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重難點突破07 不等式恒成立問題
目錄
1、利用導數研究不等式恒成立問題的求解策略：
（1）通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題；
（3）根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
2、利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：
一般地，已知函數，，，．
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．
4、法則1若函數和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心鄰域內，與可導且；
（3），
那么=．
法則2若函數和滿足下列條件：（1）及；
（2），和在與上可導，且；
（3），
那么=．
法則3若函數和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心鄰域內，與可導且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：
（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．
（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．
（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限．
（4）若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止．
，如滿足條件，可繼續使用洛必達法則．
題型一：直接法
例1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知函數.
(1)已知函數在處的切線與圓相切，求實數的值.
(2)已知時，恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）依題意，圓的圓心為，半徑為，
對函數求導得，則函數的圖象在處的切線斜率為，而，
于是函數的圖象在處的切線方程為，即，
從而，解得，
所以實數的值為2.
（2）設，依題意，當時，恒成立，
求導得，設，求導得，
當時，當時，，即有，
因此函數，即在上單調遞減，于是當時，，
則函數在上單調遞減，從而當時，，因此，
當時，當時，，則函數，即在上單調遞增，
于是當時，，即函數在上單調遞增，
因此當時，，不合題意，
當時，，函數，即在上單調遞增，
則當時，，即函數在上單調遞增，
于是當時，，不合題意，
所以實數的取值范圍為.
例2．（2023·山東·山東省實驗中學校聯考模擬預測）已知函數，其中．
(1)討論方程實數解的個數；
(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）由可得，，
令，令，可得，
當，函數單調遞減，
當，函數單調遞增，
所以函數在時取得最小值，
所以當時，方程無實數解，
當時，方程有一個實數解，
當時，，故，
而，，
設，則，
故在上為增函數，故，
故有兩個零點即方程有兩個實數解.
（2）由題意可知，
不等式可化為，，
即當時，恒成立，
所以，即，
令，
則在上單調遞增，而，
當即時，在上單調遞增，
故，
由題設可得，
設，則該函數在上為減函數，
而，故.
當即時，因為，
故在上有且只有一個零點，
當時，，而時，，
故在上為減函數，在上為增函數，
故，
而，故，故
因為，故，故符合，
綜上所述，實數的取值范圍為．
例3．（2023·全國·統考高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
(2)若，求的取值范圍．
【解析】（1）因為，所以，
則
，
令，由于，所以，
所以，
因為，，，
所以在上恒成立，
所以在上單調遞減.
（2）法一：
構建，
則，
若，且，
則，解得，
當時，因為，
又，所以，，則，
所以，滿足題意；
當時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
綜上所述：若，等價于，
所以的取值范圍為.
法二：
因為，
因為，所以，，
故在上恒成立，
所以當時，，滿足題意；
當時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
當時，因為，
令，則，
注意到，
若，，則在上單調遞增，
注意到，所以，即，不滿足題意；
若，，則，
所以在上最靠近處必存在零點，使得，
此時在上有，所以在上單調遞增，
則在上有，即，不滿足題意；
綜上：.
變式1．（2023·河南·襄城高中校聯考三模）已知函數，．
(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；
(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．
【解析】（1）因為，所以，
所以曲線在處的切線方程為．
由已知得，，不妨設，
又曲線在點A處的切線方程為，
在點B處的切線方程為，
兩式相減得，
將，，
代入得，
化簡得，
顯然，所以，所以，又，所以．
（2）當直線與曲線相切時，設切點為，
則切線方程為，將點代入，解得，此時，，
根據題意得，，，
即恒成立．
令，則，，令，則，
易知在上單調遞增，所以，
所以在上單調遞增，所以．
若，則，即在上單調遞增，
則，所以在上恒成立，符合題意；
若，則．
又，
所以存在，使得，
當時，，單調遞減，即，
所以此時存在，使得，不符合題意．
綜上可得，a的取值范圍為．
題型二：端點恒成立
例4．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）設函數．
(1)求在處的切線方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【解析】（1）時，；又，則，
切線方程為：，即
（2），
則，又令，
①當，即時，恒成立，∴在區間上單調遞增，
∴，∴，∴在區間上單調遞增，
∴（不合題意）；
②當即時，在區間上單調遞減，
∴，∴，∴在區間上單調遞減，
∴（符合題意）；
③當，即時，由，
∴，使，且時，，
∴在上單調遞增，∴（不符合題意）；
綜上，的取值范圍是；
例5．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學校考模擬預測）已知函數．
(1)當時，求函數在點處的切線方程；
(2)若函數在處取得極值，求實數的值；
(3)若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．
【解析】（1）當時，，定義域為，，
，，
所以函數在點處的切線方程為，即.
（2），
設，則，
依題意得，即，
當時，，當時，，當時，，
所以在處取得極大值，符合題意.
綜上所述：.
（3）當時，，，
當時， ,
令，，
則，
①當時，在上恒成立，故在上為增函數，
所以，故在上為增函數，
故，不合題意.
②當時，令，得，
（i）若，即時，在時，，在上為減函數，
，即，在上為減函數，，符合題意；
(ii)若，即時，
當時，，在上為增函數，，
在上為增函數，，不合題意.
綜上所述：若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是.
例6．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知函數與分別是與的導函數.
(1)證明:當時,方程在上有且僅有一個實數根;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數的取值范圍.
【解析】（1）,
當時,,
令,
令,則,
顯然在上是單調遞增函數,且,
∴在上有唯一零點,
且時,單調遞減,
時,單調遞增,
又,
,
∴在上有唯一的根,
∴在上有唯一零點,
即在上有且僅有一個實數根.
（2）∵,
令,則,
等價于:,
,
令,
則,
令,
則,
故在上單調遞增,,
故即在上單調遞增,,
當時,,
∴在上單調遞增,
∴;
當時,,取,
則,
,
∴,
∴,使得,
時,單調遞減,
此時,不符合題意.
綜上可知:的取值范圍為.
變式2．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數，函數.
(1)求函數的單調區間；
(2)記，對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1），函數定義域為R，
則且，
令，，在上單調遞增，
所以，所以的單調遞增區間為，
，，所以的單調遞減區間為.
（2），，
則，且，
令，，
令，時，
所以在上單調遞增，
①若，，
所以在上單調遞增，所以，
所以恒成立.
②若，，
所以存在，使，
故存在，使得，
此時單調遞減，即在上單調遞減，
所以，故在上單調遞減，
所以此時，不合題意.
綜上，.
實數的取值范圍為.
