資源簡介

重難點突破06 雙變量問題
目錄
破解雙參數不等式的方法：
一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的不等式；
二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.
題型一：雙變量單調問題
例1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)設，證明：對任意，，．
【解析】（1）當時，，，切點為
求導，切線斜率
曲線在處的切線方程為．
（2），的定義域為，求導，
在上單調遞減．
不妨假設，∴等價于 ．
即．
令，則．
，，．
從而在單調減少，故，即，
故對任意 ．
例2．（2023·安徽·校聯考三模）設，函數.
（Ⅰ）討論函數在定義域上的單調性；
（Ⅱ）若函數的圖象在點處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（Ⅰ）的定義域是.
.
（1）當時，，的定義域內單增；
（2）當時，由得，.
此時在內單增，在內單減；
（3）當時，，的定義域內單減.
（Ⅱ）因為，所以，.
此時.
由（Ⅰ）知，時，的定義域內單減.
不妨設，
則，即，
即恒成立.
令，，則在內單減，即.
，，.
而，當且僅當時，取得最小值，
所以，故實數的取值范圍是.
例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中學?？计谀┮阎瘮?br/>（Ⅰ）討論函數的單調性；
（Ⅱ）若時，任意的，總有，求實數
的取值范圍.
【解析】（Ⅰ） （）
①當時，故在上單調遞增；
②當時，故在上單調遞減；
③當時，令解得
則當時 ；
當時，故在上單調遞減；在上單調遞增；
綜上所述：當時，故在上單調遞增；
當時，故在上單調遞減；
當時，在上單調遞減；在上單調遞增．
（II）由（Ⅰ）知當時故在上單調遞增；
對任意即
令因為
所以在上單調遞增；所以 即在上恒成立
故
令則又因為所以
>1 當且僅當時取等號，所以，
故不等式恒成立的條件是即.
所以，實數的取值范圍為.
變式1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，，且．
（1）當時，討論的單調性；
（2）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【解析】（1）函數的定義域為，
將代入的解析式，得，
求導得．
當時，，故在上單調遞增；
當時，令，得．
所以當時，，當時，，于是在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
綜上，當時，在上單調遞增；當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
（2）當時，．
因為，所以不等式可化為，
所以對任意的恒成立，所以函數為上的減函數，
所以在上恒成立，可得在上恒成立，
設，則，令，得．
所以當上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，得．
所以實數的取值范圍為．
變式2．（2023·天津南開·高三南開大學附屬中學?？奸_學考試）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)當時，證明；
(3)若對任意的不等正數，總有，求實數的取值范圍．
【解析】（1）由題意得：定義域為，；
當時，，，在上恒成立，
在上單調遞增；
當時，令，解得：，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減；
綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）由（1）知：；
要證，只需證，即證；
設，則，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，；
又，，即.
（3）不妨設，則由得：，
即，
令，則在上單調遞增，
在上恒成立，
即，又，；
令，則，
令，解得：（舍）或，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，
，，解得：；
的取值范圍為.
題型二：雙變量不等式:轉化為單變量問題
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）已知，若存在兩個極值點，且，求的取值范圍.
【解析】（1）函數的定義域為，，
當時，，當且僅當即“=”，則，在上單調遞減，
當時，方程有兩個正根為，，
當或時，，當時，，
于是得在、上單調遞減，在上單調遞增；
（2）因存在兩個極值點，且，由(1)知，即，則，
顯然，對是遞增的，從而有，
，
令，
，
令，，
即在上單調遞增，，則，于是得在上單調遞增，
從而得，即，
所以的取值范圍.
例5．（2023·新疆·高二克拉瑪依市高級中學校考階段練習）已知函數
(1)若，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
(2)當時，討論f（x）的單調性；
(3)設f（x）存在兩個極值點且，若求證：.
【解析】（1）若，則，所以，又，所以，即f（x）在點（1，0）處的切線斜率為2，所以切線方程為.
（2）f（x）的定義域為（0，+∞），，設，其.
