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重難點(diǎn)突破03 原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原問題
目錄
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
3、對(duì)于，構(gòu)造，
4、對(duì)于，構(gòu)造
5、對(duì)于，構(gòu)造，
6、對(duì)于，構(gòu)造
7、對(duì)于，構(gòu)造，
8、對(duì)于，構(gòu)造
9、對(duì)于，構(gòu)造，
10、對(duì)于，構(gòu)造
11、對(duì)于，構(gòu)造，
12、對(duì)于，構(gòu)造
13、對(duì)于，構(gòu)造
14、對(duì)于，構(gòu)造
15、；；；
16、；．
題型一：利用構(gòu)造型
例1．（安徽省馬鞍山第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月段考數(shù)學(xué)試題）已知的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，，則，
所以函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減.
又因?yàn)?，所以?br/>所以，解得或（舍）.
所以不等式的解集是.
故選：B.
例2．（河南省溫縣第一高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，則，即在上遞增，
又，則等價(jià)于，即，
所以，解得，原不等式解集為.
故選：C
例3．（黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月考前得分訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，，
即，
所以，即，
又，所以，故 ，
，可得，
在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減，
所以的極大值為.簡(jiǎn)圖如下：
所以，，.
故選：D.
變式1．（2023屆高三第七次百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（新高考））已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，
令，則當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)樵谏蠟榕己瘮?shù)，所以在上為奇函數(shù)，
故在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，可變形為，即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，故；
當(dāng)時(shí)，可變形為，即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，故無解.
綜上不等式的解集為.
故選：C.
變式2．（四川省綿陽市鹽亭中學(xué)2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則，所以在單調(diào)遞減，
不等式可以轉(zhuǎn)化為，即，所以.
故選：D.
變式3．（河南省豫北重點(diǎn)高中2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月份模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是，且．若，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，
則，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，且，
因?yàn)?，由可得，即，解?
故選：B.
變式4．（廣西15所名校大聯(lián)考2023屆高三高考精準(zhǔn)備考原創(chuàng)模擬卷（一）數(shù)學(xué)試題）已知是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
則在R上為奇函數(shù)，且.
又，
當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，
因此在R上為增函數(shù).
又，當(dāng)時(shí)，不等式化為，
即，
所以；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，
解得，故無解，
故不等式的解集為.
故選：C
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
題型二：利用構(gòu)造型
例4．（河南省信陽市息縣第一高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）已知定義在的函數(shù)滿足：，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，
因?yàn)椋?br/>所以在上，
所以在上單調(diào)遞增，
由已知，的定義域?yàn)椋?br/>所以，
所以等價(jià)于，
即，
所以，解得，
所以原不等式的解集是.
故選：A.
例5．已知定義域?yàn)閧x|x≠0}的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x滿足xf′(x)>2f(x)，若g(x)＝，則不等式g(x)A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】D
【解析】因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)閧x|x≠0}的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x).對(duì)任意正實(shí)數(shù)x滿足，
所以,
因?yàn)?，所以g(x)也是偶函數(shù).
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，,
所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)單調(diào)遞減，
若g(x)故g(x)故選：D
例6．（江蘇省蘇州市2023屆高三下學(xué)期3月模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】成立設(shè)，
則，即時(shí)是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
時(shí)，，此時(shí)．
又是奇函數(shù)，所以時(shí)，；
時(shí)
則不等式等價(jià)為或，
可得或，
則不等式的解集是，
故選：．
變式5．（西藏昌都市第四高級(jí)中學(xué)2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減；
又為的奇函數(shù)，
，即為偶函數(shù)，
在上單調(diào)遞增；
又由不等式得，
當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，
由在上單調(diào)遞減得，解得，故；
當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，
由在上單調(diào)遞增得，解得，故；
綜上所述，不等式的解集為：．
故選：D．
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
題型三：利用構(gòu)造型
例7．（河南省2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第五次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，
∴在R上單調(diào)遞增.
又，則.