變式3．（2023·寧夏銀川·校聯考二模）已知函數．
(1)討論在上的單調性；
(2)若對于任意，若函數恒成立，求實數k的取值范圍．
【解析】（1），
，則；，則，
所以在單調遞增，在單調遞減．
（2）令，有
當時，，不滿足；
當時，，
令，
所以在恒成立，
則在單調遞減，
，，
①當，即時，，
所以在單調遞減，
所以，滿足題意；
②當，即時，
因為在單調遞減，，，
所以存在唯一，使得，
所以在單調遞增，
所以，不滿足，舍去.
綜上：.
變式4．（2023·四川瀘州·統考三模）已知函數．
(1)若單調遞增，求a的取值范圍；
(2)若，，求a的取值范圍．
【解析】（1）由，得，
由于單調遞增，則即恒成立，
令，則，
可知時，，則在上單調遞增；
時，，則在上單調遞減，
故時，取得極大值即最大值，
故．所以a的取值范圍是．
（2）由題意時，恒成立，即；
令，原不等式即為恒成立，
可得，，，
令，則，
又設，則，
則，，可知在上單調遞增，
若，有，，則；
若，有，
則，
所以，，，則即單調遞增，
（i）當即時，，則單調遞增，
所以，恒成立，則符合題意．
（ii）當即時，，，
存在，使得，
當時，，則在單調遞減，
所以，與題意不符，
綜上所述，a的取值范圍是.
題型三：端點不成立
例7．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數．
(1)討論函數的極值；
(2)當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．
【解析】（1）由題意可得：的定義域為，且，
①當時，則，可得，
所以在上單調遞減，無極值；
②當時，令，解得；令，解得；
則在上單調遞增，在上單調遞減，
所以有極大值，無小極值；
綜上所述：當時，無極值；
當時，有極大值，無極小值.
（2）因為，則，
構建，則，
①當時，則，則，等號不能同時取到，
所以在上單調遞減；
②當時，構建，則，
因為，則，
所以在上單調遞增，
且，，
故在內存在唯一零點，
當時，則；當時，則；
即當時，則；當時，則；
所以在上單調遞減，在上單調遞增；
綜上所述：在上單調遞減，在上單調遞增，
則，且，
的圖象大致為：

對于函數，由（1）可知：
①當時，在上單調遞減，
且當趨近于0時，趨近于，當趨近于時，趨近于，
即的值域為R，則不恒成立，不合題意；
②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
則，且當趨近于0時，趨近于，當趨近于時，趨近于，
即的值域，
若恒成立，則恒成立，
即，解得；
綜上所述：a的取值范圍.
例8．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學校考期末）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【解析】（1）的定義域為，，
當時，，在上為增函數；
當時，由，得，由，得，
所以在上為減函數，在上為增函數.
綜上所述：當時，在上為增函數；當時，在上為減函數，在上為增函數.
（2）
，
設，則原不等式恒成立等價于在上恒成立，
，在上為增函數，
則在上恒成立，等價于在上恒成立，
等價于在上恒成立
令，，
令，得，令，得，
所以在上為減函數，在上為增函數，
所以，故.
例9．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)若對于任意的，恒成立，求實數的最小值．
【解析】（1）由定義域為
又
令，顯然在單調遞減，且；
∴當時，；
當時，．
則在單調遞增，在單調遞減
（2）法一：∵任意的，恒成立，
∴恒成立，即恒成立
令，則．
令，則在上單調遞增，
∵，．
∴存在，使得
當時，，，單調遞增；
當時，，，單調遞減，
由，可得，
∴，
又
∴，故的最小值是1．
法二：
∴恒成立，即恒成立
令
不妨令，顯然在單調遞增．
∴在恒成立．
令
∴當時，；
當時，即在單調遞增
在單調遞減
∴
∴，故的最小值是1．
變式5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）已知函數，．
(1)若，求函數的最小值及取得最小值時的值；
(2)若函數對恒成立，求實數a的取值范圍．
【解析】（1）當時，，定義域為，
所以，令得，
所以，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以，函數在處取得最小值，.
（2）因為函數對恒成立
所以對恒成立，
令，則，
①當時，，在上單調遞增，
所以，由可得，即滿足對恒成立；
②當時，則，，在上單調遞增，
因為當趨近于時，趨近于負無窮，不成立，故不滿足題意；
③當時，令得
令，恒成立，故在上單調遞增，
因為當趨近于正無窮時，趨近于正無窮，當趨近于時，趨近于負無窮，
所以，使得，，
所以，當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以，只需即可；
所以，，，因為，所以，
所以，解得，所以，，
綜上所解，實數a的取值范圍為．
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中．
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，恒成立，求實數a的取值范圍．
【解析】（1）當時，，函數的定義域為，
求導得，
顯然函數在上單調遞增，且，
因此當時,單調遞減，當時,單調遞增，
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（2），令，求導得，
當時,，則在上單調遞增，，滿足題意，
當時，設，則，因此函數，即在上單調遞增，
而，
(i)當時,在上單調遞增，
于是，滿足題意，
(ii)當，即時，對，則在上單調遞減，
此時，不合題意，
（iii）當時，因為在上單調遞增，
且，于是，使，且當時,單調遞減，
此時，不合題意，
所以實數的取值范圍為.
題型四：分離參數之全分離，半分離，換元分離
例10．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）已知函數.
(1)若的極大值為3，求實數的值；
(2)若，求實數的取值范圍.
【解析】（1）因為，由，得，即的定義域為.
因為，
所以，
因為，
所以當時，，
當時，，所以當時，
在上單調遞增，在上單調遞減.
所以當時，取得極大值，
解得.
（2）當時，，
即，所以.
令，則，
令，則，所以當時，，
當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即，
所以，所以，又，所以，
所以實數的取值范圍是.
例11．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學校考模擬預測）設函數，且．
(1)求函數的單調性；
(2)若恒成立，求實數a的取值范圍．
【解析】（1），，
當時，恒成立，則在上單調遞增；
當時，時，，則在上單調遞減；
時，，則在上單調遞增．
（2）方法一：在恒成立，則
當時，，顯然成立，符合題意；
當時，得恒成立，即
記，，，
構造函數，，則，故為增函數，則.
故對任意恒成立，則在遞減，在遞增，所以
∴．
方法二：在上恒成立，即．
記，，，
當時，在單增，在單減，則，得，舍：
當時，在單減，在單增，在單減，，，
得；
當時，在單減，成立；
當時，在單減，在單增，在單減，，，而，顯然成立．
綜上所述，．
例12．（2023·河北·模擬預測）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)若存在實數，使得關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）函數，，則，
當，即時，恒成立，即在上單調遞增；
當，即時，令，解得，
+ 0
↗ 極大值 ↘
綜上所述，當是，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）等價于，令，
當時，，所以不恒成立，不合題意.
當時，等價于，
由（1）可知，
所以，對有解，所以對有解，
因此原命題轉化為存在，使得.