①當時，即時，，即，此時f（x）在（0，+∞）為單調遞增函數.
②當時，即時，設兩根為.
當時，，即，即f（x）的增區間為，.
當時，，即，即f（x）的減區間為.
綜上：當時，f（x）的單增區間為；
當時，f（x）的增區間為
減區間為().
（3）由（2），
因為f（x）存在兩個極值點，所以存在兩個互異的正實數根，
所以，則，所以，
所以
.
令，則，
∵，∴，∴在上單調遞減，
∴，而，
即，∴.
例6．（2023·山東東營·高二東營市第一中學校考開學考試）已知函數（為常數）
(1)討論的單調性
(2)若函數存在兩個極值點，且，求的范圍.
【解析】（1）∵，
，當時，，，在定義域上單調遞增；
當時，在定義域上，
時，在定義域上單調遞增；
當時，令得，，
，時，；時，
則在，上單調遞增，在上單調遞減.
綜上可知：當時，在定義域上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.（其中，）
（2）由（1）知有兩個極值點，則，
的二根為，
則，，
，
設，又，∴.
則，，
∴在遞增，.
即的范圍是
變式3．（2023·山東·山東省實驗中學校聯考模擬預測）已知函數，其中．
(1)當時，求函數在處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)若存在兩個極值點的取值范圍為，求的取值范圍．
【解析】（1）當時，，定義域為，
所以，
所以，又，
所以函數在處的切線方程為，即.
（2）的定義域是，
，，
令，則．
①當或，即時，恒成立，所以在上單調遞增．
②當，即時，由，得或；
由，得，
所以在和上單調遞增，在上單調遞減．
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減
（3）由（2）當時，在上單調遞增，此時函數無極值；
當時，有兩個極值點，即方程有兩個正根，
所以，則在上是減函數．所以，
因為，
所以
，
令，則，
，
所以在上單調遞減，
又，且，
所以，
由，
又在上單調遞減，
所以且，所以實數的取值范圍為．
變式4．（2023·江蘇蘇州·高三統考階段練習）已知函數
(1)討論函數的單調性；
(2)若函數存在兩個極值點，記,求的取值范圍.
【解析】（1）的定義域為，對求導得：
，
令
1）若，則，即，所以在上單調遞增.
2）若
①當時，即，則，即，所以在上單調遞增.
②當時，即，由，得
當時，
當時，
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時, 在上是單調遞增的，
在上是單調遞減的.
（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.
由于的兩個極值點 滿足，
所以，
所以，
同理，
，
所以，
令，所以，
所以在上是單調遞減的，在上是單調遞增的
因為，且當，
所，所以 的取值范圍是
變式5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若存在兩個極值點，，且，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意，函數，
可得，其中，
當時，即時，，所以在上單調遞增；
當時，令，即，
解得，，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以函數在區間單調遞減，在單調遞增；
當時，令，即，
解得，，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
（2）由（1）值，當時，函數存在兩個極值點，且，
因為，
所以，
整理得，
所以，即，
因為，可得，
令，則，
所以在為單調遞增函數，
又因為，所以當 時，，
即實數的取值范圍為．
變式6．（2023·吉林長春·高二長春市實驗中學?？计谥校┰O函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若有兩個極值點，
①求a的取值范圍；
②證明：．
【解析】（1）當時，，
故，
所以，
當時，；當時，，
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為．
（2）①，依據題意可知有兩個不等實數根，
即有兩個不等實數根．
由，得，
所以有兩個不等實數根可轉化為
函數和的圖象有兩個不同的交點，
令，則，
由，解得；由，解得；
所以在單調遞增，在單調遞減，
所以．
又當時，，當時，，
因為與的圖象有兩個不同的交點，所以．
②由①可知有兩個不等實數根，
聯立可得，
所以不等式等價于
．
令，則，且等價于．
所以只要不等式在時成立即可．
設函數，則，
設，則，
故在單調遞增，得，
所以在單調遞減，得．
綜上，原不等式成立．
題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題
例7．（2023·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，函數.
