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重難點突破08 證明不等式問題
目錄
利用導數證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；
（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
（4）對數單身狗，指數找基友
（5）凹凸反轉，轉化為最值問題
（6）同構變形
題型一：直接法
例1．（2023·北京房山·北京市房山區良鄉中學校考模擬預測）已知函數．
(1)若函數在點處的切線平行于直線，求切點P的坐標及此切線方程；
(2)求證：當時，．（其中）
【解析】（1）由題意得，，所以切線斜率，
所以，即，此時切線方程為；
（2）令，，則，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
又，，
所以，即恒成立，
所以當時，．
例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求證：.
【解析】（1）,，
,所以切點為，由點斜式可得，，
所以切線方程為：.
（2）由題可得，
設，
，
所以當時，，
當時，，
所以在單調遞增，單調遞減，
所以，
即.
例3．已知函數，．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，證明：，．
【解析】解：（1），
因，，
①當時，，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；
②當時，，函數在內單調遞增；
③當時，，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；
綜上：當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；
當時，函數在內單調遞增；
當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；
（2）當時，由（1）得，函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增，
函數在內的最小值為，
欲證不等式成立，即證，即證，
因，所以只需證，
令，則，
所以，函數在，內單調遞減，（1），
又因，即．所以，
即當時，成立，
綜上，當時，，．
題型二：構造函數（差構造、變形構造、換元構造、遞推構造）
例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知函數．
(1)證明：；
(2)討論的單調性，并證明：當時，．
【解析】（1）證明：令，則，
所以在上單調遞減，所以，即．
令，則有，
所以，所以，即．
（2）由可得，
令，則，
令，則，
所以在上單調遞增，．
令，則有，
所以在上單調遞增，所以在上單調遞增，
所以對于，有，
所以，所以，
即，
整理得：．
例5．已知曲線與曲線在公共點處的切線相同，
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）求證：當時，．
【解析】（Ⅰ）解：，，
依題意（1）（1），；
（Ⅱ）證明：由，得，
令，則，
時，，遞減；
時，，遞增．
時，（1），即，
綜上所述，時，．
例6．已知函數，．
（1）求函數的單調區間；
（2）若直線是函數圖象的切線，求證：當時，．
【解析】（1）解：，
當時，，在上單調遞增；
當時，令，可得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增．
綜上可得，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）證明：直線是函數圖象的切線，設切點為，，
則，即，
切點在切線上，，
，
，解得，
當時，等價于，
等價于，
設，
則，
，，由，得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
（1），即，
．
變式1．已知函數．
（1）證明：；
（2）數列滿足：，．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）證明：，．
【解析】證明：（1）由題意知，，，
①當時，，
所以 在區間上單調遞減，
②當時，令，因為，
所以 在區間上單調遞增，因此，
故當時，，
所以 在區間 上單調遞增，
因此當 時，，
所以；
（2）（ⅰ）由（1）知，在區間 上單調遞增，，
因為，
故，
所以，
因此當 時，，又因為，
所以，
（ⅱ）函數，，則，
令，則，
所以 在區間 上單調遞增；
因此，
所以 在區間 上單調遞減，所以，
因此，
所以對，．
變式2．討論函數的單調性，并證明當時，．
【解析】解：，，
當時，或，
在和上單調遞增，
證明：時，
．
題型三：分析法
例7．已知函數，已知是函數的極值點．
（1）求；
（2）設函數．證明：．
【解析】（1）解：由題意，的定義域為，
令，則，，
則，
因為是函數的極值點，則有，即，所以，
當時，，且，
因為，
則在上單調遞減，
所以當時，，
當時，，
所以時，是函數的一個極大值點．
綜上所述，；
（2）證明：由（1）可知，，
要證，即需證明，
因為當時，，
當時，，
所以需證明，即，
令，
則，
所以，當時，，
當時，，
所以為的極小值點，
所以，即，
故，
所以．
例8．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知函數
(1)求在處的切線;
(2)若，證明當時，.