令，，則，
，
令，則，
所以在上單調遞增，又，
所以當時，，，故在上單調遞減，
當時，，，故在上單調遞增，
所以，所以，
即實數的取值范圍是.
變式7．（2023·福建三明·高三統考期末）已知函數，.
(1)求證：在上單調遞增；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1），，，
由，有，，則，又，
則.
當時，，，所以
所以當時，，綜上，在上單調遞增.
（2）.化簡得.
當時，，所以，
設，

設，.
，，，
在上單調遞增，
又由，所以當時，，，
在上單調遞減；
當時，，，在上單調遞增，
所以，
故.
變式8．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知函數，為的導函數．
(1)討論的極值；
(2)當時，，求k的取值范圍．
【解析】（1），記，則．
①當時，，在R上單調遞減，故無極值．
②當時，令，得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．
所以在處取得極大值，且極大值為．
綜上所述，當時，無極值；當時，的極大值為，無極小值．
（2）可化為，
當時，，此時可得；
當時，不等式可化為，
設，則，
設，則，
所以單調遞增，所以當時，，，
當時，，，
所以函數在和上都為增函數，
取，則，
設，
則當時，，
所以在上單調遞增，
所以當時，，
所以當時，，
所以的最小值為，即，
所以當和時，沒有最小值，
但當x趨近－1時，無限趨近，
且，又恒成立，所以，所以．
綜上，k的取值范圍為．
變式9．（2023·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）已知，.
(1)求的極值；
(2)若，求實數k的取值范圍.
【解析】（1）已知，
當時，恒成立，無極值，
當時，，在上單調遞增，在單調遞減，
當時，有極大值，，無極小值，
綜上：當時，無極值；當時，極大值為，無極小值；
（2）若，則在時恒成立，
恒成立，令，
令，則，
在單調遞減，又，
由零點存在定理知，存在唯一零點，使得，
即，
令在上單調遞增，
， 即
當時，單調遞增，單調遞減，
，
，即的取值范圍為.
變式10．（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知函數.
(1)求函數的極值點個數；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數值.
【解析】（1）已知，
可得
令，則，
函數單調遞減，且當時，，故函數先增后減，
當時，，
其中，∴，∴
當時，，
∴函數只有一個零點，∴函數的極值點個數為1.
（2）變形，得，
整理得，
令，則，∵，∴，
若，則恒成立，即在區間上單調遞增，
由，∴，∴，∴，此時可取的最大整數為2，
若，令，則，令，則，
所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以在區間上有最小值，，
于是問題轉化為成立，求的最大值，
令，則，∵當時，，單調遞減，
當時，單調遞增，∴在處取得最大值，
∵，∴，∵，，
，此時可取的最大整數為4.
綜上，可取的最大整數為4.
變式11．（2023·河南開封·校考模擬預測）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若，求實數的取值范圍．
【解析】（1）函數定義域為，
，
令，則，
當，即時，，所以在定義域上單調遞增；
當，即時恒成立，所以在定義域上單調遞增，
令，則，即，
當，即時解得，所以當時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
當，即，此時恒成立，所以在上單調遞增，
當，即時恒成立，所以在定義域上單調遞減，
令，則，即，解得，
所以當時，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
綜上可得：當時在上單調遞增；
當時在上單調遞增，在上單調遞減；
當時在上單調遞增；
當時在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）當時，即，
即，
令，，則，
所以在上單調遞減，則，
所以，則，
令，，
則，
因為，所以當時，當時，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，即.
題型五：洛必達法則
例13．已知函數在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求實數的值；
(2)若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】(1)，；
函數在處取得極值，；
又曲線在點處的切線與直線垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化為，即；
當時，恒成立；當時，恒成立，
令，則；
令，則；
令，則；
得在是減函數，故，進而
（或，，
得在是減函數，進而）．
可得：，故，所以在是減函數，
而要大于等于在上的最大值，但當時，沒有意義，
變量分離失效，我們可以由洛必達法得到答案，，故答案為．
例14．設函數.當時，，求的取值范圍.
【解析】由題設，此時.
①當時，若，則，不成立；
②當時，當時，，即；
若，則；
若，則等價于，即.
記，則.
記，則，.
因此，在上單調遞增，且，所以，
即在上單調遞增，且，所以.
因此，所以在上單調遞增.
由洛必達法則有，
即當時，，即有，所以.
綜上所述，的取值范圍是.
例15．設函數．如果對任何，都有，求的取值范圍．
【解析】，
若，則；
若，則等價于，即
則.
記，
因此，當時，，在上單調遞減，且，
故，所以在上單調遞減，
而.
另一方面，當時，，
因此.
題型六：同構法
例16．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）已知函數.
(1)若，判斷的零點個數；
(2)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1），
，定義域為，
令，可得，設，則，
令，得在上單調遞增；
令，得，
在上單調遞減，
.當時，；
當時，，從而可畫出的大致圖象，

①當或時，沒有零點；
②當或時，有一個零點；
③當時，有兩個零點.
（2）當時，不等式恒成立，
可化為在上恒成立，
該問題等價于在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
當時，單調遞減；
當時，單調遞增，
，
即，即
①當時，，不等式恒成立；
②當時，令，顯然單調遞增，
且，故存在，使得，
所以，
即，而，此時不滿足，
所以實數不存在.
綜上可知，使得恒成立的實數的取值范圍為.
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函數，.
(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數a的值；
(2)若對，恒成立，求實數a的取值范圍.
【解析】（1）依題意，，，
則，，
因為在點,處的切線與在點,處的切線互相平行，
所以，又因為，所以
（2）由，得，
即，即，
設，則，，
由，設，可得，
所以時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以,
所以在上單調遞增，
所以對恒成立，即對恒成立，
設，則，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，故，
所以實數的取值范圍為．
例18．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學校考階段練習）已知e是自然對數的底數．若，成立，則實數m的最小值是________．
【答案】/
【解析】由得，即，
令，求導得，則在上單調遞增，
顯然，當時，恒有，即恒成立，
于是當時，，有，
從而對恒成立，即對恒成立，
令，求導得，則當時，；當時，，
因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，，則，
所以實數m的最小值是．
故答案為：
變式12．（2023·廣西柳州·統考三模）已知，（），若在上恒成立，則實數a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
即在上恒成立.
易知當時，.
令函數，則，函數在上單調遞增，
故有，則在上恒成立.
令，則，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
所以，即實數的最小值為.
故選：B
變式13．（2023·廣東佛山·統考模擬預測）已知函數，其中.
(1)討論函數極值點的個數；
(2)對任意的，都有，求實數的取值范圍.
