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重難點突破11 導數中的同構問題
目錄
方法技巧總結一、常見的同構函數圖像
函數表達式 圖像 函數表達式 圖像
函數極值點
函數極值點 函數極值點
函數極值點 過定點
函數極值點 函數極值點
函數極值點 函數極值點
方法技巧總結二：同構式的基本概念與導數壓軸題
1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式
2、同構式的應用：
（1）在方程中的應用：如果方程和呈現同構特征，則可視為方程的兩個根
（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進而和函數的單調性找到聯系．可比較大小或解不等式．<同構小套路>
①指對各一邊，參數是關鍵；②常用“母函數”：，；尋找“親戚函數”是關鍵；
③信手拈來湊同構，湊常數、、參數；④復合函數（親戚函數）比大小，利用單調性求參數范圍．
（3）在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構式，則為方程所表示曲線上的兩點．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程
（4）在數列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于與的同構式，從而將同構式設為輔助數列便于求解
3、常見的指數放縮：
4、常見的對數放縮：
5、常見三角函數的放縮：
6、學習指對數的運算性質時，曾經提到過兩個這樣的恒等式：
（1） 且時，有
（2） 當 且時，有
再結合指數運算和對數運算的法則，可以得到下述結論（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再結合常用的切線不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的結論，這里僅以第（3）條為例進行引申：
（7）；
（8）；
7、同構式問題中通常構造親戚函數與，常見模型有：
①；
②；
③
8、乘法同構、加法同構
（1）乘法同構，即乘同構，如；
（2）加法同構，即加同構，如，
（3）兩種構法的區別：
①乘法同構，對變形要求低，找親戚函數與易實現，但構造的函數與均不是單調函數；
②加法同構，要求不等式兩邊互為反函數，構造后的函數為單調函數，可直接由函數不等式求參數范圍；
題型一：不等式同構
例1．（2023·四川達州·高二?？茧A段練習）已知，且，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設函數，，當，此時單調遞增，當，此時單調遞減，由題，，，得，因為，所以，則，且，所以.
故選：A.
例2．（2023·湖北黃石·高二校考期中）已知．且，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，則，即在上單調遞減，
∴，即，
設，則，
即在上單調遞增，
又∵，∴.
故選：.
例3．（2023·陜西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】構造函數，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
，
，
，
因為，所以，即，
而a，b，，所以，
故選：C
變式1．（2023·河南·高二校聯考期中）已知，，，則，，的大小順序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，，，
構造函數，其導函數，
令，解得：，列表得：
+ 0 -
極大值
所以在上單增.
因為，所以，即
故選:D.
變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，其中e為自然對數的底數，則下列選項中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】構造，，則恒成立，
則，
當時，，，
當時，，
所以在單調遞增，在單調遞減，
因為，所以，，
又，所以，D錯誤，
因為，所以，，
所以，所以，A錯誤，B正確.
令，則，
當時，恒成立，
所以在上單調遞增，
當時，，即，
因為，
所以
因為，
所以，
因為在單調遞減，
所以，即
因為在上單調遞減，
所以，C錯誤
故選：B
變式3．（2023·江西贛州·高二江西省信豐中學校考階段練習）已知函數的導數滿足對恒成立，且實數，滿足，則下列關系式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則，
所以函數單調遞增，
又，所以，
所以，
對于A，當，時，，，此時，故A錯誤；
對于B，由指數函數的單調性可得，故B錯誤；
對于C，當，時，，，此時，故C錯誤；
對于D，令，則，所以函數單調遞增，所以即，故D正確.
故選：D.
題型二：同構變形
例4．（2023·全國·高三專題練習）對下列不等式或方程進行同構變形，并寫出相應的同構函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【解析】(1)顯然，則，.
(2)顯然，則，.
(3)顯然，則，.
(4)顯然，則
，.
(5)，.
(6)，，.
(7)，.
(8)，.
題型三：零點同構
例5．（2023·全國·高三專題練習）設，滿足，則（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】可化為：.
記，定義域為R.
因為，所以在R上單調遞增.
又，
所以為奇函數.
所以由可得：，所以2.
故選：B
例6．（2023·全國·高二專題練習）在數學中，我們把僅有變量不同，而結構 形式相同的兩個式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式．若關于的方程和關于b的方程可化為同構方程，則的值為（ ）
A． B．e C． D．1
【答案】A
【解析】對兩邊取自然對數，得①，
對兩邊取自然對數，得，
即②，
因為方程①②為兩個同構方程，所以，解得，
設，，則，
所以在上單調遞增，
所以方程的解只有一個，
所以，所以．
故選：A
例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）已知函數和有相同的最大值.
(1)求；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.
【解析】（1），
當時，當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以當時，函數有最大值，即；
當時，當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以當時，函數有最小值，沒有最大值，不符合題意，
由，
當時，當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以當時，函數有最大值，即；
當時，當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以當時，函數有最小值，沒有最大值，不符合題意，
于是有.
（2）由（1）知，兩個函數圖象如下圖所示：
由圖可知：當直線經過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設
且，
由，又，
又當時，單調遞增，所以，
又，又，
又當時，單調遞減，所以，
；
于是有.
