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重難點突破10 利用導數解決一類整數問題
目錄
利用導數解決一類整數問題常見技巧有：
1、分離參數、分離函數、半分離
2、直接限制法
3、虛設零點
4、必要性探路
題型一：整數解問題之分離參數、分離函數、半分離
例1．（2023·貴州·校聯考一模）已知．
(1)討論的單調性；
(2)若對恒成立，求整數a的最小值．
【解析】（1）的定義域為，
（ⅰ）當時，，∴在上單調遞增；
（ⅱ）當時，令，
令，
∴當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）由，可得：，
∵，∴原命題等價于對恒成立．
令，∴，
令，∴，∴在上單調遞增．
又，
故存在唯一的，使得．
當時，，∴，
∴在上單調遞增，
當時，，∴，
∴在上單調遞減．
∴，
∴時，恒成立．
∴，又，∴a的最小整數值為2．
例2．（2023·四川廣安·廣安二中校考模擬預測）已知函數.
(1)若函數在上有兩個零點，求實數的取值范圍；
(2)當時，關于的不等式恒成立，求整數的最小值.
【解析】（1），，
當時，，當時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
若在上有兩個零點，則
解得，故的取值范圍是
（2），即，在時恒成立，
令，，
當時，，當時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
故，即，當且僅當時等號成立，
令，，
當時，，當時，，
則在單調遞增，在上單調遞減，
，即，當且僅當時等號成立，
而時，，故
，
當時，不等式為，而時滿足題意，
故整數的最小值為
例3．（2023·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中校考階段練習）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)若為整數，且恒成立，求的最大值.
【解析】（1）的定義域為，.
當時，，則在上單調遞增；
當時，解，即，得（舍去負值）；
解，即，得，所以在上單調遞增；解，即，得，所以在上單調遞減.
綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）由已知可得，恒成立，，
即在上恒成立.
令，則只需即可.，
令，在上恒成立，所以單調遞增.
且，，
所以，，使得，且當時，，當時，.
即，使得，且當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.
又，則.
所以，
令，，，，
則，當時，，
所以，在上單調遞增，
從而在上單調遞減，則，
又，，
所以，所以.
又為整數，，所以的最大值為0.
變式1．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯考期中）已知函數
(1)判斷的單調性，并比較與的大小；
(2)當時，不等式恒成立，求整數k的最大值．
【解析】（1）由題意知：函數的定義域為，
，當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增；
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即，所以，
即，又因為在上單調遞增，
所以，
（2）因為，所以，
所以不等式可化為，
因為，所以，
所以不等式等價轉化為對任意的恒成立，
令，則，
令，則，
因為，所以對任意的恒成立，
所以在上單調遞增，
因為，，
故，使得，
因此當時，，即在上單調遞減，
當時，，即在上單調遞增，
故，
所以，
故整數的最大值為.
變式2．（2023·天津河北·統考一模）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)若對任意的，都有成立，求整數的最大值.
【解析】（1）函數，求導得，則，而，
所以曲線在點處的切線方程是.
（2）函數的定義域是，，
當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，
所以函數的遞減區間是，遞增區間是.
（3），，
令，求導得，
由（2）知，在上單調遞增，，，
因此存在唯一，使得，即，
當時，，即，當時，，即，
因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，
于是，則，
所以整數的最大值是3.
變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)若函數在上有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍；
(2)是否存在實數k，使得對任意的，都有函數的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數k的值；若不存在，請說理由.
（參考數據：）
【解析】（1）因為，
則由題意知方程在上有兩個不同的根.
由得令，則，
由解得.
當時，，單調遞減；
當時，單調遞增，
所以當時，取得最小值為，
又，，
所以，解得.
（2）假設存在實數k滿足題意，則不等式對恒成立，
即對恒成立.
令則，
令，則，
因為在上單調遞增，，
且的圖象在上不間斷，所以存在使得
即則，
所以當時，單凋遞減；當時，單調遞增，
則取到最小值，
當且僅當時，等號成立，
但由于故等號無法取到，則,
所以即在區間內單調遞增.