【解析】（1）因為，所以，切線斜率為
因為，所以切點為
切線方程為即
（2）法一：令，所以，
所以在單調遞增，，
所以，所以，
所以要證只需證明
變形得
因為
所以只需證明，即
兩邊同取對數得：
令，
則
顯然在遞增，
所以存在當時遞減，
當時遞增;
因為
所以在上恒成立，所以原命題成立
法二：設則，
要證：
需證：
即證：
因為，需證，即證：
①時必然成立
②時，因為所以只需證明，
令，，
令，
∴在上為增函數
因為
，所以
所以存在，使得
∴在上為減函數，在上為增函數
∴
綜上可知，不等式成立
例9．已知，函數，其中為自然對數的底數．
（Ⅰ）證明：函數在上有唯一零點；
（Ⅱ）記為函數在上的零點，證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】證明：（Ⅰ），恒成立，
在上單調遞增，
，（2），又，
函數在上有唯一零點．
（Ⅱ），，
，，
令，，，
一方面，，，
，在單調遞增，
，
，，
另一方面，，，
當時，成立，
只需證明當時，，
，，，
當時，，當時，，
，（1），，（1），
，在單調遞減，
，，
綜上，，
．
要證明，只需證，
由得只需證，
，只需證，
只需證，即證，
，，
，
．
變式3．已知函數在上有零點，其中是自然對數的底數．
（Ⅰ）求實數的取值范圍；
（Ⅱ）記是函數的導函數，證明：．
【解析】（Ⅰ）解：函數，則，
①當時，恒成立，
則在上單調遞增，
所以，故函數無零點，不符合題意；
②當時，由，得，
若，即，此時在上單調遞增，不符合題意；
若，即，則在上單調遞減，在上單調遞增，
又，故，使得，
而當時，時，
故，使得，
根據零點存在定理，，，使得，符合題意；
綜上所述，實數的取值范圍是；
（Ⅱ）證明：，
所以，即，
由（Ⅰ）知且在上單調遞減，在上單調遞增，
故只要證明：，
即，，
設，
則，
故在上單調遞增，即（1），
所以成立；
綜上所述，成立．
題型四：凹凸反轉、拆分函數
例10．（2023·北京·高三專題練習）已知函數，當，時，證明：任意的，都有恒成立.
【解析】由題設有，設，，
要證即證.
下面證明：當時，.
此時，，
當時，，
故在上為減函數，在上為增函數，
當時，，
故在上為增函數，在上為減函數，
故在上，有，，
故當時，.
當，，，
當時，要證即證即證，
設，其中，故，
當時，；當時，，
故在上為增函數，在上為減函數，
故在上，，
故，所以當時，成立.
綜上，任意的，都有恒成立.
例11．（2023·河南開封·校考模擬預測）設函數，．
(1)若函數在上存在最大值，求實數的取值范圍；
(2)當時，求證：．
【解析】（1）（1）由得：（），
①當時，，所以在上單調遞增，在不存在最大值，
②當時，令，解得：，
當時，，在上單調遞增，
當時，在上單調遞減，
所以在時，取得最大值，
又由函數在上存在最大值，
因此，解得：，
所以的取值范圍為.
（2）證明：當時，，且函數的定義域為，
要證明，即證明時，，
只需要證明：時，，
因為，所以不等式等價于
設（），則，
令得：，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故，且當時，等號成立；
又設（），則，
令得：，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故，且當時，等號成立；
綜上可得：時，，且等號不同時成立，
所以時，，
即當時，得證.
例12．已知函數．
（Ⅰ）若是的極小值點，求的取值范圍；
（Ⅱ）若，為的導函數，證明：當時，．
【解析】解：（Ⅰ）的定義域是，
則，
若，則當時，，當，時，，
故是函數的極小值點，符合條件，
若，令，解得：或，
若，則當和，時，
當時，，
故是的極小值點，符合條件，
若，則恒成立，沒有極值點，不符合條件，
若，則當和時，
當，時，故是的極大值點，不符合條件，
故的取值范圍是，；
（Ⅱ）當時，，，
則，，，
設，，，，
由，可得（1），當且僅當時“”成立，
，
設，則在，上遞減，
（1），（2），
故存在，，使得當時，，當，時，，
故在上單調遞增，在，上單調遞減，
由于（1），（2），故（2），當且僅當時“”成立，
故當時，（1）（2）．
變式4．已知函數．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）求證：．
【解析】解
當時，恒成立，故函數在上單調遞增
當時，由可得或
由可得
綜上可得，時，恒成立，故函數在上單調遞增
當時，函數的單調遞增區間為，，，單調遞減區間
證明：原不等式可化為
容易得，上式兩邊同乘以可得
設，
則由可得（舍或
時，，時，
當時，函數取得最小值
當且僅當即時取等號
令，可得在上單調遞增，且（1）
當時，有最小值
由于上面兩個等號不能同時取得，故有，則原不等式成立
題型五：對數單身狗，指數找朋友
例13．已知函數．
（Ⅰ）當時，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）當時，求證．
【解析】解：（Ⅰ），；
時，；，時，；
（1）是函數的極小值，即的最小值；又，（2）；
的最大值是；
函數在上的最小值是0，最大值是；
（Ⅱ），要證明原不等式成立，只要證明；
設，則；
函數在上是增函數，（1）；
；
原不等式成立．
例14．已知函數，曲線在點，（1）處的切線方程為．
（1）求、的值；
（2）當且時．求證：．
【解析】解：（1）函數的導數為，
曲線在點，（1）處的切線方程為，
可得（1），（1），
解得；
（2）證明：當時，，
即為，
即，
當時，，
即為，
設，，
可得在遞增，
當時，（1），即有；
當時，（1），即有．
綜上可得，當且時，都成立．