(1)當時，求的單調區間和極值；
(2)若有兩個不同的極值點，.
（i）求實數的取值范圍；
（ii）證明：（……為自然對數的底數）.
【解析】（1）當時，()，則，
故當時，，當時，，
故的遞減區間為，遞增區間為，
極小值為，無極大值；
（2）(i)因為()，
令()，問題可轉化函數有個不同的零點，
又，令，
故函數在上遞減，在上遞增，
故，故，即，
當時，在時，函數，不符題意，
當時，則，，，
即當時，存在，，
使得在上遞增，在上遞減，在上遞增，
故有兩個不同的極值點的a的取值范圍為；
（ii）因為，，且，
令，則，，
又，
令，即只要證明，即，
令，
則，
故在上遞增，且，所以，即，
從而，
又因為二次函數的判別式，
即，即，
所以在上恒成立，故.
例8．（2023·內蒙古·高三霍林郭勒市第一中學統考階段練習）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若存在兩個極值點，證明：．
【解析】（1）∵，當且僅當時等號成立．
當時，恒有，則在上單調遞增；
當時，，令，．
∵，∴方程有兩個不相等的實數根，
∴，，顯然，
∴當和時，；當時，．
∴當和時，，∴在和上單調遞增；
當時，，∴在上單調遞減．
綜上，當時，在上單調遞增；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．
（2）證明：由（1）知，當時，存在兩個極值點，
∴，，∴，，
∴．
設，由（1）易知，∴．
要證明，
只要證明．
設，則，
∴當時，單調遞增，從而，即，
∴成立，從而成立．
要證明，只要證明．
由（1）知，，，
只要證明．
設，
則，，
則當時，單調遞增，從而；
則當時，單調遞減，從而，
即成立，從而．
綜上，得．
例9．（2023·全國·模擬預測）已知函數．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若存在兩個極值點、，求實數的取值范圍，并證明：．
【解析】（1）當時，，則，
，∴，
∴曲線在處的切線方程為，即．
（2）由題意知，
令，，
∵存在兩個極值點，∴有兩個零點，
易知，
當時，，在上單調遞增，g(x)至多有一個零點，不合題意．
當時，由得，
若，則，單調遞增；
若，則，單調遞減．
要使有兩個零點，需，解得．
當時，，∴在上存在唯一零點，記為．
∵，∴，，
設，則，令，，則，
∴在上單調遞減，∴，即，
∴在上存在唯一零點，記為．
則，隨的變化情況如下表：
﹣ 0 ﹢ 0 ﹣
↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
∴實數的取值范圍是．
∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴要證，只要證，
只要證，只要證，
又，∴只要證，即證．
設，，
則，
∴F(x)在時單調遞增，
∴，
∴成立，即得證．
變式7．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？计谥校┮阎瘮?，.
(1)當時，討論方程解的個數；
(2)當時，有兩個極值點，，且，若，證明：
（i）；
（ii）.
【解析】（1）方法一：，.
設，則.
設，則，單調遞減.
，當時，，，單調遞增；
當時，，，單調遞減.
，
當時，方程有一解，當時，方程無解；
方法二：設，則.
設，則.單調遞增
當時，，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
，方程有一解.
當時，.
令,
令，則在上單調遞增，又
，則在上單調遞減，
在上單調遞增，則.
即，
無解，即方程無解.
綜上，當時，方程有一解，當時，方程無解．
（2）（i）當時，，則，
，是方程的兩根.
設，則，
令，解得，在上單調遞減，在上單調遞增.
，，當時，，，.
由.
令，，，.
等價于.
設，，
則，
單調遞增，，
，即，，
綜上，；
（ii）由（i）知，，.
.
由（i）知，，
設，，則.
單調遞減，，即.
.
設，，
則.
單調遞增，又，當時，.
，，即命題得證.