所以，
所以存在實數k滿足題意，且最大整數k的值為1.
變式4．（2023·云南·校聯考三模）設函數，若存在唯一整數，使得，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】由函數，設和
因為存在唯一整數，使得，
所以存在唯一的整數使得在直線的下方，如圖所示，
因為，當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在單調遞增，
當時，取得極小值，也為最小值，
且當時，，當時，，
又由直線恒經過原點，斜率為（其中），
所以且，解得，
所以實數的取值范圍是.
故答案為：

變式5．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學校考模擬預測）若關于x的不等式的解集中恰有2個整數，則k的取值范圍是______．
【答案】
【解析】，不等式可化為，
令，，由解得，由解得，在為增函數，在為減函數，
令，則的圖象恒過，若解集恰有個整數，
當時，有無數個整數解，不滿足題意；
當時， 如圖，則兩個整數為1和2，故2滿足不等式且3不滿足不等式，即且，解得，
故答案為：

變式6．（2023·云南·高三校聯考階段練習）已知函數，滿足f（x）＜0恒成立的最大整數m的值為___．
【答案】3
【解析】原不等式等價于，由與的圖象平移變換可知，
若滿足題意，則只要小于與兩個函數相切時的值即可.
設公切點為，則有，所以，
所以，
令，則，故單調遞增，
而，
故，使得，所以，
由對勾函數的性質，可得，
故最大整數m取3.
故答案為：3.
變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則實數的取值范圍是____.
【答案】.
【解析】設，，
由題意知，函數在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標為整數，
，當時，，
當時，,所以，函數的最小值為.
又，（1），
直線恒過定點且斜率為，
故且，解得.
故答案為：.
變式8．（2023·全國·高三專題練習）若對，關于x的不等式恒成立，則整數m的最小值為___________.
【答案】
【解析】設，，只需保證的圖象在的上方即可
易知：在區間上單調遞增，且（否則當無限趨近無窮大時，不能成立）
則存在與在某個點處相切，設切點為
可得：
化簡可得：
設，易知在區間上單調遞增
可得：，
可得：
則，這是與在某個點處相切的范圍，當比相切時大，則會在上方，即也滿足題意
故的最小整數為
故答案為：2
題型二：整數解問題之直接限制法
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若有且僅有兩個整數，滿足，則實數a的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】若，即，
因為，所以，即，記，
故只需有且僅有兩個整數使得成立即可，
所以，
記，所以，
所以在上單調遞增，
因為，，
所以，使得，即，
在上，即，單調遞減，
在上，即，單調遞增，所以有最小值，
因為，且，
，而，
若使有且僅有兩個整數，
只需即可，解得.
故答案為：
例5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)求函數在區間上的最大值；
(2)若為整數，且關于的不等式恒成立，求整數的最小值.
【解析】（1）若時，在區間上單調遞減，
所以.
若，則二次函數圖象對稱軸，
當，即時，1離對稱軸近，2離對稱軸遠，
所以.
當，即時，1離對稱軸遠，2離對稱軸近，
.
若，對稱軸在區間上單調遞減，
綜上，.
（2）因為恒成立，
即恒成立，
令,
所以,
當時，因為，所以，
所以在上是單調遞增函數.
又因為，所以關于的不等式不能恒成立.
當時，,
令得，所以當時，；當時，.
因此函數在上是增函數，在上是減函數.
故函數的最大值為.
令，因為.
又因為在上是減函數，所以當時，,
即關于的不等式恒成立，
所以整數的最小值為2.
例6．（2023·云南·高三云南民族大學附屬中學校考期中）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)若m為整數，且關于x的不等式恒成立，求整數的最小值.
【解析】（1）由題意知，的定義域為，
對求導，得
當時，恒成立，所以在上單調遞增；
當時，由，得，由，得
所以，在上單調遞增，在上單調遞減；
綜上所述：當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）因為恒成立，即，
即恒成立，令.
所以.
當時，因為，所以，所以在上是遞增函數.
又因為，所以關于的不等式不能恒成立.
當時，.
令得，所以當時，；當時，.