例15．已知二次函數對任意實數都滿足，且（1），令．
（1）求的表達式；
（2）設，．證明：對任意，，，恒有．
【解析】（1）解：設，于是，
所以，，
又（1），則．
所以．（5分）
（2）證明：因為對，，，
所以在，內單調遞減．
于是（1）
證明，即證明，
記，
則，
所以函數在，是單調增函數，
所以（e），故命題成立．（12分）
變式5．已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）若函數圖象過點，求證：．
【解析】解：（1）函數的定義域為，又，
當時，，在上單調遞增；
當時，由得，
若，則在上單調遞增；
若，則在上單調遞減；
（2）證明：函數圖象過點，可得，此時，
要證，令，則，
令，則，
當時，，故在上單調遞增，
由，即，故存在使得，此時，故，
當時，，當，時，，
函數在上單減，在，上單增，
故當時，有最小值，
成立，即得證．
變式6．已知函數．
（Ⅰ）討論函數的單調性；
（Ⅱ）若函數圖象過點，求證：．
【解析】解：（Ⅰ）函數的定義域為，．
當時，，在上單調遞增；
當時，由，得．
若，，單調遞增；
若，，單調遞減
綜合上述：當時，在上單調遞增；
當時，在單調遞增，在上單調遞減．
（Ⅱ）證明：函數圖象過點，
，解得．
．即．．
令．．．
令，，
函數在上單調遞增，
存在，使得，可得，．
．
成立．
題型六：放縮法
例16．（2023·全國·高三專題練習）已知，，．
(1)當時，求函數的極值；
(2)當時，求證：．
【解析】（1），當時，，即在上單調遞減，
故函數不存在極值；
當時，令，得，
x
+ 0 -
增函數 極大值 減函數
故，無極小值.
綜上，當時，函數不存在極值；
當時，函數有極大值，，不存在極小值．
（2）顯然，要證：，
即證：，即證：，
即證：．
令，故只須證：．
設，則，
當時，，當時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
即，所以，從而有．
故，即．
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函數 （，為自然對數的底數）．
(1)討論函數的單調性；
(2)當時，求證：.
【解析】（1），
（ⅰ）當時，，所以，，
則在上單調遞增，在上單調遞減；
（ⅱ）當時，令，得，
①時，，
所以或，，
則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
②時，，則在上單調遞增；
③時，，所以或，，
則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上，時，在上單調遞增，在上單調遞減；
時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
時，在上單調遞增；
時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
（2）方法一：等價于，
當時，，
則當時，，則，
令，
令，
因為函數在區間上都是增函數，
所以函數在區間上單調遞增 ，
∵，∴存在，使得，
即，
當時，，則在上單調遞減，
當時，，則在上單調遞增，
∴，
∴，故.
方法二：當時，，
令，
令，則，
令，則，
當時，，當時，，
∴在區間上單調遞減，上單調遞增，
∴，即，
∴.
例18．已知函數．（其中常數，是自然對數的底數．
（1）討論函數的單調性；
（2）證明：對任意的，當時，．
【解析】（1）解：由，得．
①當時，，函數在上單調遞增；
②當時，由，解得，由，解得，
故在，上單調遞增，在，上單調遞減．
綜上所述，當時，函數在上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在，上單調遞減．
（2）證明：．
令，則．
當時，．
令，則當時，．
當時，單調遞增，．
當時，；當時，；當時，．
（1）．
即，故．
變式7．已知函數，
（1）討論函數的單調性；
（2）求證：當時，．
【解析】解：（1），
當，即時，，函數在上單調遞增
當，即時，
由解得，由解得，
函數在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上所述，當時，函數在上單調遞增；
當時函數在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）令
當時，欲證，即證．即證，即，
即證
先證：．
設則設，
在上單調遞減，在，上單調遞增
，，則，
即，當且僅當，時取等號．
再證：．
設，則．
在上單調遞增，則，即．
，所以．．當且僅當時取等號．
又與．兩個不等式的等號不能同時取到，
成立，
即當時，成立．
變式8．已知函數．
（1）求函數的單調區間；
（2）解關于的不等式
【解析】解：（1）函數．定義域為：．
，（1）．
令，，
函數在定義域上單調遞增．
，．，函數單調遞減．時，，函數單調遞增．
（2）不等式，即．
，，舍去．
當時，不等式的左邊右邊，舍去．
，且．
①時，由，要證不等式．可以證明：．等價于證明：．
令．
，
函數在上單調遞減，
（1）．
②當時，不等式．
令，．
，函數在上單調遞增，
（1）．
由，
．
不等式成立．
綜上可得：不等式的解集為：．
題型七：虛設零點
例19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)當時，證明：對任意的，．
【解析】（1）由題可知函數的定義域為 ，
，
即，
(i)若，
則在定義域上恒成立，
此時函數在上單調遞增；
(ii) 若，
令，即，解得,
令，即，解得,
所以在上單調遞減，上單調遞增.