變式4．（2023·安徽安慶·高三校聯考階段練習）在數學中，我們把僅有變量不同，而結構 形式相同的兩個式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式.若關于的方程和關于的方程可化為同構方程.
（1）求的值；
（2）已知函數.若斜率為的直線與曲線相交于，兩點，求證：.
【解析】（1）對兩邊取自然對數，得(1),
對兩邊取自然對數，得
即，
因為(1)(2)方程為兩個同構方程，所以 ，解得 ，
設 ，則 ,
所以 在 單調遞增，所以方程的解只有一個,
所以 ，所以 ，
故 .
（2）由（1）知：
所以
要證，即證明等價于
令 ，則只要證明 即可，
由 知， ，故等價于證
設 則 ，即 在 單調遞增，
故 ，即 .
設則 ，即在單調遞增，
故，即 。
由上可知成立，則.
變式5．（2023·上海浦東新·高一上海南匯中學?？计谀┰O函數的定義域為，若函數滿足條件：存在，使在上的值域為（其中，則稱為區間上的“倍縮函數”.
(1)證明：函數為區間上的“倍縮函數”；
(2)若存在，使函數為上的“倍縮函數”，求實數的取值范圍；
(3)給定常數，以及關于的函數，是否存在實數，使為區間上的“1倍縮函數”.若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）函數在R上單調遞增，則在區間上的值域為，
顯然有，
所以函數為區間上的“倍縮函數”.
（2）因為函數在上單調遞增，當時，函數在上單調遞增，
因此函數是定義域上的增函數，
因為函數為上的“倍縮函數”，則函數在上的值域為，
于是得，即是方程的兩個不等實根，
則方程有兩個不等實根，
令，則關于的一元二次方程有兩個不等的正實根，
因此，解得，當時，函數恒有意義，
所以實數的取值范圍是.
（3）常數，函數的定義域為，并且，
假定存在實數，使為區間上的“1倍縮函數”，
則函數在區間上的值域為，由，及知，
因為函數在上單調遞增，即，
若，即，則函數在區間上的值域中有數0，矛盾，
若，即，當時，在上單調遞減，
有，即，整理得，顯然無解，
若，即，當時，在上單調遞增，
有，即是方程的兩個不等實根且，
而方程，于是得方程在上有兩個不等實根，
從而，解得，而，即有，
解方程得：，
所以當時，存在實數，使為區間上的“1倍縮函數”， ，
當時，不存在實數，使為區間上的“1倍縮函數”.
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)設函數，若函數有兩個零點，求實數a的取值范圍．
【解析】（1）函數的定義域為，
．
函數的單調遞增區間為；單減區間為．
（2）要使函數有兩個零點，即有兩個實根，
即有兩個實根．
即．
整理為，
設函數，則上式為，
因為恒成立，所以單調遞增，所以．
所以只需使有兩個根，設．
由（1）可知，函數）的單調遞增區間為；單減區間為，
故函數在處取得極大值，．
當時，；當時，，
要想有兩個根，只需，解得：．
所以a的取值范圍是．
變式7．（2023·全國·統考高考真題）已知函數和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．
【解析】（1）的定義域為，而，
若，則，此時無最小值，故.
的定義域為，而.
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，
故.
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，
故.
因為和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
設，則，
故為上的減函數，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值為.
當時，考慮的解的個數、的解的個數.
設，，
當時，，當時，，
故在上為減函數，在上為增函數，
所以，
而，，
設，其中，則，
故在上為增函數，故，
故，故有兩個不同的零點，即的解的個數為2.
設，，
當時，，當時，，
故在上為減函數，在上為增函數，
所以，
而，，
有兩個不同的零點即的解的個數為2.
當，由（1）討論可得、僅有一個解，
當時，由（1）討論可得、均無根，
故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
則.
設，其中，故，
設，，則，
故在上為增函數，故即，
所以，所以在上為增函數，
而，，
故
上有且只有一個零點，且：
當時，即即，
當時，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
故，
此時有兩個不同的根，
此時有兩個不同的根，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上單調遞減，在上單調遞增；
在上單調遞減，在上單調遞增，且
①時，此時，顯然與兩條曲線和
共有0個交點，不符合題意；
②時，此時，
故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標分別為0和1；
③時，首先，證明與曲線有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為
其次，證明與曲線和有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以上單調遞減，在上單調遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為
再次，證明存在b，使得
因為，所以，
若，則，即，
所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點，
因為，，
所以在上存在零點，取一零點為，令即可，
此時取
則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，
最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列，
因為
所以，
又因為在上單調遞減，，即，所以，
同理，因為，
又因為在上單調遞增，即，，所以，
又因為，所以，
即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.
變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.
【解析】（1），.
若，則時，時，
所以在定義域內先減后增，無最大值.
若，則，最大值為0，但不滿足.
若，令，得.
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減.
所以x=1時取得最大值，最大值為.
，.
若，則時，時，
所以在定義域內先減后增，無最大值.
若，則，最大值為0，但不滿足.