因此函數在上是增函數，在上是減函數.
故函數的最大值為.
令，因為，.
又因為在上是減函數，所以當時，.
所以整數的最小值為2.
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）求證：曲線在點處的切線不經過原點；
（Ⅲ）設整數使得對恒成立，求整數的最大值.
【解析】（Ⅰ）函數的導數為，由得，
由，得，所以在上單調遞增，
由，得，所以在上單調遞減.
所以的單調減區間為，增區間為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲線在點處的切線為，其中，
假設在點處的切線經過原點.
則有，即，
整理得與矛盾，
則曲線在點處的切線不經過原點；
（Ⅲ）對恒成立等價于當時，恒成立.
令，則.由，得，
隨著變化，，的變化情況如下表所示：
﹣ 0 +
極小值
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數的最小值為，
令，則.
當時，因為的最小值為，
所以恒成立，符合題意；
當時.由，得函數，在上單調遞減，所以，
故此時的最小值，不符合題意，
所以整數的最大值是2.
題型三：整數解問題之虛設零點
例7．（2023·貴州·校聯考模擬預測）已知函數，.
(1)求函數的單調區間；
(2)若對任意的，不等式在上恒成立，求整數的最大值.
【解析】（1）函數的定義域為，，
令得，，
①當時，若，則；若，則，
故在，上單調遞增，在上單調遞減；
②當時，若，則；若，則，
故在上單調遞增，在，上單調遞減.
（2）因為且，所以，
于是原命題等價于不等式對任意的恒成立.
從而對一切恒成立，
令，則，
∵，
令，，則，
∴在上單增，又，，
∴使，即①，
當時，，即在遞減；
當時，，即在，遞增，
∴，
由①知，∴，
∵函數在上單調遞增，
∴即，
∴，
∴，因此整數的最大值是1.
例8．（2023·河北石家莊·高三校聯考期末）已知函數的圖象在處的切線方程為．
(1)求，的值；
(2)若關于的不等式對于任意恒成立，求整數的最大值．（參考數據：）
【解析】（1）函數，求導得：，
因為函數的圖象在處的切線方程為，則，解得，
當時，，則，解得，
所以，.
（2）由（1）知，，，令，，
在上單調遞增，當時，，當時，，
因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，，，
于是存在，使得，
當或時，，當時，，
即有函數在上單調遞增，在上單調遞減，而，，
顯然函數在上的最小值為與中最小的，由得，
因此，函數圖象對稱軸，顯然，以下比較到的距離大小：
若，則有，，，
若，則，
從而函數在上，
當時，有，即，顯然，
綜上，函數在上的最小值在區間內，對于任意恒成立，則有，
所以整數的最大值為3.
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求函數的極值；
(2)若為整數，且函數有4個零點，求的最小值．
【解析】（1）函數的定義域為，
，令，即，，的關系如下表：
0
↗ 極大值 ↘
時，的極大值為，無極小值．
（2）由題意得，有4個零點，
即方程在有4個不相等的實根．
令，，
令，可知要使有四個零點，則至少應有三個零點，，
至少有兩個零點，，其中，
①當時，，則在上單調遞增，至多只有一個零點不合題意；
②當時，時，；，，
在上遞減，在上遞增，
要使有兩個零點，，解得
此時，，
，，，
在存在一個零點，且
下面證明當時，
當時，
令，，令，；
當時，，在上遞增，
在上遞增，，即
，，
，
在存在一個零點，且，
時，，，，
在和單調遞減，和單調遞增，
只需，在，，，各有一個零點
其中，，
令，；
在上單調遞減，，，
存在，使得，當時，，
又∵是整數，∴的最小值是4．
變式10．（2023·廣西桂林·校考模擬預測）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)若，且存在整數使得恒成立，求整數的最大值.