變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數
（1）討論函數的單調區間；
（2）設，是函數的兩個極值點，證明：恒成立．
【解析】（1）由題意，函數的定義域為，
且，
①當時，令，解得，
令，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
②當時，令，解得或，
令，解得，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減；
③當時，則，所以在上單調遞增，
④當時，令，解得或，
令，解得，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減；
綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；
（2）由，則的定義域為，
且，
若有兩個極值點，，
則方程的判別式，
且，，解得，
又由，所以，即，
所以
，
設函數，其中，，
由得，又，
所以在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，
即的最大值為，
從而恒成立．
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若有兩個極值點，求證：.
【解析】（1），
當時，f（x）遞增區間為；
當m<0時，f（x）遞增區間為，通減區間是；
（2），
當時，在遞增，無極值點；
當或時，令，
得
若，則，在遞增，無極值點；
若，則，不妨設.
此時g（x）有兩個極值點.
因為，故，即.
題型四：雙變量不等式:中點型
例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中學?？计谀┮阎瘮担?br/>（1）已知為的極值點，求曲線在點處的切線方程；
（2）討論函數的單調性；
（3）當時，若對于任意，都存在，使得，證明：．
【解析】（1），由為的極值點.
所以，解得,
由，得，由，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增. 滿足在處取得極值.
則，
所以過點的切線方程為
(2) ,則
當時，，則在上單調遞增.
令,，，對稱軸方程為
當時，開口向下，對稱軸方程為，
所以在上單調遞減，所以，所以.
則在上單調遞增.
當時，，
有兩個不等實數根，
所以得出，得出
則在上單調遞增，在上單調遞減
綜上所以：當時，在上單調遞增.
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（3）
所以
又
所以
即
則
由，則，設
設，則
所以在 上單調遞減,所以
所以恒成立,即
由，則
由，則在時恒成立.
所以在上單調遞增.
所以由，可得成立.
例11．（2023·湖北武漢·統考一模）已知函數 .
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）設，證明：當時， ；
（Ⅲ）設是的兩個零點，證明 .
【解析】（Ⅰ）求導，并判斷導數的符號，分別討論的取值，確定函數的單調區間．
（Ⅱ）構造函數，利用導數求函數當時的最大值小于零即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ，從而，于是，由（Ⅰ）知， .
試題解析：（Ⅰ）的定義域為 ，
求導數，得 ，
若 ，則，此時在上單調遞增，
若 ，則由得，當時， ，當時， ，
此時在上單調遞減，在上單調遞增.
（Ⅱ）令，則
.
求導數，得 ，
當時，，在上是減函數.
而， ，
故當時，
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當時，函數至多有一個零點，
故，從而的最小值為，且，
不妨設，則， ，
由（Ⅱ）得 ，
從而，于是，
由（Ⅰ）知， .
點晴:本題考查函數導數的單調性.不等式比較大小，函數的零點問題：在（Ⅰ）中通過求導，并判斷導數的符號，分別討論的取值，確定函數的單調區間．（Ⅱ）通過構造函數，把不等式證明問題轉化為函數求最值問題，求函數當時的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）問的結論.
例12．（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知函數且.
（1）討論函數的單調性;
（2）當時，若函數的圖象與軸交于，兩點，設線段中點的橫坐標為，證明:.
【解析】（1）函數的定義域為，
，解得(舍去)，．
當時，在上恒成立，所以函數單調遞增；
當時，在上，函數單調遞減，在上，函數單調遞增．
綜上，時，函數單調遞增；
時，在上單調遞減；在上單調遞增；
（2）由（1）知，，，
令，，
則，當時，恒成立，所以單調遞增，
即單調遞增；
又，故要證，即證；
設，，且，
由題設條件知，，因此只需證；
由題意，，
兩式作差可得，，
即，
即，
下面先證明，即證，
令，，
則顯然成立，
所以在上單調遞增，
則，所以，即，
所以，
因此，
即，，
即
因此，
所以原命題得證.
變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若函數的圖像與x軸交于A，B兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.