綜上，時，在上單調遞增；
時，在上單調遞減，上單調遞增.
（2）當時，，
要證明，只用證明，
令，，
令，即，可得方程有唯一解設為，且，
所以，
當變化時，與的變化情況如下，
單調遞減 單調遞增
所以，
因為，因為，所以不取等號，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
得證.
例20．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學校考模擬預測）已知函數.
(1)若在區間上有極小值，求實數的取值范圍；
(2)求證：.
【解析】（1）函數，定義域為，
，在上單調遞增，
若在區間上有極小值，則有，解得.
故實數的取值范圍為.
（2），即，由，可化簡得，
要證，即證.
設，，
由，則有，得，即，
函數在上單調遞減，
時，時，
則，，此時，
則時，時，
在上單調遞增，在上單調遞減，
，
函數在上單調遞減，，
故，即.
設，
，解得，解得，
在上單調遞減，在上單調遞增，，
由，得，則有，即
故，即有.
所以，即.
例21．（2023·全國·模擬預測）已知函數在處取得極小值．
(1)求實數的值；
(2)當時，證明：．
【解析】（1），由題意知，則，即，
由，知，即．
（2）由（1）得，設，
則．
設，則在上單調遞增，
且，所以存在唯一，使得，即．
當時，單調遞減；當時，單調遞增．
．
設，則，
當時，單調遞減，所以，所以，
故當時，．
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．當時，證明：．
【解析】記．
．
令，
則，所以即在上單調遞增．
由，知．
．即，
當單調遞減；當單調遞增．
故在處取得極小值，也是最小值，
，
由（*）式，可得．
代入式，得．
令，則，
當時，，當時，，
故在上單調遞增，在單調遞減，
故，即，
故．．
由．
故，即，原不等式得證．
變式10．（2023·山東淄博·統考三模）已知函數.
(1)求函數的單調區間；
(2)證明：當時，.
【解析】（1）函數的定義域為，.
令函數，.
當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增，
所以，即恒成立，
故的單調遞增區間是和.
（2）當時，，即當時，.
令，，
令，，
令，.
當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增，
又，，
所以存在，使得.
當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
，故當時，；當時，，
即當時，；當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增.
于是，所以.
令函數，.
當時，；當時，，
所以在上單調遞增；在上單調遞減，
則.
因為，所以，故，
得.
綜上所述：當時，.
題型八：同構法
例22．已知函數，．
（1）討論的單調區間；
（2）當時，證明．
【解析】解：（1）的定義域為，
，
①當時，，此時在上單調遞減，
②當時，由可得，由，可得，
在上單調遞減，在，上單調遞增，
③當時，由可得，由，可得，
在上單調遞增，在，上單調遞減，
證明（2）設，則，
由（1）可得在上單調遞增，
（1），
當時，，
當時，，
在上單調遞減，
當時，，
，
，
．
例23．已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，求證：在上恒成立；
（3）求證：當時，．
【解析】（1）解：函數的定義域為，，
令，即，△，解得或，
若，此時△，在恒成立，
所以在單調遞增．
若，此時△，方程的兩根為：
，且，，
所以在上單調遞增，
在上單調遞減，
在上單調遞增．
若，此時△，方程的兩根為：
，且，，
所以在上單調遞增．
綜上所述：若，在單調遞增；
若，在，上單調遞增，
在上單調遞減．
（2）證明：由（1）可知當時，函數在上單調遞增，
所以（1），所以在上恒成立．
（3）證明：由（2）可知在恒成立，
所以在恒成立，
下面證，即證2 ，
設，，
設，，
易知在恒成立，
所以在單調遞增，
所以，
所以在單調遞增，
所以，
所以，即當時，．
法二：，即，
令，則原不等式等價于，
，令，則，遞減，
故，，遞減，
又，故，原結論成立．
例24．已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）若函數在處取得極值，對，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，求證：．
【解析】（1）解：，
得，得，
在上遞減，在上遞增．
（2）解：函數在處取得極值，
，
，
令，則，
由得，，由得，，
在，上遞減，在，上遞增，
，即．
（3）證明：，即證，
令，
則只要證明在上單調遞增，
又，
顯然函數在上單調遞增．
，即，
在上單調遞增，即，
當時，有．
變式11．已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）若函數在處取得極值，不等式對恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，證明不等式．
【解析】解：（1）．
當時，，從而，函數在單調遞減；
當時，若，則，從而，
若，則，從而，
函數在單調遞減，在單調遞增． （4分）
（2）根據（1）函數的極值點是，若，則，
，即，
，即，
令，則，
得：是函數在內的唯一極小值點，也是最小值點，
故，
故；
（3）由即，
構造函數，則，，，
即在遞增，
，
，
．
題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2023·全國·高三專題練習）證明不等式：．
【解析】設，則，
，
代入的二階泰勒公式，有，
．
所以原題得證．
例26．（2023·全國·高三專題練習）證明：
【解析】證明：設，則在處帶有拉格朗日余項．
三階泰勒公式
例27．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習）已知正數數列滿足，且.（函數求導次可用表示）
(1)求的通項公式.