【解析】（1）由題意知：定義域為，，
令，則，
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
又，當時，恒成立，
大致圖象如下圖所示，

則當時，恒成立，即恒成立，
在上單調遞減，無極值點；
當時，與有兩個不同交點，
此時有兩個變號零點，有兩個極值點；
當時，與有且僅有一個交點，
此時有且僅有一個變號零點，有且僅有一個極值點；
綜上所述：當時，無極值點；當時，有兩個極值點；當時，有且僅有一個極值點.
（2）由題意知：當時，恒成立；
設，則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，，
即，，
又恒成立，，即實數的取值范圍為.
變式14．（2023·海南·校考模擬預測）已知，函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）當時，，所以
所以，
所以切線方程為，即.
（2）由題意得，即，
因為，所以
設，
令，則在區間上恒成立，即在區間上單調遞增，又時，，又時，，所以存在，使，
令，因為，
所以當時，，即在區間上單調遞減，
當時，，即在區間上單調遞增，
所以，所以，
即，得到，當且僅當時取等號，
所以，
當且僅當時取等號，所以，又，
所以a的取值范圍是.
變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)若，求a的取值范圍．
【解析】（1）．
當時，令，解得，
當，，單調遞減，
當，，單調遞增；
當時，，在R上單調遞減；
當時，令，解得，所以當，，單調遞減，
當，，單調遞增；
綜上，當時，單調遞減區間為，單調遞增區間為；
當時，單調遞減區間為R，無單調遞增區間；
當時，單調遞減區間為，單調遞增區間為．
（2）原不等式為，即．
因為，
所以．
令，則其在區間上單調遞增，取，則；取，則，
所以存在唯一使得，
令，則．
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
所以，即，．
故．
故，
所以．
當且僅當即時，等號成立，
故，即a的取值范圍為．
變式16．（2023·廣東佛山·校考模擬預測）已知函數，其中，.
(1)當時，求函數的零點；
(2)若函數恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）當時，，
，
當時，，得恒成立.
即可得在上單調遞增.
而此時，
即可得在上僅有1個零點，且該零點為0.
（2）函數等價于，
因，所以
得
所以
所以
構造函數，上式等價于
函數在定義域內單調遞增，從而可得成立.
化簡可得等價于恒成立.
設函數，易知，
，
當時，因，，故，
所以在上單調遞增，
所以，滿足題意，
當時，時，，
此時在上單調遞減，
故當時，不符合題意.
綜上可得的取值范圍是.
變式17．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，求實數a的取值范圍.
【解析】（1）當時，,則，
所以，即在點處的切線斜率為.
而，所以切點坐標為，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）因為，
所以，即，即.
令，則.
，所以在上單調遞增，
所以恒成立，即，即恒成立.
令，則，
令，解得，令，解得,
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以.
因為恒成立，所以，解得.
所以實數a的取值范圍是.
題型七：必要性探路
例19．（2023·江西九江·統考三模）已知函數
(1)討論f(x)的單調性：
(2)當時，若，，求實數m的取值范圍．
【解析】（1）．
當時，，易知f(x)在R上單調遞減．
當時，令，可得；令，可得且，
∴f(x)在和上單調遞減，在上單調遞增．
當時，令，可得且；令，可得，
∴在和上單調增，在上單調遞減．
（2）當時，由，得
即，
令，則
∵，且，∴存在，使得當時，，
∴，即．
下面證明當時，對恒成立．
∵，且，
∴
設，∴，可知F(x)在上單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增，
∴，∴，∴，
∴
綜上，實數m的取值范圍為．
例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)若函數在上有且僅有2個零點，求a的取值范圍；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【解析】（1）由已知，令，又，得．
由題設可得，令，其中，
則直線與函數的圖象在上有兩個交點，
因為，當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減．
所以函數的極大值為，且，
當時，直線與函數在上的圖象有兩個交點，
所以函數在上有且僅有2個零點，
故實數a的取值范圍是；
（2）當時，由已知函數的定義域為，
又恒成立，即在時恒成立，
當時，恒成立，即，又，則，
下面證明：當時，在時恒成立.
由（1）得當時，，
要證明，只需證明對任意的恒成立，
令，則，
由，得，
①當，即時在上恒成立，則在上單調遞增，
于是；
②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
于是，
令，則，則在上單調遞增．
于是，所以恒成立，
所以時，不等式恒成立，因此a的取值范圍是．
例21．（2023·江西九江·統考三模）已知函數）在處的切線斜率為.
(1)求a的值；
(2)若，，求實數m的取值范圍.
【解析】（1），
，
，，，.
（2）由（1）可知，，
由，得，
令，則，
，且，存在，使得當時，，
，即；
下面證明當時，，
，且，
，
設，，
當時，；當時，；
可知在上單調遞減，在上單調遞增，
，，，
；
當時，令，則，
設，則，且為單調遞增函數，
由于，故，僅在是取等號，
故在上單調遞增，，故，即，
則在上單調遞增，而，
當時，遞增的幅度遠大于遞增的幅度，，
故必存在，使得，則時，，
故在上單調遞減，則，與題意不符；
綜上，實數m的取值范圍為.
變式18．（2023·福建廈門·統考模擬預測）已知函數．
(1)當時，討論在區間上的單調性；
(2)若，求的值．
【解析】（1）當時，
．
因為，所以．
所以在區間上的單調遞增．
（2），
當時，，所以存在，當時，
則在區間上單調遞減，
所以當時，，不滿足題意
當時，，所以存在，當時，
則在區間上單調遞增，
所以當時，，不滿足題意
所以．
下面證明時，
由（1）知，在區間上的單調遞增，
所以當時，
所以只要證明.
令
令，
則
①當時，，得
所以，所以，
所以在區間上單調遞增
且，
所以，使得.
且當時，；當時，
所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增
且，
所以當時，
所以在區間上單調遞減，
所以當時，
②當時，
因為，所以，所以
所以在區間上單調遞減
且
所以，使得
當時，；當時，
所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減
且
所以當時，
綜上，的值為1.
變式19．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯考模擬預測）已知函數．
(1)若，，求證：有且僅有一個零點；
(2)若對任意，恒成立，求實數a的取值范圍．
【解析】（1）證明：由題意得，當時，，
故．
（i）當時，，記，
則，單調遞增，，
所以，即當時，無零點．
（ii）當時，，，
即當時，無零點．
（iii）當時，．
因為，所以，即單調遞增．
又因為，，
所以當時，存在唯一零點．
綜上，當時，有且僅有一個零點．
（2）易知，因此恒成立，則在0的左側鄰域內，是減函數，有，則．
因為，
所以，得是對任意成立的必要條件．
下面證明充分性．
當時，，等價于．
令，，即證．
（i）當時，，，
即成立．
（ii）當時，記，則．
由，得，所以，即單調遞增，
，即，
，則，
時，，單調遞減，時，，單調遞增，
因此是的最小值，即，所以恒成立，
所以．
綜上，．
題型八：max，min函數問題
例22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，其中.