【解析】（1）的定義域為，
．
①若，則，所以在單調遞增．
②若，則由得，
且當時，，當時，．
所以在單調遞增，在單調遞減．
（2）由（1）可知：當時，函數在上單調遞增，
故圖像與x軸至多有一個交點，不符合題意，從而．
當時，在單調遞增，在單調遞減，
不妨設，，，則．
由，
兩式相減得：，
即：，
又
令，，
則，從而函數在上單調遞減，
故，從而，又，所以．
變式11．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知函數.
（1）討論函數的單調性；
（2）設函數圖象上不重合的兩點.證明：.（是直線的斜率）
【解析】（1）函數的定義域為，
且
①當時，，此時在單調遞增；
②當時，令可得或（舍），，
由得，由得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
綜上：①當時，函數在上單調遞增；
②當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）由題意得，
所以
又，
要證成立，
即證：成立，
即證：成立.
令，即證時，成立.
設
則
所以函數在上是增函數，
所以，都有，
即，，
所以
變式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？茧A段練習）已知函數（）．
（1）討論函數的單調性；
（2）設，若函數的兩個極值點，（）恰為函數的兩個零點，且的取值范圍是，求實數的取值范圍．
【解析】（1）由題意，函數的定義域為，
可得，
對于方程的判別式（其中），
（i）若，即時，恒成立，
故在上單調遞增；
（ii）若，即時，
令，解得，．
當，；
當時，．
所以當時，單調遞增區間為，無單調遞減區間；
當時，單調遞增區間為和；
單調遞增區間為．
（2）由（1）知：且，，其中，
因為，可得（），
所以，
由，可得
兩式相減，得．（）
∴
令，可得，則，
所以在上單調遞減，
由的取值范圍是，得的取值范圍是，
所以，
又因為，故實數的取值范圍是．
題型五：雙變量不等式:剪刀模型
例13．（2023·天津和平·耀華中學?？寄M預測）已知函數在點(，)處的切線方程為．
(1)求a、b；
(2)設曲線y＝f(x)與x軸負半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y＝h(x)，求證：對于任意的實數x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若關于的方程有兩個實數根、，且，證明：．
【解析】（1）將代入切線方程中，有，
∴，即，
又，
∴．
若，則，與矛盾，
故．
（2）由(1)可知，，，
令，有或，
故為．
曲線在點處的切線方程為，
則，
令，
則，
∴，
令g(x)＝，則，∴在R上單調遞增，
∵，
∴當時，，單調遞減，
當x＞－1時，，單調遞增．
∴，即成立．
（3）由(2)知在處的切線方程為，且f(x)≥h(x)，
則，
設，則，
故，∵單調遞減，∴，
設在處的切線方程為，易得，
令，
則，
令，則，
當時，,單調遞減，，
當時，,單調遞增，
又∵，
∴當時，，T(x)單調遞減，
當時，，T(x)單調遞增，
∴，即，∴，
設，則，
故，∵單調遞增，故，
又，
則.
例14．（2023·遼寧沈陽·統考三模）已知函數在點處的切線方程為．
（1）求，；
（2）函數圖像與軸負半軸的交點為，且在點處的切線方程為，函數，，求的最小值；
（3）關于的方程有兩個實數根，，且，證明：．
【解析】（1）將代入切線方程中，
得，所以，
又或，
又，
所以，
若，則（舍去）；
所以，則；
（2）由（1）可知，，
所以，
令，有或，
故曲線與軸負半軸的唯一交點為
曲線在點處的切線方程為，
則，
因為，
所以，
所以，．
若，，
若，，，
所以.
若，，
，
，所以在上單調遞增，
，函數在上單調遞增．
當時，取得極小值，也是最小值，
所以最小值．
（3），設的根為，
則，又單調遞減，
由（2）知恒成立．
又，所以，
設曲線在點處的切線方程為，則，
令，
．
當時，，
當時，，
故函數在上單調遞增，又，
所以當時，，當時，，
所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以，即，
設的根為，則，
又函數單調遞增，故，故．
又，所以．

例15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，是的極值點．
(1)求的值；
(2)設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線．求證：曲線上的點都不在直線的上方；
(3)若關于的方程有兩個不等實根，，求證：．
【解析】(1)；由題意知，，；
(2)證明：設曲線在，處切線為直線；
令；
；
；
在上單調遞增，在，上單調遞減；
；
，即，即上的點都不在直線的上方；
(3)由（2）設方程的解為；
則有，解得；
由題意知，；
令，；
；
在上單調遞增；
；
的圖象不在的下方；
與交點的橫坐標為；
則有，即；
；
關于的函數在上單調遞增；
．
變式13．（2023·安徽·校聯考二模）已知函數，其中是自然對數的底數.