(2)求證：對任意的，，都有.
【解析】（1）由，得
，
所以或，
因為，所以，
所以，
所以
（2）證明：當時，恒成立，
令，
即，
則
，
……
，
所以在上遞增，
所以，
所以在上遞增，
所以，
所以在上遞增，
……
所以在上遞增，
所以，
所以在上遞增，
所以，
綜上對任意的，，都有.
變式12．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數.
(1)若，求實數a的值；
(2)已知且，求證：.
【解析】（1）因為，所以函數定義域為，.
因為，且，所以是函數的極小值點，則，所以，得.
當時，，
當時，，當時，，
則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，滿足條件，故.
（2）由（1）可得，.令，則，所以，即，，
所以.證畢.
變式13．已知函數．
（1）求函數的單調區間；
（2）若，對，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時．若正實數，滿足，，，，證明：．
【解析】解：（1），，△，
①時，恒成立，
故函數在遞增，無遞減區間，
②時，或，
故函數在，，遞增，在，遞減，
綜上，時，函數在遞增，無遞減區間，
時，函數在，，遞增，在，遞減，
（2），對，恒成立，
即，時，恒成立，
令，，則，
令，
則，在遞減且（1），
時，，，遞增，
當，，，遞減，
（1），
綜上，的范圍是，．
（3）證明：當時，，
，不妨設，
下先證：存在，，使得，
構造函數，
顯然，且，
則由導數的幾何意義可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又為增函數，
，即，
設，則，，
①，
②，
由①②得，，
即．
變式14．（2023·全國·高三專題練習）給出以下三個材料：①若函數可導，我們通常把導函數的導數叫做的二階導數，記作．類似地，二階導數的導數叫做三階導數，記作，三階導數的導數叫做四階導數……一般地，階導數的導數叫做階導數，記作．②若，定義．③若函數在包含的某個開區間上具有階的導數，那么對于任一有，我們將稱為函數在點處的階泰勒展開式．例如，在點處的階泰勒展開式為．
根據以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；
（2）比較（1）中與的大小．
（3）已知不小于其在點處的階泰勒展開式，證明：．
【解析】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，則，
，，
在上單調遞增，又，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
，，
在上單調遞增，又，
當時，；當時，；
綜上所述：當時，；當時，；當時，．
（3）令，則，
，在上單調遞增，又，
在上單調遞減，在上單調遞增，
，即；
在點處的階泰勒展開式為：，
，
①由（2）知：當時，，
當時，；
②由（2）知：當時，，
，
令，則，
在上單調遞減，，即當時，，
，；
綜上所述：．
題型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2023·貴州安順·統考模擬預測）已知函數．
（1）討論函數的導函數的單調性；
（2）若，求證：對，恒成立．
【解析】（1）由已知可得，，設，
則．
當時，有恒成立，所以，即在R上單調遞增；
當時，由可得，．
由可得，，所以，即在上單調遞減；
由可得，，所以，即在上單調遞增．
綜上所述，當時，在R上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）因為，所以對，有．
設，則．
解可得，或或．
由可得，，所以，函數在上單調遞增；
由可得，或，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞減．
所以，在處取得極大值，在處取得極小值．
又，所以，即．
所以，有，
整理可得，，
所以，有，恒成立．
例29．（2023·山東泰安·校考模擬預測）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)證明：當，且時，．
【解析】（1），，
①當，即時，，在區間單調遞增．
②當，即時，
令，得，令，得，
所以在區間單調遞增；在區間單調遞減．
③當，即時，
若，則，在區間單調遞增．
若，令，得，令，得，
所以在區間單調遞減；在區間單調遞增．
綜上，時，在區間單調遞增；在區間單調遞減；
時，在區間單調遞增
時，在區間單調遞減、在區間單調遞增．
（2）證明：要證，即證，
即證．
令，，則，
所以在區間單調遞增，所以時，，
即時，．
令，，則在時恒成立，
所以，且時，單調遞增，
因為時，，，且，
所以，且時，，即．
所以，且時，．
例30．若定義在上的函數滿足，，．
（Ⅰ）求函數解析式；
（Ⅱ）求函數單調區間；