∵等價(jià)于，即，
∴，即所求不等式的解集為.
故選：A.
例8．（河南省2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以．
又等價(jià)于，即，所以，
即所求不等式的解集為．
故選：B
例9．（廣東省佛山市順德區(qū)北滘鎮(zhèn)莘村中學(xué)2023屆高三模擬仿真數(shù)學(xué)試題）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的都有，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】法一：構(gòu)造特殊函數(shù).令，則滿足題目條件，把代入得解得，
故選：.
法二：構(gòu)造輔助函數(shù).令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?，所以?br/>故選：D.
變式6．（寧夏吳忠市2023屆高三一輪聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的定義域是，，對(duì)任意，，則不等式：的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，
，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由可得，可得，
因此，不等式的解集為.
故選：A.
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
題型四：用構(gòu)造型
例10．（安徽省六安市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足：， ，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則可得
所以是上的奇函數(shù)，
，
當(dāng)時(shí)，，所以，
是上單調(diào)遞增，
所以是上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br/>由可得即，
由是上單調(diào)遞增，可得 解得：，
所以不等式的解集為，
故選：A.
例11．（廣東省汕頭市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則，
所以不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式，即
構(gòu)造函數(shù)，則，
由題意，，所以為R上的增函數(shù)，
又，所以，
所以，解得，即，
所以，
故選：D.
例12．（陜西省安康市2023屆高三下學(xué)期4月三模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，恒成立，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>則，所以在上單調(diào)遞增．
由可得，即，
又在上單調(diào)遞增，所以，解得，
所以原不等式的解集是，
故選：D．
變式7．（新疆克拉瑪依市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)均有成立，且的圖像關(guān)于點(diǎn)（，1）對(duì)稱，則不等式的解集為（ ）
A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（∞，1） D．（∞，1）
【答案】A
【解析】因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)（，1）對(duì)稱，
所以是奇函數(shù)，
因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)均有成立，
所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)均有成立，
令，
則 ，
所以 在上遞增，
因?yàn)椋?br/>又，
所以，
故選：A
變式8．（浙江省紹興市新昌中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）若定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題可設(shè)，因?yàn)椋?br/>則，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
又，不等式可轉(zhuǎn)化為，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集為．
故選：A.
變式9．（吉林省長(zhǎng)春市吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第四次摸底考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，則，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
不等式即不等式，
又，，
所以不等式即為，
即，解得，
所以不等式的解集為.
故選：C.
變式10．（四川省綿陽市南山中學(xué)2022-2023學(xué)年高三二診熱身考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，
設(shè)，則 ，因?yàn)椋?所以在上為減函數(shù)，
又 ，因?yàn)?，所?，所以.
故選：.
變式11．（山東省煙臺(tái)市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由得，即，
可設(shè)，
當(dāng)時(shí)，因得，
所以，
可化為，
即，
設(shè)，
因，故為偶函數(shù)
，
當(dāng)時(shí)，因，，
故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因，
所以當(dāng)時(shí)的解集為，
又因?yàn)榕己瘮?shù)，故的解集為.
故選：C
變式12．（江西省九江十校2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
，即，
，
在上單調(diào)遞減，又，
不等式，
即，，
原不等式的解集為.
故選：D
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
題型五：利用、與構(gòu)造型
例13．（江西省2023屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，化?jiǎn)得，
構(gòu)造函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以由，
則，
即.因?yàn)闉榕己瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，
所以，解得.
故選：C.
例14．（天津市南開中學(xué)2023屆高三下學(xué)期統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題）已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，則
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)
則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，
由，可得，則，
則時(shí)，不等式
可化為
又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，
則有，解之得
故選：D
例15．函數(shù)對(duì)任意的滿足(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，
又由已知可得，，所以，
所以在上單調(diào)遞增
因?yàn)?，所以?br/>故，D正確，
故選：D
變式13．已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，則
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)
則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，
由，可得，則，
則時(shí)，不等式
可化為
又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，
則有，解之得
故選：D
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
3、對(duì)于正切型，可以通分（或者去分母）構(gòu)造正弦或者余弦積商型
題型六：利用與構(gòu)造型
例16．（重慶市九龍坡區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】構(gòu)造函數(shù)，
，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)也為偶函數(shù)，
且函數(shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，
因?yàn)椋裕?br/>關(guān)于x的不等式可變?yōu)?，也即?br/>所以，則解得或，
故選:C.
