高三校聯考階段練習）設函數，若對任意的實數a，b，總存在使得成立，則實數的最大值為（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
例12．（2023·全國·高三專題練習）設函數，若對任意的正實數，總存在，使得，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若對任意的實數a，b，總存在，使得成立，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2023·高一課時練習）已知函數，當時，設的最大值為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
變式8．（2023·江西宜春·校聯考模擬預測）已知函數，且，滿足，當時，設函數的最大值為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式9．（2023·上海虹口·高三上海市復興高級中學?？计谥校┤鬭、，且對于時，不等式均成立，則實數對_________．
題型五：倍值函數
例13．（2023·全國·高三專題練習）函數的定義域為，若滿足：①在內是單調函數；②存在使得在上的值域為，則稱函數為“成功函數”．若函數（其中，且）是“成功函數”，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中學校考期末）設函數的定義域為，若存在閉區間，使得函數滿足：（1）在上是單調函數；（2）在上的值域是，則稱區間是函數的“和諧區間”，下列結論錯誤的是
A．函數存在“和諧區間”
B．函數不存在“和諧區間”
C．函數存在“和諧區間”
D．函數（，）不存在“和諧區間”
例15．（2023·安徽·高三統考期末）函數的定義域為，若存在閉區間，使得函數滿足：①在內是單調函數；②在上的值域為，則稱區間為的“倍值區間”．下列函數中存在“倍值區間”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①③
變式10．（2023·全國·高三專題練習）函數的定義域為，對給定的正數，若存在閉區間，使得函數滿足：①在內是單調函數；②在上的值域為，則稱區間為的級“理想區間”.下列結論錯誤的是（ ）
A．函數（）存在1級“理想區間”
B．函數（）不存在2級“理想區間”
C．函數（）存在3級“理想區間”
D．函數，不存在4級“理想區間”
變式11．（2023·全國·高三專題練習）設函數的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數”.若函數為“倍縮函數”，則實數t的取值范圍是
A． B．
C． D．
題型六：函數不動點問題
例16．（2023·廣西柳州·統考模擬預測）設函數（，為自然對數的底數），若曲線上存在點使成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例17．（2023·全國·高三專題練習）設函數，若曲線是自然對數的底數）上存在點使得，則的取值范圍是
A． B． C． D．
例18．（2023·江蘇·高二專題練習）若存在一個實數，使得成立，則稱為函數的一個不動點.設函數為自然對數的底數，定義在R上的連續函數滿足，且當時，若存在，且為函數的一個不動點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式12．（2023·全國·高三專題練習）設函數（為自然對數的底數），若曲線上存在點使得，則的取值范圍是
A． B． C． D．
變式13．（2023·全國·高三專題練習）設函數（），為自然對數的底數，若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型七：函數的旋轉問題
例19．（2023·江蘇蘇州·高三蘇州中學?？茧A段練習）將函數f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉角θ(θ∈(0，α])，得到曲線C，若對于每一個旋轉角θ，曲線C都仍然是一個函數的圖象，則α的最大值為（ ）
A．π B． C． D．
例20．（2023·上海長寧·高三上海市延安中學?？计谥校┰O是含數的有限實數集，是定義在上的函數，若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則在以下各項中，的可能取值只能是（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023·全國·高三專題練習）雙曲線繞坐標原點O旋轉適當角度可以成為函數f（x）的圖象，關于此函數f（x）有如下四個命題，其中真命題的個數為（ ）
①f（x）是奇函數；
②f（x）的圖象過點或；
③f（x）的值域是；
④函數y＝f（x）－x有兩個零點．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
變式14．（2023·全國·高三專題練習）將函數的圖像繞著原點逆時針旋轉角得到曲線，當時都能使成為某個函數的圖像，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
題型八：函數的伸縮變換問題
例22．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學?？计谀┒x域為的函數滿足，當時，.若時，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例23．（2023·全國·高三專題練習）定義域為的函數滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知定義域為R的函數滿足，當時，，設在上的最大值為則數列的前n項和的值為（ ）
A． B． C． D．
變式15．（2023·甘肅·高三西北師大附中階段練習）定義域為R的函數滿足，當時， ，若時，恒成立，則實數的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
題型九：V型函數和平底函數
例25．（2023·全國·高三專題練習）已知a1，a2，a3與b1，b2，b3是6個不同的實數，若關于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，則集合A中，最多有__個元素．
例26．（浙江省衢州市2022-2023學年高三數學試題）已知等差數列滿足：，則的最大值為（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
例27．（上海市川沙中學2022-2023學年高三第二學期數學試題）等差數列，滿足，則（ ）
A．的最大值為50 B．的最小值為50
C．的最大值為51 D．的最小值為51
變式16．（上海市青浦區2023屆高三二模數學試題）等差數列，滿足，則（　?。?br/>A．的最大值是50 B．的最小值是50
C．的最大值是51 D．的最小值是51
變式17．（浙江省金麗衢十二校2022-2023學年高三第一次聯考數學試題）設等差數列，，…，（，)的公差為，滿足，則下列說法正確的是
A． B．的值可能為奇數
C．存在，滿足 D．的可能取值為

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