(1)證明：當時，；當時，；
(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.
【解析】（1），.
當時，，則；當時，，則，
當時，，
所以當時，，在上是增函數，
又，
所以當時，；
當時，.
（2）函數的定義域為，
由（1）知，當時，，
又，
所以當時，恒成立，
由于當時，恒成立，
所以等價于：當時，.
.
①若，當時，，
故，遞增，此時，不合題意；
②若，當時，由知，
存在，使得，根據余弦函數的單調性可知，
在上遞增，故當，，遞增，此時，不合題意；
③若，當時，由知，對任意，，遞減，
此時，符合題意.
綜上可知：存在實數滿足題意，的取值范圍是.
例23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）證明：，.
當時，，則；當時，，則，
當時，，
所以當時，，在上是增函數，
又，
所以當時，；
當時，.
（2）函數的定義域為，
由（1）知，當時，，
又，
所以當時，恒成立，
由于當時，恒成立，
所以等價于：當時，.
.
①若，當時，，
故，遞增，此時，不合題意；
②若，當時，由知，存在，當，
，遞增，此時，不合題意；
③若，當時，由知，對任意，，遞減，
此時，符合題意.
綜上可知：存在實數滿足題意，的取值范圍是.
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
【解析】（1），,
當時，，，則；
當時，，，則，
當時，．
所以當時，，在上是增函數，
又，
所以當時，；
當時，．
（2）函數的定義域為，
由（1）得，當時，，又，
所以當時，恒成立．
由于當時，恒成立，
故等價于：當時，恒成立．
，．
當時，，，故；
當時，，，故．
從而當時，，單調遞增．
①若，即，則當時，，單調遞減，
故當時，，不符合題意；
②若，即，取，
則，且，
故存在唯一，滿足，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
若，則當時，單調遞增，，不符合題意；
若，則，符合題意，此時由得；
若，則當時，單調遞減，，不符合題意．
綜上可知：存在唯一實數滿足題意．
【關鍵點晴】本題第一小問的關鍵點在于提公因式討論，避免二次求導；第二小問首先將將恒成立轉化為在時恒成立，在對研究時，關鍵點是，再結合的單調性及零點存在性定理討論得到a，有一定難度，特別是書寫的規范性.
變式20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.
（1）證明恒成立；
（2）用表示m，n中的最大值.已知函數，記函數，若函數在上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.
【解析】（1）由題得的定義域為，
則在上恒成立等價于在上恒成立，記，則，.
當時，；時，，
故在上單調遞減，上單調遞增，
所以，即恒成立.
（2）由題得，
①當時，，此時無零點.
②當時，，
a.當，即時，是的一個零點；
b.當，即時，不是的一個零點；.
③當時，恒成立，因此只需考慮在上的零點情況.
由，
a.當時，，在上單調遞增，且，
當時，，則在上無零點，故在上無零點；
當時，，則在上無零點，故在上有1個零點；
當時，由，，得在上僅有一個零點，故在上有2個零點；
所以，.
b.當時，由得，
由時，；當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增；
由，，得在上僅有一個零點，故在上有2個零點；
所以，.
綜上所述，時，在上恰有兩個零點.
變式21．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）已知是自然對數的底數，函數，直線為曲線的切線，.
(1)求的值；
(2)①判斷的零點個數；
②定義函數在上單調遞增.求實數的取值范圍.
【解析】（1）由題意得：
設切線的且點位，則可得：，又
可得 ： ①
又因為直線為曲線的切線
故可知 ②
由①②解得：
（2）① 由小問（1）可知：
，
故必然存在零點，且
又因為，當時，
當時，令
故
故在上是減函數
綜上分析，只有一個零點，且
② 由的導數為
當時，遞增，當時，遞減；
對的導數在時，遞增；
設的交點為，由（2）中①可知
當時，
，
由題意得：在時恒成立，即有；
在上最值為
故
當時，
，
由題意得：在時恒成立，即有
令，則可得函數在遞增，在上遞減，即可知在處取得極小值，且為最小值；
綜上所述：，即.
變式22．（2023·全國·高三專題練習）設函數.
（1）若，證明：在上存在唯一零點；
（2）設函數，（表示中的較小值），若，求的取值范圍.
【解析】(1)函數的定義域為，因為，當時，，而，所以在存在零點.因為，當時，，所以，則在上單調遞減，所以在上存在唯一零點.
（2）由（1）得，在上存在唯一零點，時，時，
.當時，由于；時，，于是在單調遞增，則，所以當時，.當時，因為，時，，則在單調遞增；時，，則在單調遞減，于是當時，，所以函數的最大值為，所以的取值范圍為.
題型九：構造函數技巧
例25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．
（1）討論函數的單調性；
（2）若，且關于的不等式在上恒成立，其中是自然對數的底數，求實數的取值范圍．
【解析】（1）根據題意可知的定義域為，
，令，得．
當時，時，，時；
當時，時，，時．
綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）依題意，，即在上恒成立，
令，則．
對于，，故其必有兩個零點，且兩個零點的積為，
則兩個零點一正一負，設其正零點為，
則，即，
且在上單調遞減，在上單調遞增，
故，即．
令，
則，
當時，，當時，，
則在上單調遞增，在上單調遞減，
又，故，
顯然函數在上是關于的單調遞增函數，
則，
所以實數的取值范圍為．
例26．（2023·江蘇·統考高考真題）已知關于x的函數與在區間D上恒有．
（1）若，求h(x)的表達式；
（2）若，求k的取值范圍；
（3）若求證：．
【解析】（1）[方法一]:判別式法
由可得在R上恒成立，
即和，
從而有即，
所以，
因此，．所以．
[方法二]【最優解】：特值+判別式法
由題設有對任意的恒成立.
令，則，所以.
因此即對任意的恒成立，
所以，因此.
故.
（2）[方法一]
令，.
又.
若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.
當時，，符合題意.
當時， 在上遞減，在上遞增，則，
即，符合題意.
綜上所述，.
由
當，即時，在為增函數，
因為，
故存在，使，不符合題意.
當，即時，，符合題意.
當，即時，則需，解得.
綜上所述，的取值范圍是.
[方法二]【最優解】：特值輔助法
由已知得在內恒成立；
由已知得，
令，得，∴(*)，
令，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，∴，∴當時在內恒成立；
由在內恒成立，由(*)知，∴，∴，解得.
∴的取值范圍是.
（3）[方法一]：判別式+導數法
因為對任意恒成立，
①對任意恒成立，
等價于對任意恒成立.
故對任意恒成立.
令，
當，，
此時，
當，，
但對任意的恒成立.
等價于對任意的恒成立.
的兩根為，
則，
所以.