例17．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則有，
所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)樵谏鲜桥己瘮?shù)，可得，
所以是偶函數(shù)，
由，可得，即，即
又由為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，且定義域?yàn)椋瑒t有，
解得或，
即不等式的解集為，
故選：B.
例18．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且在上有，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
∵，即，即，故是奇函數(shù)，
由于函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，所以，函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).
∵在上有，∴，
故在單調(diào)遞增，
又∵是奇函數(shù)，且在上連續(xù)，∴在上單調(diào)遞增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故選：B．
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
3、對(duì)于正切型，可以通分（或者去分母）構(gòu)造正弦或者余弦積商型
題型七：復(fù)雜型：與等構(gòu)造型
例19．（廣西柳州市2023屆高三11月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有．且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造，則，
且，故在上單調(diào)遞減；
又為上的奇函數(shù)，故可得，
即，則.
則不等式等價(jià)于，
又因?yàn)槭巧系膯握{(diào)減函數(shù)，故解得.
故選：A.
例20．（河南省多校聯(lián)盟2023屆高考終極押題（C卷）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)函數(shù)，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，即，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br/>所以，因?yàn)?，整理得?br/>所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.
故選：C.
例21．（2023屆高三沖刺卷（一）全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)與定義域都為，滿足，且有，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得.
而，∴，∴在上單調(diào)遞減，
又，則，
所以，則，
故不等式的解集為．
故選：D．
變式14．（陜西省渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，所以，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，
所以是上的奇函數(shù)；
，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；
考慮到，由，
得，即，
由在上單調(diào)遞增，得解得，
所以不等式的解集為，
故選：B.
變式15．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若，，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，可得，
因?yàn)?，可得?br/>所以，所以函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
由不等式，可得，
所以，即
因?yàn)椋睿傻茫?br/>又因?yàn)?，可得，所?br/>所以不等式等價(jià)于，
由函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即不等式的解集為.
故選：A.
變式16．（新疆新源縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】將左右兩邊同乘得：，
令，則，所以在R上單調(diào)遞增，且；不等式等價(jià)于，即，所以
故選：A
變式17．（陜西省西安市西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三下學(xué)期第十二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，
所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，，
由可得，所以，.
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
對(duì)于，構(gòu)造
題型八：復(fù)雜型：與型
例22．（專題32盤點(diǎn)構(gòu)造法在研究函數(shù)問題中的應(yīng)用—備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)?？键c(diǎn)專題突破）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，則有，，即有，故函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則有，
當(dāng)時(shí)，，，又由當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，由可得，即，，
函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，且在上恒成立，由可得，即，此時(shí)不存在.
綜上：不等式解集為.
故選：A
例23．（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意有，，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.
，則，即，故.
，即，即，故，解得.
故選：B.
例24．（山東省泰安肥城市2023屆高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（三））定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意恒成立.若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，即，
即，即對(duì)恒成立，
令，則在上單調(diào)遞增，
∵，∴，
由即，即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，∴
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
寫出與的加、減、乘、除各種形式
題型九：復(fù)雜型：與結(jié)合型
例25．（2023屆高三數(shù)學(xué)臨考沖刺原創(chuàng)卷（四））已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)，得．
設(shè)（），則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
則不等式，可化為，
則，解得.
故選：C．
例26．（華大新高考聯(lián)盟2023屆高三3月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，
則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
易知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑘D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，
若或時(shí)，，且，
由可得，
當(dāng)時(shí)，即，可得或，此時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，即，可得，此時(shí)，可得.
因此，不等式的解集為.