(1)設曲線與軸正半軸相交于點，曲線在點處的切線為，求證：曲線上的點都不在直線的上方；
(2)若關于的方程（為正實數）有兩個不等實根，求證：.
【解析】（1）證明：由題意可得：，
，
可得曲線在點處的切線為.
令，
，
當時，，當時，
∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，
曲線上的點都不在直線的上方.
（2）證明：由（1）可得，
解得，
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以的最大值為，
，
曲線在點處的切線為，
由（1）得，
令，
，，
∴由零點的存在性定理知，
同理可得曲線在點處的切線為，
設與的交點的橫坐標分別為
則，
.
下面證明：.
，
，且，
.
變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，在點處的切線方程記為，令．
(1)設函數的圖象與軸正半軸相交于，在點處的切線為，證明：曲線上的點都不在直線的上方；
(2)關于的方程為正實數）有兩個實根，，求證：．
【解析】(1)證明：由，則，即切點為
求導，則切線斜率，
在點處的切線方程為：，記為，
．
由．，解得．
求導，則切線斜率．
在點處的切線為．
令．．
求導，
恒成立，令，得，解得
當時，，函數單減；當時，，函數單增．
，即．
因此曲線上的點都不在直線的上方．
(2)由（1）知，求導
當時，，函數單增，當時，，函數單減；
，且有兩個零點：0，
又在點處的切線為．
同理可得：在點處的切線為：．
設與，的交點的恒坐標分別為，．
又，則，．
．
．
題型六：雙變量不等式:主元法
例16．（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯考開學考試）已知函數．
(1)求函數的單調區間和最小值；
(2)當時，求證：（其中為自然對數的底數）；
(3)若，求證：．
【解析】(1)
令得：，
，；
令得：；
在上為增函數；在上為減函數；
.
(2)由（1）知：當時，有，
，即：，.
(3)將變形為：
即只證：
設函數
，
令，得：．
在上單調遞增；在上單調遞減；
的最小值為：，即總有：．
，即：，
令，，則
，
成立．
例17．（2023·河南信陽·高二校聯考階段練習）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數的最小值，并證明：當時，．（其中e為自然對數的底數）
【解析】(1)的定義域為，
因為，
所以，
又因為，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
(2)令，，
解得，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以．
證明如下：當時，有，
所以，
即，
所以．
例18．（2023·山西晉中·高二?？茧A段練習）已知函數（其中為自然對數的底數）．
(1)若，求函數的單調區間；
(2)若，求證：，．
【解析】（1）由題知，
所以，
當時，，
當時，，當時，，
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，
（2）由題知，，，
所以，
因為，
所以
令
即證在上恒成立，
因為
當時，，
當時，，即在上單調遞增，
當時，，即在上單調遞減，
因為，，
令，
所以，
因為，
所以，
所以在上單調遞增，
所以，
所以恒成立，
因為，
所以在上恒成立，即得證.
變式15．（2023·廣東廣州·高三廣州大學附屬中學?？茧A段練習）已知函數（其中且為常數，為自然對數的底數，．
(1)若函數的極值點只有一個，求實數的取值范圍；
(2)當時，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
【解析】（1）函數的定義域為，
其導數為．
由或，
設，，
當時，；當時，．
即在區間上遞增，在區間上遞減，
，
又當時，，當時，且恒成立．
當或時，方程無根，函數只有一個極值點．
當時，方程的根也為，此時的因式恒成立，
故函數只有一個極值點．
當時，方程有兩個根、且，，
函數在區間單調遞減；，單調遞增；單調遞減；，單調遞增，此時函數有、1、三個極值點．
綜上所述，當或時，函數只有一個極值點．
（2）依題意得，令，則對，都有成立．
，當時，函數在上單調遞增，
注意到，
若，，有成立，這與恒成立矛盾；
當時，因為在上為減函數，且，
函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，
，
若對，都有成立，則只需成立，
，
當時，則的最小值，
，
函數在上遞增，在上遞減，
，即的最小值的最大值為；
綜上所述，的最小值的最大值為．
變式16．（2023·全國·高三專題練習）設函數.