令，構造函數，，
所以時，，遞減，.
所以，即.
[方法二]：判別式法
由，從而對任意的有恒成立，等價于對任意的①，恒成立．
（事實上，直線為函數的圖像在處的切線）
同理對任意的恒成立，即等價于對任意的恒成立． ②
當時，將①式看作一元二次方程，進而有，①式的解為或（不妨設）；
當時，，從而或，又，從而成立；
當時，由①式得或，又，所以．
當時，將②式看作一元二次方程，進而有．
由，得，此時②式的解為不妨設，從而．
綜上所述，．
[方法三]【最優解】：反證法
假設存在，使得滿足條件的m，n有．
因為，所以．
因為，所以．
因為對恒成立，所以有
．則有
， ③
， ④
解得．
由③+④并化簡得，．
因為在區間上遞增，且，
所以，．
由對恒成立，即有 ⑤
對恒成立，將⑤式看作一元二次方程，進而有．
設，則，
所以在區間上遞減，所以，即．
設不等式⑤的解集為，則，這與假設矛盾．從而．
由均為偶函數．同樣可證時，也成立．
綜上所述，．
【整體點評】（1）的方法一利用不等式恒成立的意義，結合二次函數的性質，使用判別式得到不等式組，求解得到；方法二先利用特值求得的值，然后使用判別式進一步求解，簡化了運算，是最優解；（2）中的方法一利用導數和二次函數的性質，使用分類討論思想分別求得的取值范圍，然后取交集；方法二先利用特殊值進行判定得到，然后在此基礎上，利用導數驗證不等式的一側恒成立，利用二次函數的性質求得不等式的另一側也成立的條件，進而得到結論，是最優解；（3）的方法一、方法二中的分解因式難度較大，方法三使用反證法，推出矛盾，思路清晰，運算簡潔，是最優解.
例27．（2023·湖北·統考模擬預測）已知函數.
(1)求函數在處的切線方程；
(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1），，
，
的圖像在處的切線方程為，即.
（2）解法一：由題意得，因為函數，
故有，等價轉化為，
即在時恒成立，所以，
令，則，
令，則，所以函數在時單調遞增，
，，
，使得，
當時，，即單調遞減，當時，，即單調遞增，
故，
由，得
在中，，當時，，
函數在上單調遞增，，即與，
，
，即實數的取值范圍為.
解法二：因為函數，
故有，等價轉化為：，
構造，
，所以可知在上單調遞減，在上單調遞增，
，即成立，令，
令， 在單調遞增，
又，所以存在，使得，即，
可知，
當時，可知恒成立，即此時不等式成立；
當時，又因為，
所以，與不等式矛盾；
綜上所述，實數的取值范圍為.
變式23．（2023·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯考期末）已知函數.
(1)當時，求的單調遞增區間；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）當時，，，
設
又，∴在上單調遞增，
又，∴當時，當時，
∴的單調遞增區間為.
（2）對函數求導得，，令，
則，∴在上單調遞增，
又，當時，
故存在唯一正實數使得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
∴，
由恒成立，得，
由得，∴
∴，∴，
∴，
設，則恒成立，
故在上單調遞增，而，
∴，
又且函數在上是增函數，
故的取值范圍為
法2：同法一得，
由得，
∴
，當且僅當時等號成立，
∴，
故的取值范圍為
變式24．（2023·福建泉州·統考模擬預測）已知函數．
(1)判斷的導函數的零點個數；
(2)若，求a的取值范圍．
【解析】（1）由題意可得：的定義域為，且，
因為，則有：
當時，恒成立，在內無零點；
當時，構建，則恒成立，
則在上單調遞增，
由于，取，
則，
，
故在內有且僅有一個零點，即在內有且僅有一個零點；
綜上所述：當時，在內無零點；
當時，在內有且僅有一個零點.
（2）由題意可知：，
由（1）可知：在內有且僅有一個零點，設為，
可得：當時，；當時，；
則在上單調遞減，在上單調遞增，
則，
因為，
則，且
可得，
整理得，
構建，
則，
對于，由，可得，
所以，
則在上單調遞增，且，
所以的解集為，
又因為在定義域內單調遞減，
可得，所以，
故a的取值范圍.
變式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學校考模擬預測）已知函數，（e為自然對數的底數）．
(1)若函數的最大值為0，求a的值；
(2)若對于任意正數x，恒成立，求實數a的取值范圍．
【解析】（1）因為函數的定義域為，且，
當時，，所以函數為增函數，沒有最大值；
當時，令，得，令，得，
所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
所以當時，，
解得：.
（2）由，得，
化簡得：，
所以對于任意正數x，都有恒成立，
設，則，
令，則，可得為增函數，
因為，，
所以存在，使得，
當時，，即，單調遞減，
當時，，即，單調遞增，
所以的最小值為，
由可得， ，兩邊同時取對數，
得，
令，顯然為增函數，由，
得，所以，
所以.
所以，即.
故實數a的取值范圍為：.
變式26．（2023·重慶萬州·統考模擬預測）已知函數．
(1)討論的極值；
(2)當時，關于x的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．
【解析】（1），
若，則，則在上單調遞減，無極值；
若，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，無極大值；
若，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，無極小值；
綜上所述，若，無極值；
若，，無極大值；
若，，無極小值；
（2）時，，所以有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，轉化為在上恒成立，
，
當時，所以在上單調遞增，，
滿足題意；
當時，令，，
則，設，，
則，因為，所以，
所以，所以在上單調遞增，
所以，即在上恒成立，
所以即在上單調遞增，
又因為，
當即時，，在上恒成立，所以在上單調遞增，所以在上恒成立，
當時，，
如果在上恒成立，則在上單調遞減，則無最小值，不符合題意；
如果有解時，設，則在上單調遞減，在上單調遞增，則在時，，不符合題意；
綜上所述，，即實數的取值范圍是．
變式27．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知函數的導函數為.
(1)當時，求函數的極值點的個數；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）當時，，定義域為，，
令，則.
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，又，，
所以，，
所以存在唯一的，，使得，
且當和時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增，
故在處取得極小值，在處取得極大值，即函數的極值點的個數為2.
（2），，即恒成立，
即在上恒成立.
記，
當時，，不合題意；
當時，.
記，則，
所以在上單調遞增，又，
所以使得，即，①
故當時，，即，當時，，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，②
由①式可得，所以，
代入②式得，
因為，即，
故，即，
所以當時，恒成立，故實數的取值范圍為.
變式28．（2023·福建漳州·統考模擬預測）已知函數與的圖象有公切線.
(1)求實數和的值；
(2)若，且，求實數的最大值.
【解析】（1）將代入，得，
由，得，所以切線方程為，
因為，設曲線與切線相切于點，
則，所以，
解得或（舍去），所以，
又因為，即，即，所以，
所以，.