故選：C.
例27．（2023屆高三數(shù)學(xué)新高考信息檢測(cè)原創(chuàng)卷（四））已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則的定義域?yàn)?br/>且，所以在上單調(diào)遞減.
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，恒有.
因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，
所以等價(jià)于或
解得或，
所以不等式的解集是.
故選：D.
變式18．（廣東省梅州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，
則，
所以函數(shù)在上遞增，
又因，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又因當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，，
由不等式，
得或，
解得，
所以不等式的解集是.
故選：B.
變式19．定義在 上的函數(shù) 滿足，則不等式 的解集為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
則，由于,
故,故在單調(diào)遞增，
而 ，
由，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式的解集為,
故選：D．
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造
2、寫出與的加、減、乘、除各種結(jié)果
題型十：復(fù)雜型：基礎(chǔ)型添加因式型
例28．（遼寧省名校聯(lián)盟2023屆高考模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)（三））已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br/>構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，
又是定義在R上的偶函數(shù)，所以是定義在R上的偶函數(shù)，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且．
不等式整理可得：，
即，當(dāng)時(shí)，，則，解得；當(dāng)時(shí)，，則，
解得，又，所以．
綜上，不等式的解集為．
故選：A．
例29．定義在上的函數(shù)滿足（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，所以等價(jià)于，
由，可得
則，
所以在上單調(diào)遞增，所以由，得．
故選：D
例30．定義在上的函數(shù)滿足，且，則滿足不等式的的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，
因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞減，
又，所以，
不等式變形為，即，
由函數(shù)單調(diào)性可得：
故選：D
變式20．已知在定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)，恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，則函數(shù)為偶函數(shù)，
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可得在上單調(diào)遞減，
由，
化簡(jiǎn)得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集為.
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
在本題型一、二、三、四等基礎(chǔ)上，變形或者添加因式，增加復(fù)雜度
題型十一：復(fù)雜型：二次構(gòu)造
例31．（福建省福州第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）函數(shù)滿足：，，則當(dāng)時(shí)，（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br/>令，則，且，
所以，
令，則，
令，解得：，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
則，故在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，既無極大值，也無極小值.
故選：D
例32．（江西省百所名校2022-2023學(xué)年高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，對(duì)恒成立，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再利用的單調(diào)性求解不等式即可.由，可得，
即，令，
則.
令，，
所以在上是單調(diào)遞減函數(shù).
不等式，
等價(jià)于，
即，，
所求不等式即，
由于在上是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，解得，
且，即，
故不等式的解集為.
故選：D
例33．（河南省濮陽市2023屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)為定義域在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足，，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題可知，當(dāng)時(shí)，．令，則，
，令，，
令，解得．可知函數(shù)在上單調(diào)遞減﹐在上單調(diào)遞增．
又，所以，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，可化為，又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
故或，
所以不等式的解集為．
故選：A
變式21．（寧夏平羅中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的連續(xù)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，∴，
令，∴在上單調(diào)遞減，
又是定義在上的連續(xù)偶函數(shù)，∴是上的奇函數(shù)，即在上單調(diào)遞減，
∵，∴，
當(dāng)，即時(shí)，，∴；
當(dāng)，即時(shí)，，∴，則.
故不等式的解集為.
故選：A.
變式22．（江西省九江市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，，則在上（ ）
A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有極大值 D．有極小值
【答案】A
【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，
所以，，則，
設(shè)，則，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.
所以，，對(duì)任意的恒成立，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
故選：A.
變式23．（湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)滿足，且，則（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值
【答案】D
【解析】因?yàn)?，且?br/>所以，①
令，則，
又，記，
所以.
當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.
結(jié)合①當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為0，即，
因?yàn)椋瑒t，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以既沒有最大值，也沒有最小值.
故選：D.
變式24．（福建省泉州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量跟蹤監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)滿足：，，則時(shí)，（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值
【答案】B
【解析】，
令，則，
所以，
令，則，
即，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，而，
所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；
故有極小值，無極大值，故選B.