（參考數據：，）
【解析】（1），，
若，則，，
當時，，當時，，
所以函數在上遞減，在上遞增，
若，則，
所以函數在上遞增，
若，則，
當或時，，當時，，
所以函數在上遞減，在和上遞增，
若，則，
當或時，，當時，，
所以函數在上遞減，在和上遞增，
綜上所述，當時，函數在上遞減，在上遞增，
當時，函數在上遞增，
當時，函數在上遞減，在和上遞增，
當時，函數在上遞減，在和上遞增；
（2）若，，，
，
令，則，
令，則，
所以函數在上遞增，即函數在上遞增，
又，則當時，，當時，，
所以函數在上遞減，在上遞增，
所以，
又，，，
所以函數存在唯一的零點，且，此時，
則當時，，即，當時，，即，
所以函數在上遞減，在上遞增，
所以，
令，，則，，
所以函數在上遞減，
所以，
又，，
所以，
又存在整數使得恒成立，
所以整數的最大值為0.
變式11．（2023·安徽·高三校聯考階段練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若為整數時，當時，恒成立，求的最小值.
（參考數據：，，…）
【解析】（1）當時，，則，
所以，，
所以，曲線在點處的切線方程為，即.
（2）.
且函數的定義域為，，
令，，，，
令，其中，則，
所以，在單調遞增，
當，，單調遞減，
當時，，單調遞增.
①當時，，
在上恒成立，單調遞增，
，
記，則，
在區間上單調增遞，
，，
故當時，恒成立；
②當時，又，即時，，
因為，，
記，由上可知在上單調遞增，
且在單調遞減，在單調遞增，
，，，
所以，，，，
且當時，，當時，，
所以，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，
由，
所以，
令，，則，
當時，，，單調遞減，
，故當時，；
③當時，，，
記，，，
易知單調遞增，在單調遞減，單調遞增，
，，，
，，當時，，
當時，，
在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增.
因為，當時，，不符合題意，
的最小值為.
題型四：整數解問題之必要性探路
例10．（2023·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）對于定義在上的函數，若存在，使得，則稱為的一個不動點．設函數，已知為函數的不動點．
(1)求實數的取值范圍；
(2)若，且對任意滿足條件的成立，求整數的最大值．
（參考數據：，，，，）
【解析】（1）依題意，方程在內有根，且，
令，，求導得，
當時，在，上都遞增，而，因此函數在、無零點，
當時，令，，，則函數在，上都遞增，
當時，當時，，函數在上遞增，無零點，
當時，，則存在，使得，即，
當時，遞減，在時，遞增，
，而，有，
，
因此存在，使得，即函數在上有零點，則，
當時，當時，，函數在上遞減，，無零點，
當時，，則存在，使得，即，
當時，遞減，在時，遞增，，
，令，求導得，
令，則，即函數在上單調遞增，
，函數在上單調遞增，
因此存在，使得，即函數在上有零點，則，
所以實數的取值范圍是.
（2）依題意，，于是，即
因為，取，有，因此取2，
下證：對任意成立，令，
，當時，遞增，當時，遞減，
，即對恒成立，當時，，
令，，函數在上遞增，，
即，從而成立，
當時，只需證：成立，
令，，只需證，
，令，
，顯然在上遞增，
，，即存在，使，
且當時，遞減，當時，遞增，
，整理得，
因為函數在遞減，
所以，
所以在恒成立，即在遞增，
顯然，所以成立.
例11．（2023·全國·高三專題練習）已知，函數，．
(1)若，求證：在上是增函數；
(2)若存在，使得對于任意的成立，求最大的整數的值．
【解析】（1），令，，
令,解得
在上單調遞減,單調遞增，
，
，
命題得證.
（2）存在,使得對于成立,
等價于存在,使得對于成立，
由于,原題意的必要條件是,對都成立
設,使得,即，
在是減函數,在是增函數,其中,即，
，
顯然,
由上圖知,，
對都成立的最大整數是2，
以下證明充分性,當時,存在,使得恒成立,
,由上證明知存在大于0的正的最小值,
故存在大于0的,使得恒成立，
當時,設,
故對不恒成立，
存在,使得對于任意的成立,最大的整數的值是2.
例12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)當時，求的最小值；
(2)若在上恒成立，求整數a的最小值.
【解析】（1）當時，，則，
令得.