（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當且時，試比較和哪個更接近，并說明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根據題意，得（1），
所以（1）（1），即．
又（1），
所以．
（Ⅱ），
，
①時，，函數在上單調遞增；
②當時，由得，
時，，單調遞減；
時，，單調遞增．
綜上，當時，函數的單調遞增區間為；
當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
（Ⅲ）解：設，，
，
在，上為減函數，又（e），
當時，；當時，．
，，
在，上為增函數，又（1），
，時，，
在，上為增函數，
（1）．
①當時，，
設，
則，
在，上為減函數，
（1），
當，
，
，
比更接近．
②當時，，
設，則，，
在時為減函數，
（e），
在時為減函數，
（e），
，
比更接近．
綜上：在且時時，比更接近．
變式15．已知函數，其中，為自然對數的底數．
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當時，求證：對任意的，，．
【解析】解：（1）當時，，
則，
，
故
則在上單調遞減．
（2）當時，，
要證明對任意的，，．
則只需要證明對任意的，，．
設（a），
看作以為變量的一次函數，
要使，
則，即，
恒成立，①恒成立，
對于②，令，
則，
設時，，即．
，，
在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，
則當時，函數取得最大值
，
故④式成立，
綜上對任意的，，．
題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值
例31．已知函數
（1）求曲線在原點處的切線方程；
（2）若恒成立，求實數的取值范圍；
（3）若方程有兩個正實數根，，求證：．
【解答】解：（1），，，
故曲線在原點處的切線方程為．
（2）①當時，；
②當時，問題等價于恒成立．
設，則，
在上單調遞增，且（1）
在遞減，在遞增．
在的最小值為（1）；
③當時，問題等價于恒成立．
設，則，
在上單調遞減，且時，．
，
綜上所述：．
（3）依（2）得時，，
曲線在原點處的切線方程為
設，
，，
令，解得，或．
在，遞增，在遞減．
，時，，遞增，而，
當時，，
設，分別與，交點的橫坐標為，，
，．
則，，（證畢）
例32．已知函數，曲線在點處的切線方程為．
（1）求，的值；
（2）證明：；
（3）若函數有兩個零點，，證明．
【解答】（1）解：函數的定義域為，
，
（1），
曲線在點處的切線方程為即，
，；
（2）證明：令，
則，
令，則，
單調遞增，又（1），
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
（1），
，
，
（3）證明：的兩個零點，，即為的兩根，不妨設，
由題知，曲線在處的切線方程為，
令，即即的根為，則，
由（2）知，
，
單調遞增，
，
設曲線在處的切線方程為，
，
，
設方程即的根為，則，
令，
由（2）同理可得，即，
，
又單調遞減，
，
．
例33．設函數．
（1）求曲線在點，處的切線方程；
（2）若關于的方程有兩個實根，設為，，證明：．
【解答】解：（1），則，又，
切線方程為，即；
（2）證明：先證明，
令，則，
易知函數在上遞減，在，上遞增，
則，即，
再證明，令，則，
易知函數在上遞減，在上遞增，
則（1），即，
如圖，設直線與直線，相交點的橫坐標分別為，，
由，得，當且僅當時等號成立，
由，得，當且僅當時等號成立，
，即得證．
題型十二：函數與數列不等式問題
例34．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數.
(1)若，求實數的值；
(2)已知且，求證：.
【解析】（1）由，得.
令，則.
注意到，所以是函數的極小值點，則，
所以，得.
當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，滿足條件，故.
（2）由（1）可得，.
令，則，
所以，即.
令，則，且不恒為零，
所以函數在上單調遞增，
故，則，
所以，
令分別取，累加得：
.
即證.
例35．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數.
(1)若在上單調遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
【解析】（1）函數，求導得，
由于函數在R上單調遞增，則恒成立，
令，則，
當時，，當時，，不滿足條件；
當時，，在R上單調遞增，
又，即，不滿足條件；
當時，令，得，
則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
于是當時，取得最小值，
于是，即，
令，則，
當時，，單調遞增；時，，單調遞減，
則，由于恒成立，因此，則有，
所以單調遞增時，的值為1.