變式25．（遼寧省大連市中山區(qū)第二十四中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題）函數(shù)滿足：， ．則時(shí)，
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?
令，則 ，
所以，
令 ，則，
則當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，
即函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
所以，
即，即函數(shù)在為減函數(shù)，
即時(shí)，既無極大值，也無極小值，
故選D.
變式26．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，，，則當(dāng)時(shí)，
A．有極大值，無極小值 B．無極大值，有極小值
C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值又無極小值
【答案】B
【解析】由題設(shè)，所以，，所以存在使得，又 ，所以在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
因此，當(dāng)時(shí)，取極小值，但無極大值，故選B.
【解題方法總結(jié)】
二次構(gòu)造：，其中等
題型十二：綜合構(gòu)造
例34．（福建省泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)、廈門外國(guó)語學(xué)校石獅分校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，關(guān)于直線對(duì)稱，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，
，
，
當(dāng)時(shí)，，則，
在上單增；
當(dāng)時(shí)，，則，
在上單減；
，
不等式即為不等式，
關(guān)于直線對(duì)稱，
，
解得或，
故選：．
例35．（貴州省銅仁市2023屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（—））已知定義在上的函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，滿足①，②當(dāng)時(shí)，.若不等式有實(shí)數(shù)解，則其解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，遞增，
由于，
所以，即，
所以是偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，遞減.
不等式等價(jià)于：
，
即，所以，
兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
例36．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高三第一次模擬數(shù)學(xué)（文科）試題）已知是定義在R上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，
因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，
所以，
則，
所以函數(shù)也是偶函數(shù)，
，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞增，
不等式即為不等式，
由，得，
所以，
所以，解得或，
所以的解集是.
故選：B.
變式27．（貴州省綏陽縣育才中學(xué)2023屆高三信息壓軸卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時(shí)，，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，.
令，則，
所以，
所以，為偶函數(shù).
又，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，，所以在上單調(diào)遞增.
又為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.
由可得，
.
因?yàn)椋?br/>所以，.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，為偶函數(shù)，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故選：C.
變式28．（安徽省淮南市2023屆二模數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
令，則，
∴在上為奇函數(shù)，
又∵當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，
又∵在上為奇函數(shù)，
∴在上單調(diào)遞增，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵在上單調(diào)遞增，
∴，解得：.
故選：A.
變式29．（安徽省蚌埠市2023屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域是，若對(duì)于任意的都有，則當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，則在上是減函數(shù).，
所以
得，又，所以.
故選：A.
【解題方法總結(jié)】
結(jié)合式子，尋找各種綜合構(gòu)造規(guī)律，如，或者（為常見函數(shù)）
題型十三：找出原函數(shù)
例37．（甘肅省武威市第六中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次階段性過關(guān)考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x滿足且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則不等式的解集是
A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞)
【答案】A
【解析】令，則有， ,
,又 ,得
，,再令,則 ,故函數(shù)在上遞減,
不等式 等價(jià)于,所以 ,故選A
例38．設(shè)函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且在處存在導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則函數(shù)
A．既有極大值又有極小值 B．有極大值 ，無極小值
C．有極小值，無極大值 D．既無極大值也無極小值
【答案】C
【解析】本題首先可以根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)即可求出的值并求出函數(shù)的解析式，然后通過求導(dǎo)即可判斷出函數(shù)的極值．由題意可知，，即，
所以，
令，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在處存在導(dǎo)數(shù)，所以為定值，，，
所以，
令，當(dāng)時(shí)，，
構(gòu)建函數(shù)，則有，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br/>所以當(dāng)時(shí)函數(shù)必有一解，
令這一解為，，則當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以有極小值，無極大值．
例39．設(shè)函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且在處存在導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則函數(shù)
A．既有極大值又有極小值 B．有極大值，無極小值
C．既無極大值也無極小值 D．有極小值，無極大值
【答案】C
【解析】因?yàn)?，?br/>所以，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)函數(shù)，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
令，所以，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值即最小值，
所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以既沒有極大值，也沒有極小值，
故選C.