(1)求的極值；
(2)設，若對任意的，都有成立，求實數的取值范圍；
(3)若，證明：.
【解析】(1)函數，則，
令，解得：，且當時，，時，
因此：的極小值為，無極大值.
(2)
令，則，
注意到：，若要，必須要求，即，亦即
另一方面：當時，因為單調遞增，則當時，恒成立，所以在時單調遞增，故；故實數的取值范圍為：；
(3)構造函數，，，
，，，在上是單調遞增的；
故即：
另一方面，構造函數，
，
在上是單調遞減的
故即：
綜上，.
變式17．（2023·廣東珠?！じ咭恢楹Ｊ械诙袑W?？计谥校┮阎瘮?
(1)求不等式的解集；
(2)設函數，若存在，使得，求實數的取值范圍；
(3)若對任意的，關于的不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）由，得，
即，解得或，
所以不等式的解集為或；
（2）由題可知，
若存在，使得，
則不等式的解集非空，
則，
解得或，
所以實數的取值范圍是或；
（3）對任意的，關于的不等式在區間上恒成立，
等價于對于任意的，不等式在區間上恒成立，
令，對稱軸，
由，可知，
所以在區間單調遞增，，
所以只要當時，恒成立即可，
即當時，恒成立，
所以.
所以實數的取值范圍是.重難點突破06 雙變量問題
目錄
破解雙參數不等式的方法：
一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的不等式；
二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.
題型一：雙變量單調問題
例1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)設，證明：對任意，，．
例2．（2023·安徽·校聯考三模）設，函數.
（Ⅰ）討論函數在定義域上的單調性；
（Ⅱ）若函數的圖象在點處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中學?？计谀┮阎瘮?br/>（Ⅰ）討論函數的單調性；
（Ⅱ）若時，任意的，總有，求實數
的取值范圍.
變式1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，，且．
（1）當時，討論的單調性；
（2）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
變式2．（2023·天津南開·高三南開大學附屬中學校考開學考試）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)當時，證明；
(3)若對任意的不等正數，總有，求實數的取值范圍．
題型二：雙變量不等式:轉化為單變量問題
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）已知，若存在兩個極值點，且，求的取值范圍.
例5．（2023·新疆·高二克拉瑪依市高級中學?？茧A段練習）已知函數
(1)若，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
(2)當時，討論f（x）的單調性；
(3)設f（x）存在兩個極值點且，若求證：.
例6．（2023·山東東營·高二東營市第一中學?？奸_學考試）已知函數（為常數）
(1)討論的單調性
(2)若函數存在兩個極值點，且，求的范圍.
變式3．（2023·山東·山東省實驗中學校聯考模擬預測）已知函數，其中．
(1)當時，求函數在處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)若存在兩個極值點的取值范圍為，求的取值范圍．
變式4．（2023·江蘇蘇州·高三統考階段練習）已知函數
(1)討論函數的單調性；
(2)若函數存在兩個極值點，記,求的取值范圍.
變式5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若存在兩個極值點，，且，求的取值范圍．
變式6．（2023·吉林長春·高二長春市實驗中學?？计谥校┰O函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若有兩個極值點，
①求a的取值范圍；
②證明：．
題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題
例7．（2023·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中?？计谀┮阎瘮?
(1)當時，求的單調區間和極值；
(2)若有兩個不同的極值點，.
（i）求實數的取值范圍；
（ii）證明：（……為自然對數的底數）.