（2）由（1）知，當時，，即有，當且僅當時取等號，即當時，，
因此當且時，
，
而當時，，
所以，
則，所以，.
例36．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）已知函數.
(1)是的導函數，求的最小值；
(2)證明：對任意正整數，都有（其中為自然對數的底數）
【解析】（1）由題意，，
，
，
令，解得，
又時，時，，
所以在上單調遞減，在單調遞增，
，即的最小值為0.
（2）證明：由（1）得，，
可知，當且僅當時等號成立，
令，則.
，
即，
也即，
所以，
故對任意正整數，都有.
變式16．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知函數.
(1)求的極值；
(2)對任意的，求證：.
【解析】（1）因為，
則，
當時，，時，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
故在處取得極小值，無極大值.
（2）由（1）知在上單調遞增，
故時，
即：，令得，
化簡得：，
于是有：，，，
累加得：
即
變式17．（2023·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習）已知函數.
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)當時，證明：.
【解析】（1），可得.
令，其中，則.
①當時，，合乎題意；
②當時，由基本不等式可得，
當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，
所以，，
所以，不恒成立，不合乎題意；
③當時，，當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，所以，，可得，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是；
（2）當時，，所以.
由（1）知：，即，所以.
令，得，即，所以.
當時，，則，顯然，結論成立；
當時，
，
結論成立.因此，當時，成立.
題型十三：三角函數
例37．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．當，時，求證：．
【解析】證明：要證，即證，只需證，
因為，也就是要證，令，
因為，所以，
所以在上為減函數，
所以，所以得證．
例38．（2023·河北·統考模擬預測）已知函數.
(1)討論的極值；
(2)當時，證明：.
【解析】（1）由函數，可得，
當時，可得，解得，即函數的定義域為，
令，解得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當時，函數取得極小值；
當時，可得，解得，即函數的定義域為，
令，解得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當時，函數取得極小值，
綜上可得，函數的極小值為，無極大值.
（2）證明：因為，所以，解得，即函數的定義域為，
令，可得，所以在單調遞增，
所以，即，
要證不等式，
只需證明，
又由函數，可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，即，即，當且僅當時，等號成立，
所以，當時，，
只需證明：，即，
即，即，
令，可得，
設，可得，令，可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，所以，所以，
當且僅當時，等號成立，
又由以上不等式的等號不能同時成立，所以.
例39．已知函數在，（1）處的切線為．
（1）求的單調區間與最小值；
（2）求證：．
【解析】解：（1），
故（1），得，又（1），
所以，得．
則，，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以．
（2）證明：令，，，遞增，
所以，所以當時，，
令，，，遞增，
，所以當時，，
要證，由，，及，
得，，故原不等式成立，
只需證，
即證．由（1）可得，且，
所以，則原不等式成立．重難點突破08 證明不等式問題
目錄
利用導數證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；
（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
（4）對數單身狗，指數找基友
（5）凹凸反轉，轉化為最值問題
（6）同構變形
題型一：直接法
例1．（2023·北京房山·北京市房山區良鄉中學校考模擬預測）已知函數．
(1)若函數在點處的切線平行于直線，求切點P的坐標及此切線方程；
(2)求證：當時，．（其中）
例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求證：.
例3．已知函數，．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，證明：，．
題型二：構造函數（差構造、變形構造、換元構造、遞推構造）
例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知函數．
(1)證明：；
(2)討論的單調性，并證明：當時，．
例5．已知曲線與曲線在公共點處的切線相同，
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）求證：當時，．
例6．已知函數，．
（1）求函數的單調區間；
（2）若直線是函數圖象的切線，求證：當時，．
變式1．已知函數．
（1）證明：；
（2）數列滿足：，．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）證明：，．
變式2．討論函數的單調性，并證明當時，．
題型三：分析法
例7．已知函數，已知是函數的極值點．
（1）求；
（2）設函數．證明：．
例8．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知函數
(1)求在處的切線;
(2)若，證明當時，.
例9．已知，函數，其中為自然對數的底數．
（Ⅰ）證明：函數在上有唯一零點；
（Ⅱ）記為函數在上的零點，證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
變式3．已知函數在上有零點，其中是自然對數的底數．
（Ⅰ）求實數的取值范圍；
（Ⅱ）記是函數的導函數，證明：．
題型四：凹凸反轉、拆分函數
例10．（2023·北京·高三專題練習）已知函數，當，時，證明：任意的，都有恒成立.