（2）因為，所以
，
因為，所以，
所以，僅當時，等號成立，
令，則，
因為，
所以當時，恒成立，
令，，
則在上單調遞增，
所以.所以在上單調遞減，
所以，所以，
所以的最大值為.
題型十：雙變量最值問題
例28．（2023·江蘇·統考模擬預測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（ ）
A． B．－1 C． D．－2
【答案】C
【解析】因為對于，恒成立，
所以對于，恒成立，
設，所以.
當時，，函數單調遞增，
所以函數沒有最大值，所以這種情況不滿足已知；
當時，
當時，，函數單調遞增.
當時，，函數單調遞減.
所以.
所以.
所以.
設，
所以，
當時，，函數單調遞減.
當時，，函數單調遞增.
所以.
所以的最小值為.
故選：C
例29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，其中．
（1）當時，直線與函數的圖象相切，求的值；
（2）當時，若對任意，都有恒成立，求的最小值．
【解析】（1）當時，直線與函數的圖象相切于，
因為，所以，
則且，即，解得：.
（2）若對任意，都有恒成立，得.
假設，則當時，，
而當時，.
取，則當時，，
而，矛盾；故.
當時，由，得，即.
下證：能取到.
當時，.
記，則，
令，得；令，得；
所以在上單調遞增，在上單調遞增，
所以，即.
所以.
即對任意恒成立，
故的最小值為.
例30．（2023·河南南陽·高三南陽中學校考階段練習）已知函數，，其中
(1)若，且的圖象與的圖象相切，求的值；
(2)若對任意的恒成立，求的最大值.
【解析】(1)因為的圖象與的圖象相切，設切點為，
又，所以，解得，.
(2)因為等價于，令，
當時，對于任意正實數恒成立，單調遞增，
故由得，此時
當時，由，得，
又當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增.
所以當時，有最小值，
所以，即，所以，
令，則，，
當時，，為增函數，
當時，，為減函數，
所以，故，所以的最大值為1，此時，
綜上所述，的最大值為1.
變式29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中.(為自然對數的底數)
（1）求在點處的切線方程；
（2）若時，在上恒成立.當取得最大值時，求的最小值.
【解析】（1）由，得，
所以，
因為，
所以在點處的切線方程為，即，
（2），
令，則，所以
，，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，此時，
綜上，的最小值為
變式30．（2023·全國·高三專題練習）已知函數f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的單調區間，
（2）若關于x不等式aex≥x+b對任意和正數b恒成立，求的最小值.
【解析】（1）f′(x)=aex﹣1，
當a≤0時， <0，f(x)在R上單調遞減，
若a>0時，令=aex﹣1=0，x=﹣lna，
在x>﹣lna時， >0，f(x)為增函數，
在x<﹣lna時， <0，f(x)為減函數，
所以，當時，的單調減區間為，無增區間；
當時，的單調減區間為，增區間為.
（2）f(x)=aex﹣x，由題意f(x)min≥b，
由（1）可知，當a≤0時，f(x)在R上單調遞減，無最小值，不符合題意，
當a>0時，f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b，
∴，
設h(a)，則 ，
a∈(0，1]， <0；a∈[1，+∞)，≥0，
∴h(a)min=h（1）=1.
所以的最小值為.
變式31．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學校考期中）給定實數，函數，（其中，．
(1)求經過點的曲線的切線的條數；
(2)若對，有恒成立，求的最小值．
【解析】（1）因為
，
設切點為，，
所以切線方程為：，
又因為切線過，
所以，
所以，即，
令，
則，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以，
所以只有一個解為，即只有一個解為，
所以切點為，
所以，
故只有一條切線；
（2）因為，
所以，
即當時，恒成立．
設，則．
令，則，△，
所以方程有兩異號的根，，
設，，
當時，，當，時，，
所以在單調遞增，在，單調遞增減，且；
又因為在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
則，
令，即，單調增函數；
令，即，單調減函數；
所以的最小值為，
于是有：，
，
所以的最小值為1．
變式32．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考開學考試）設函數，.
(1)若，討論的單調性；
(2)若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.
【解析】（1）由于，則定義域為，
可得：，
當時，∵，∴，故在區間上單調遞減；
當時，∵，∴由得，由可得，
故在區間單調遞減，在區間上單調遞增.
綜上：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）令，則對，都有成立.
因為，
所以當時，函數在在上單調遞增，
注意到，∴這與恒成立矛盾，不成立；
當時，得，得
則在區間上單調遞增，在上單調遞減，
∴.
若對，都有成立，則只需成立，
，
當時，則的最小值，
∵，得，得，
∴函數在上遞增，在上遞減，∴，
即的最大值為.
變式33．（2023·高二單元測試）若對于任意正實數，都有( 為自然對數的底數)成立，則的最小值是________.
【答案】0
【解析】因為對于任意正實數x都有成立，
不妨將 代入不等式中，得.
下面證明時滿足題意，
令， ，則 .
由 ，得 ，函數在 上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即對任意正數x都成立，
即，時滿足題意，所以的最小值為0.
故答案為:0
變式34．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）設，若關于的不等式在上恒成立，則的最小值是___________.
【答案】/
【解析】由題意知，不等式在上恒成立，
令，則在上恒成立，
令，所以，
若，則在遞增，當時，，不等式不恒成立，
故，當時，，當時，，
所以當時，取得最大值，
所以，所以，所以，
令，則，
所以，當時，當時，，
所以當時，取得最小值的最小值是.
又，所求最小值是.
故答案為：重難點突破07 不等式恒成立問題
目錄
1、利用導數研究不等式恒成立問題的求解策略：
（1）通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題；
（3）根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
2、利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：
一般地，已知函數，，，．
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．
4、法則1若函數和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心鄰域內，與可導且；
（3），
那么=．
法則2若函數和滿足下列條件：（1）及；
（2），和在與上可導，且；
（3），
那么=．
法則3若函數和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心鄰域內，與可導且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：
（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．
（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．
（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限．
（4）若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止．
，如滿足條件，可繼續使用洛必達法則．
題型一：直接法
例1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知函數.
(1)已知函數在處的切線與圓相切，求實數的值.
(2)已知時，恒成立，求實數的取值范圍.
例2．（2023·山東·山東省實驗中學校聯考模擬預測）已知函數，其中．
(1)討論方程實數解的個數；
(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．
例3．（2023·全國·統考高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
(2)若，求的取值范圍．
變式1．（2023·河南·襄城高中校聯考三模）已知函數，．
(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；
(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．
題型二：端點恒成立
例4．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）設函數．
(1)求在處的切線方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
例5．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學校考模擬預測）已知函數．
(1)當時，求函數在點處的切線方程；
(2)若函數在處取得極值，求實數的值；
(3)若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．
例6．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知函數與分別是與的導函數.