【解題方法總結(jié)】
熟悉常見導(dǎo)數(shù)的原函數(shù).重難點(diǎn)突破03 原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原問題
目錄
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
3、對(duì)于，構(gòu)造，
4、對(duì)于，構(gòu)造
5、對(duì)于，構(gòu)造，
6、對(duì)于，構(gòu)造
7、對(duì)于，構(gòu)造，
8、對(duì)于，構(gòu)造
9、對(duì)于，構(gòu)造，
10、對(duì)于，構(gòu)造
11、對(duì)于，構(gòu)造，
12、對(duì)于，構(gòu)造
13、對(duì)于，構(gòu)造
14、對(duì)于，構(gòu)造
15、；；；
16、；．
題型一：利用構(gòu)造型
例1．（安徽省馬鞍山第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月段考數(shù)學(xué)試題）已知的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
例2．（河南省溫縣第一高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例3．（黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月考前得分訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為函?shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023屆高三第七次百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（新高考））已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（四川省綿陽市鹽亭中學(xué)2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（河南省豫北重點(diǎn)高中2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月份模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是，且．若，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（廣西15所名校大聯(lián)考2023屆高三高考精準(zhǔn)備考原創(chuàng)模擬卷（一）數(shù)學(xué)試題）已知是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
題型二：利用構(gòu)造型
例4．（河南省信陽市息縣第一高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）已知定義在的函數(shù)滿足：，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例5．已知定義域?yàn)閧x|x≠0}的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x滿足xf′(x)>2f(x)，若g(x)＝，則不等式g(x)A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
例6．（江蘇省蘇州市2023屆高三下學(xué)期3月模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（西藏昌都市第四高級(jí)中學(xué)2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
題型三：利用構(gòu)造型
例7．（河南省2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第五次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
例8．（河南省2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例9．（廣東省佛山市順德區(qū)北滘鎮(zhèn)莘村中學(xué)2023屆高三模擬仿真數(shù)學(xué)試題）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的都有，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（寧夏吳忠市2023屆高三一輪聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的定義域是，，對(duì)任意，，則不等式：的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
題型四：用構(gòu)造型
例10．（安徽省六安市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足：， ，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例11．（廣東省汕頭市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例12．（陜西省安康市2023屆高三下學(xué)期4月三模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，恒成立，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
變式7．（新疆克拉瑪依市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)均有成立，且的圖像關(guān)于點(diǎn)（，1）對(duì)稱，則不等式的解集為（ ）
A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（∞，1） D．（∞，1）
變式8．（浙江省紹興市新昌中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）若定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式9．（吉林省長(zhǎng)春市吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第四次摸底考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式10．（四川省綿陽市南山中學(xué)2022-2023學(xué)年高三二診熱身考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式11．（山東省煙臺(tái)市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（ ）．
A． B．
C． D．
變式12．（江西省九江十校2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
題型五：利用、與構(gòu)造型
例13．（江西省2023屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例14．（天津市南開中學(xué)2023屆高三下學(xué)期統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題）已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例15．函數(shù)對(duì)任意的滿足(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
變式13．已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
3、對(duì)于正切型，可以通分（或者去分母）構(gòu)造正弦或者余弦積商型
題型六：利用與構(gòu)造型
例16．（重慶市九龍坡區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例17．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例18．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且在上有，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造，
2、對(duì)于，構(gòu)造
3、對(duì)于正切型，可以通分（或者去分母）構(gòu)造正弦或者余弦積商型
題型七：復(fù)雜型：與等構(gòu)造型
例19．（廣西柳州市2023屆高三11月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有．且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例20．（河南省多校聯(lián)盟2023屆高考終極押題（C卷）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023屆高三沖刺卷（一）全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)與定義域都為，滿足，且有，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式14．（陜西省渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式15．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若，，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式16．（新疆新源縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式17．（陜西省西安市西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三下學(xué)期第十二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