例11．（2023·河南開封·校考模擬預測）設函數，．
(1)若函數在上存在最大值，求實數的取值范圍；
(2)當時，求證：．
例12．已知函數．
（Ⅰ）若是的極小值點，求的取值范圍；
（Ⅱ）若，為的導函數，證明：當時，．
變式4．已知函數．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）求證：．
題型五：對數單身狗，指數找朋友
例13．已知函數．
（Ⅰ）當時，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）當時，求證．
例14．已知函數，曲線在點，（1）處的切線方程為．
（1）求、的值；
（2）當且時．求證：．
例15．已知二次函數對任意實數都滿足，且（1），令．
（1）求的表達式；
（2）設，．證明：對任意，，，恒有．
變式5．已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）若函數圖象過點，求證：．
變式6．已知函數．
（Ⅰ）討論函數的單調性；
（Ⅱ）若函數圖象過點，求證：．
題型六：放縮法
例16．（2023·全國·高三專題練習）已知，，．
(1)當時，求函數的極值；
(2)當時，求證：．
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函數 （，為自然對數的底數）．
(1)討論函數的單調性；
(2)當時，求證：.
例18．已知函數．（其中常數，是自然對數的底數．
（1）討論函數的單調性；
（2）證明：對任意的，當時，．
變式7．已知函數，
（1）討論函數的單調性；
（2）求證：當時，．
變式8．已知函數．
（1）求函數的單調區間；
（2）解關于的不等式
題型七：虛設零點
例19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)當時，證明：對任意的，．
例20．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學校考模擬預測）已知函數.
(1)若在區間上有極小值，求實數的取值范圍；
(2)求證：.
例21．（2023·全國·模擬預測）已知函數在處取得極小值．
(1)求實數的值；
(2)當時，證明：．
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．當時，證明：．
變式10．（2023·山東淄博·統考三模）已知函數.
(1)求函數的單調區間；
(2)證明：當時，.
題型八：同構法
例22．已知函數，．
（1）討論的單調區間；
（2）當時，證明．
例23．已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，求證：在上恒成立；
（3）求證：當時，．
例24．已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）若函數在處取得極值，對，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，求證：．
變式11．已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）若函數在處取得極值，不等式對恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，證明不等式．
題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2023·全國·高三專題練習）證明不等式：．
例26．（2023·全國·高三專題練習）證明：
例27．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習）已知正數數列滿足，且.（函數求導次可用表示）
(1)求的通項公式.
(2)求證：對任意的，，都有.
變式12．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數.
(1)若，求實數a的值；
(2)已知且，求證：.
變式13．已知函數．
（1）求函數的單調區間；
（2）若，對，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時．若正實數，滿足，，，，證明：．
變式14．（2023·全國·高三專題練習）給出以下三個材料：①若函數可導，我們通常把導函數的導數叫做的二階導數，記作．類似地，二階導數的導數叫做三階導數，記作，三階導數的導數叫做四階導數……一般地，階導數的導數叫做階導數，記作．②若，定義．③若函數在包含的某個開區間上具有階的導數，那么對于任一有，我們將稱為函數在點處的階泰勒展開式．例如，在點處的階泰勒展開式為．
根據以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；
（2）比較（1）中與的大小．
（3）已知不小于其在點處的階泰勒展開式，證明：．
題型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2023·貴州安順·統考模擬預測）已知函數．
（1）討論函數的導函數的單調性；
（2）若，求證：對，恒成立．
例29．（2023·山東泰安·校考模擬預測）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)證明：當，且時，．
例30．若定義在上的函數滿足，，．
（Ⅰ）求函數解析式；
（Ⅱ）求函數單調區間；
（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當且時，試比較和哪個更接近，并說明理由．
變式15．已知函數，其中，為自然對數的底數．
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當時，求證：對任意的，，．
題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值
例31．已知函數
（1）求曲線在原點處的切線方程；
（2）若恒成立，求實數的取值范圍；
（3）若方程有兩個正實數根，，求證：．
例32．已知函數，曲線在點處的切線方程為．
（1）求，的值；
（2）證明：；
（3）若函數有兩個零點，，證明．
例33．設函數．
（1）求曲線在點，處的切線方程；
（2）若關于的方程有兩個實根，設為，，證明：．
題型十二：函數與數列不等式問題
例34．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數.
(1)若，求實數的值；
(2)已知且，求證：.
例35．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數.
(1)若在上單調遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
例36．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）已知函數.
(1)是的導函數，求的最小值；
(2)證明：對任意正整數，都有（其中為自然對數的底數）
變式16．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知函數.
(1)求的極值；
(2)對任意的，求證：.
變式17．（2023·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習）已知函數.
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)當時，證明：.
題型十三：三角函數
例37．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．當，時，求證：．
例38．（2023·河北·統考模擬預測）已知函數.
(1)討論的極值；
(2)當時，證明：.
例39．已知函數在，（1）處的切線為．
（1）求的單調區間與最小值；
（2）求證：．

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