(1)證明:當時,方程在上有且僅有一個實數根;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數的取值范圍.
變式2．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數，函數.
(1)求函數的單調區間；
(2)記，對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.
變式3．（2023·寧夏銀川·校聯考二模）已知函數．
(1)討論在上的單調性；
(2)若對于任意，若函數恒成立，求實數k的取值范圍．
變式4．（2023·四川瀘州·統考三模）已知函數．
(1)若單調遞增，求a的取值范圍；
(2)若，，求a的取值范圍．
題型三：端點不成立
例7．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數．
(1)討論函數的極值；
(2)當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．
例8．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學校考期末）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍．
例9．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)若對于任意的，恒成立，求實數的最小值．
變式5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）已知函數，．
(1)若，求函數的最小值及取得最小值時的值；
(2)若函數對恒成立，求實數a的取值范圍．
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中．
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，恒成立，求實數a的取值范圍．
題型四：分離參數之全分離，半分離，換元分離
例10．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）已知函數.
(1)若的極大值為3，求實數的值；
(2)若，求實數的取值范圍.
例11．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學校考模擬預測）設函數，且．
(1)求函數的單調性；
(2)若恒成立，求實數a的取值范圍．
例12．（2023·河北·模擬預測）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)若存在實數，使得關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.
變式7．（2023·福建三明·高三統考期末）已知函數，.
(1)求證：在上單調遞增；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍.
變式8．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知函數，為的導函數．
(1)討論的極值；
(2)當時，，求k的取值范圍．
變式9．（2023·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）已知，.
(1)求的極值；
(2)若，求實數k的取值范圍.
變式10．（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知函數.
(1)求函數的極值點個數；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數值.
變式11．（2023·河南開封·校考模擬預測）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若，求實數的取值范圍．
題型五：洛必達法則
例13．已知函數在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求實數的值；
(2)若，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
例14．設函數.當時，，求的取值范圍.
例15．設函數．如果對任何，都有，求的取值范圍．
題型六：同構法
例16．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）已知函數.
(1)若，判斷的零點個數；
(2)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函數，.
(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數a的值；
(2)若對，恒成立，求實數a的取值范圍.
例18．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學校考階段練習）已知e是自然對數的底數．若，成立，則實數m的最小值是________．
變式12．（2023·廣西柳州·統考三模）已知，（），若在上恒成立，則實數a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式13．（2023·廣東佛山·統考模擬預測）已知函數，其中.
(1)討論函數極值點的個數；
(2)對任意的，都有，求實數的取值范圍.
變式14．（2023·海南·校考模擬預測）已知，函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍.
變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)若，求a的取值范圍．
變式16．（2023·廣東佛山·校考模擬預測）已知函數，其中，.
(1)當時，求函數的零點；
(2)若函數恒成立，求的取值范圍.
變式17．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，求實數a的取值范圍.
題型七：必要性探路
例19．（2023·江西九江·統考三模）已知函數
(1)討論f(x)的單調性：
(2)當時，若，，求實數m的取值范圍．
例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)若函數在上有且僅有2個零點，求a的取值范圍；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
例21．（2023·江西九江·統考三模）已知函數）在處的切線斜率為.
(1)求a的值；
(2)若，，求實數m的取值范圍.
變式18．（2023·福建廈門·統考模擬預測）已知函數．
(1)當時，討論在區間上的單調性；
(2)若，求的值．
變式19．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯考模擬預測）已知函數．
(1)若，，求證：有且僅有一個零點；
(2)若對任意，恒成立，求實數a的取值范圍．
題型八：max，min函數問題
例22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，其中.
(1)證明：當時，；當時，；
(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.
例23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
變式20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.
（1）證明恒成立；
（2）用表示m，n中的最大值.已知函數，記函數，若函數在上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.
變式21．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）已知是自然對數的底數，函數，直線為曲線的切線，.
(1)求的值；
(2)①判斷的零點個數；
②定義函數在上單調遞增.求實數的取值范圍.
變式22．（2023·全國·高三專題練習）設函數.
（1）若，證明：在上存在唯一零點；
（2）設函數，（表示中的較小值），若，求的取值范圍.
題型九：構造函數技巧
例25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．
（1）討論函數的單調性；
（2）若，且關于的不等式在上恒成立，其中是自然對數的底數，求實數的取值范圍．
例26．（2023·江蘇·統考高考真題）已知關于x的函數與在區間D上恒有．
（1）若，求h(x)的表達式；
（2）若，求k的取值范圍；
（3）若求證：．
例27．（2023·湖北·統考模擬預測）已知函數.
(1)求函數在處的切線方程；
(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍.
變式23．（2023·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯考期末）已知函數.
(1)當時，求的單調遞增區間；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
變式24．（2023·福建泉州·統考模擬預測）已知函數．
(1)判斷的導函數的零點個數；
(2)若，求a的取值范圍．
變式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學校考模擬預測）已知函數，（e為自然對數的底數）．
(1)若函數的最大值為0，求a的值；
(2)若對于任意正數x，恒成立，求實數a的取值范圍．
變式26．（2023·重慶萬州·統考模擬預測）已知函數．
(1)討論的極值；
(2)當時，關于x的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．
變式27．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知函數的導函數為.
(1)當時，求函數的極值點的個數；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍.
變式28．（2023·福建漳州·統考模擬預測）已知函數與的圖象有公切線.
(1)求實數和的值；
(2)若，且，求實數的最大值.
題型十：雙變量最值問題
例28．（2023·江蘇·統考模擬預測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（ ）
A． B．－1 C． D．－2
例29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，其中．
（1）當時，直線與函數的圖象相切，求的值；
（2）當時，若對任意，都有恒成立，求的最小值．
例30．（2023·河南南陽·高三南陽中學校考階段練習）已知函數，，其中
(1)若，且的圖象與的圖象相切，求的值；
(2)若對任意的恒成立，求的最大值.
變式29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中.(為自然對數的底數)
（1）求在點處的切線方程；
（2）若時，在上恒成立.當取得最大值時，求的最小值.
變式30．（2023·全國·高三專題練習）已知函數f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的單調區間，
（2）若關于x不等式aex≥x+b對任意和正數b恒成立，求的最小值.
變式31．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學校考期中）給定實數，函數，（其中，．
(1)求經過點的曲線的切線的條數；
(2)若對，有恒成立，求的最小值．
變式32．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考開學考試）設函數，.
(1)若，討論的單調性；
(2)若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.
變式33．（2023·高二單元測試）若對于任意正實數，都有( 為自然對數的底數)成立，則的最小值是________.
變式34．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）設，若關于的不等式在上恒成立，則的最小值是___________.

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