例8．（2023·內蒙古·高三霍林郭勒市第一中學統考階段練習）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若存在兩個極值點，證明：．
例9．（2023·全國·模擬預測）已知函數．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若存在兩個極值點、，求實數的取值范圍，并證明：．
變式7．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？计谥校┮阎瘮?，.
(1)當時，討論方程解的個數；
(2)當時，有兩個極值點，，且，若，證明：
（i）；
（ii）.
變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數
（1）討論函數的單調區間；
（2）設，是函數的兩個極值點，證明：恒成立．
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若有兩個極值點，求證：.
題型四：雙變量不等式:中點型
例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中學?？计谀┮阎瘮担?br/>（1）已知為的極值點，求曲線在點處的切線方程；
（2）討論函數的單調性；
（3）當時，若對于任意，都存在，使得，證明：．
例11．（2023·湖北武漢·統考一模）已知函數 .
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）設，證明：當時， ；
（Ⅲ）設是的兩個零點，證明 .
例12．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知函數且.
（1）討論函數的單調性;
（2）當時，若函數的圖象與軸交于，兩點，設線段中點的橫坐標為，證明:.
變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若函數的圖像與x軸交于A，B兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.
變式11．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知函數.
（1）討論函數的單調性；
（2）設函數圖象上不重合的兩點.證明：.（是直線的斜率）
變式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？茧A段練習）已知函數（）．
（1）討論函數的單調性；
（2）設，若函數的兩個極值點，（）恰為函數的兩個零點，且的取值范圍是，求實數的取值范圍．
題型五：雙變量不等式:剪刀模型
例13．（2023·天津和平·耀華中學?？寄M預測）已知函數在點(，)處的切線方程為．
(1)求a、b；
(2)設曲線y＝f(x)與x軸負半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y＝h(x)，求證：對于任意的實數x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若關于的方程有兩個實數根、，且，證明：．
例14．（2023·遼寧沈陽·統考三模）已知函數在點處的切線方程為．
（1）求，；
（2）函數圖像與軸負半軸的交點為，且在點處的切線方程為，函數，，求的最小值；
（3）關于的方程有兩個實數根，，且，證明：．
例15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，是的極值點．
(1)求的值；
(2)設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線．求證：曲線上的點都不在直線的上方；
(3)若關于的方程有兩個不等實根，，求證：．
變式13．（2023·安徽·校聯考二模）已知函數，其中是自然對數的底數.
(1)設曲線與軸正半軸相交于點，曲線在點處的切線為，求證：曲線上的點都不在直線的上方；
(2)若關于的方程（為正實數）有兩個不等實根，求證：.
變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，在點處的切線方程記為，令．
(1)設函數的圖象與軸正半軸相交于，在點處的切線為，證明：曲線上的點都不在直線的上方；
(2)關于的方程為正實數）有兩個實根，，求證：．
題型六：雙變量不等式:主元法
例16．（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯考開學考試）已知函數．
(1)求函數的單調區間和最小值；
(2)當時，求證：（其中為自然對數的底數）；
(3)若，求證：．
例17．（2023·河南信陽·高二校聯考階段練習）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數的最小值，并證明：當時，．（其中e為自然對數的底數）
例18．（2023·山西晉中·高二?？茧A段練習）已知函數（其中為自然對數的底數）．
(1)若，求函數的單調區間；
(2)若，求證：，．
變式15．（2023·廣東廣州·高三廣州大學附屬中學?？茧A段練習）已知函數（其中且為常數，為自然對數的底數，．
(1)若函數的極值點只有一個，求實數的取值范圍；
(2)當時，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
變式16．（2023·全國·高三專題練習）設函數.
(1)求的極值；
(2)設，若對任意的，都有成立，求實數的取值范圍；
(3)若，證明：.
變式17．（2023·廣東珠?！じ咭恢楹Ｊ械诙袑W校考期中）已知函數.
(1)求不等式的解集；
(2)設函數，若存在，使得，求實數的取值范圍；
(3)若對任意的，關于的不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍.

展開更多......

收起↑