若，則；若，則.
所以；
（2）由，可得，當時，，則，即.
當時，令，則，
則在上單調遞增，所以，所以成立.
因此整數a的最小值為1.
變式12．（2023·上海·高三專題練習），對，，求整數的最小值．
【解析】當時，，此時不合題意，
當時，，
，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
函數的最大值為，
即滿足題意，
下面證明當時，對恒成立，
由于，
其對稱軸為，
故當時，，
綜上可得，整數的最小值為1．重難點突破10 利用導數解決一類整數問題
目錄
利用導數解決一類整數問題常見技巧有：
1、分離參數、分離函數、半分離
2、直接限制法
3、虛設零點
4、必要性探路
題型一：整數解問題之分離參數、分離函數、半分離
例1．（2023·貴州·校聯考一模）已知．
(1)討論的單調性；
(2)若對恒成立，求整數a的最小值．
例2．（2023·四川廣安·廣安二中校考模擬預測）已知函數.
(1)若函數在上有兩個零點，求實數的取值范圍；
(2)當時，關于的不等式恒成立，求整數的最小值.
例3．（2023·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中校考階段練習）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)若為整數，且恒成立，求的最大值.
變式1．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯考期中）已知函數
(1)判斷的單調性，并比較與的大小；
(2)當時，不等式恒成立，求整數k的最大值．
變式2．（2023·天津河北·統考一模）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)若對任意的，都有成立，求整數的最大值.
變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)若函數在上有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍；
(2)是否存在實數k，使得對任意的，都有函數的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數k的值；若不存在，請說理由.
（參考數據：）
變式4．（2023·云南·校聯考三模）設函數，若存在唯一整數，使得，則的取值范圍是________.
變式5．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學校考模擬預測）若關于x的不等式的解集中恰有2個整數，則k的取值范圍是______．
變式6．（2023·云南·高三校聯考階段練習）已知函數，滿足f（x）＜0恒成立的最大整數m的值為___．
變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則實數的取值范圍是____.
變式8．（2023·全國·高三專題練習）若對，關于x的不等式恒成立，則整數m的最小值為___________.
題型二：整數解問題之直接限制法
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若有且僅有兩個整數，滿足，則實數a的取值范圍為__________．
例5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)求函數在區間上的最大值；
(2)若為整數，且關于的不等式恒成立，求整數的最小值.
例6．（2023·云南·高三云南民族大學附屬中學校考期中）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)若m為整數，且關于x的不等式恒成立，求整數的最小值.
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）求證：曲線在點處的切線不經過原點；
（Ⅲ）設整數使得對恒成立，求整數的最大值.
題型三：整數解問題之虛設零點
例7．（2023·貴州·校聯考模擬預測）已知函數，.
(1)求函數的單調區間；
(2)若對任意的，不等式在上恒成立，求整數的最大值.
例8．（2023·河北石家莊·高三校聯考期末）已知函數的圖象在處的切線方程為．
(1)求，的值；
(2)若關于的不等式對于任意恒成立，求整數的最大值．（參考數據：）
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求函數的極值；
(2)若為整數，且函數有4個零點，求的最小值．
變式10．（2023·廣西桂林·校考模擬預測）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)若，且存在整數使得恒成立，求整數的最大值.
（參考數據：，）
變式11．（2023·安徽·高三校聯考階段練習）已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若為整數時，當時，恒成立，求的最小值.
（參考數據：，，…）
題型四：整數解問題之必要性探路
例10．（2023·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）對于定義在上的函數，若存在，使得，則稱為的一個不動點．設函數，已知為函數的不動點．
(1)求實數的取值范圍；
(2)若，且對任意滿足條件的成立，求整數的最大值．
（參考數據：，，，，）
例11．（2023·全國·高三專題練習）已知，函數，．
(1)若，求證：在上是增函數；
(2)若存在，使得對于任意的成立，求最大的整數的值．
例12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.
(1)當時，求的最小值；
(2)若在上恒成立，求整數a的最小值.
變式12．（2023·上海·高三專題練習），對，，求整數的最小值．

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