對(duì)于，構(gòu)造
題型八：復(fù)雜型：與型
例22．（專題32盤點(diǎn)構(gòu)造法在研究函數(shù)問題中的應(yīng)用—備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)?？键c(diǎn)專題突破）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例23．（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意有，，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例24．（山東省泰安肥城市2023屆高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（三））定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意恒成立.若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結(jié)】
寫出與的加、減、乘、除各種形式
題型九：復(fù)雜型：與結(jié)合型
例25．（2023屆高三數(shù)學(xué)臨考沖刺原創(chuàng)卷（四））已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例26．（華大新高考聯(lián)盟2023屆高三3月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑘D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例27．（2023屆高三數(shù)學(xué)新高考信息檢測(cè)原創(chuàng)卷（四））已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
變式18．（廣東省梅州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
變式19．定義在 上的函數(shù) 滿足，則不等式 的解集為（　?。?br/>A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)于，構(gòu)造
2、寫出與的加、減、乘、除各種結(jié)果
題型十：復(fù)雜型：基礎(chǔ)型添加因式型
例28．（遼寧省名校聯(lián)盟2023屆高考模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)（三））已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例29．定義在上的函數(shù)滿足（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例30．定義在上的函數(shù)滿足，且，則滿足不等式的的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
變式20．已知在定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)，恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
在本題型一、二、三、四等基礎(chǔ)上，變形或者添加因式，增加復(fù)雜度
題型十一：復(fù)雜型：二次構(gòu)造
例31．（福建省福州第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）函數(shù)滿足：，，則當(dāng)時(shí)，（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值
例32．（江西省百所名校2022-2023學(xué)年高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，對(duì)恒成立，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例33．（河南省濮陽市2023屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)為定義域在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足，，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
變式21．（寧夏平羅中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的連續(xù)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式22．（江西省九江市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，，則在上（ ）
A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有極大值 D．有極小值
變式23．（湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)滿足，且，則（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值
變式24．（福建省泉州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量跟蹤監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)滿足：，，則時(shí)，（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值
變式25．（遼寧省大連市中山區(qū)第二十四中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題）函數(shù)滿足：， ．則時(shí)，
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值
變式26．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，，，則當(dāng)時(shí)，
A．有極大值，無極小值 B．無極大值，有極小值
C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值又無極小值
【解題方法總結(jié)】
二次構(gòu)造：，其中等
題型十二：綜合構(gòu)造
例34．（福建省泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)、廈門外國(guó)語學(xué)校石獅分校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，關(guān)于直線對(duì)稱，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例35．（貴州省銅仁市2023屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（—））已知定義在上的函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，滿足①，②當(dāng)時(shí)，.若不等式有實(shí)數(shù)解，則其解集為（ ）
A． B．
C． D．
例36．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高三第一次模擬數(shù)學(xué)（文科）試題）已知是定義在R上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
變式27．（貴州省綏陽縣育才中學(xué)2023屆高三信息壓軸卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時(shí)，，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式28．（安徽省淮南市2023屆二模數(shù)學(xué)試題）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
變式29．（安徽省蚌埠市2023屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域是，若對(duì)于任意的都有，則當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結(jié)】
結(jié)合式子，尋找各種綜合構(gòu)造規(guī)律，如，或者（為常見函數(shù)）
題型十三：找出原函數(shù)
例37．（甘肅省武威市第六中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次階段性過關(guān)考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x滿足且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則不等式的解集是
A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞)
例38．設(shè)函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且在處存在導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則函數(shù)
A．既有極大值又有極小值 B．有極大值 ，無極小值
C．有極小值，無極大值 D．既無極大值也無極小值
例39．設(shè)函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且在處存在導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則函數(shù)
A．既有極大值又有極小值 B．有極大值，無極小值
C．既無極大值也無極小值 D．有極小值，無極大值
【解題方法總結(jié)】
熟悉常見導(dǎo)數(shù)的原函數(shù).

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