若，令，得.
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減.
所以時取得最大值，最大值為.
綜上，，解得.
（2）由（1）知：在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，在上單調遞減，且，有唯一的零點，有唯一的零點1.
它們的大致圖像如圖所示，設曲線與在上交于點A，
當直線經過點A時，直線與曲線還有另一個交點B，
設，，，不妨設直線與曲線還有另一個交點，
則，則，故①，同理得②，
由①②知，與是直線與曲線交點的橫坐標，故C是存在的.
因為且，所以，又，
所以，，從而有，故結論成立.
變式9．（2023·江蘇常州·高三統考階段練習）已知函數和有相同的最大值.
(1)求實數的值；
(2)證明：存在直線，其與兩曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.
【解析】（1）
當時，顯然無最小值，舍去.
當時，令在上單調遞增；上單調遞減；
，
，易知m>0令
當時，單調遞增；當時，單調遞減；
.
（2）在單調遞增；上單調遞減；；
在上單調遞增；上單調遞減；
.
當時，；當時，在上單調遞減；
,
在上有唯一的零點
當時，無零點.
綜上，存在唯一的使，
即與有唯一的交點，
令，構造，
顯然與單調性相同，且在上有一個零點，另一個零點為，
構造與單調性相同，
且，
一個零點為，另一個零點.
故存在直線與和共有三個不同的交點，.
且由，而有在單調遞增；
且由，而，由在上單調遞減；，，
由，
從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.
題型四：利用同構解決不等式恒成立問題
例8．（2023·全國·高三專題練習）完成下列各問
（1）已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
（2）已知函數，若恒成立，則正數a的取值范圍是_______；
（3）已知函數，若恒成立，則正數a的取值范圍是_______；
（4）已知不等式對任意正數x恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
（5）已知函數，其中，若恒成立，則實數a與b的大小關系是_______；
（6）已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
（7）已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
（8）已知不等式，對恒成立，則k的最大值為_______；
（9）若不等式對恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
【答案】 ； ； ； ； ； ； ； ; .
【解析】解析：（1），
．又，，令，得或，令，得，所以在，遞減，在遞增，
所以，當時，，時，
（2），
當時，原不等式恒成立；
當時，，由于，
當且僅當等號成立，所以．
（3），
當時，原不等式恒成立；
當時，，由（1）中可得，當時，等號成立，
所以，當且僅當等號成立，
所以．
（4），由于，所以．
（5）．
由于，當且僅當等號成立，所以．
（6），由于，兩者都是當且僅當等號成立，則，所以．
（7），由于，兩者都是當且僅當等號成立，則，所以．
（8），由于，兩者都是當且僅當等號成立，所以，則，所以．
（9），當且僅當，即時等號成立．由有解，
，，易知在上遞增，在遞減，
所以
故答案為:；；；；；；；；
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知.設實數，若對任意的正實數，不等式恒成立，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】因為僅在時取等號，
故為R上的單調遞增函數，
故由設實數，對任意的正實數，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
當時，，恒成立，
當時，
構造函數，恒成立，
當時，遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，
即恒成立，故需，
設，，
在，上遞增，在，遞減，
，故的最小值為 ，
故答案為：
例10．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學校考模擬預測）已知不等式對恒成立，則實數m的最小值為__________.
【答案】
【解析】可變為，
再變形可得，，設，原不等式等價于
，因為，所以函數在上單調遞減，在
上單調遞增，而，，
當時，，所以由可得，，
因為，所以．
設，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以，即．
當時，不等式在恒成立；
當時，，無論是否存在，使得在上恒成立，都可判斷實數m的最小值為．
故答案為：．
變式10．設實數，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解析】解：實數，若對任意的，不等式恒成立，
即為，
設，，，
令，可得，
由指數函數和反比例函數在第一象限的圖象，
可得和有且只有一個交點，
設為，當時，，遞增；
當時，，遞減．
即有在處取得極小值，且為最小值．
即有，令，
可得，．
則當時，不等式恒成立．
則的最小值為．
另解1：由于與互為反函數，
故圖象關于對稱，考慮極限情況，恰為這兩個函數的公切線，
此時斜率，再用導數求得切線斜率的表達式為，
即可得的最小值為．
另解2：不等式恒成立，即為，
即有，可令，可得在遞增，
由選項可得，所以，若，則，
所以，即有，
由的導數為，當時，遞減．時，遞增，
可得時，取得最大值．則，
的最小值為．
故選：．
變式11．設實數，若對任意的，，不等式恒成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解析】解：因為對任意的，，不等式恒成立，
所以，
即，
令，，
則，
故在上單調遞增，
由題意得，
所以，即對任意的，恒成立，
故只需，
易得在，上單調遞增，
故（e），
所以．
故選：．
變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，當時，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當時，由，可得，
不等式兩邊同時除以可得，
即，
令，，其中，，
所以，函數在上為增函數，且，由，可得，
所以，對任意的，，即，
令，其中，則，
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以，，解得.
故選：B.
變式13．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知函數，.
(1)求函數的極值；
(2)請在下列①②中選擇一個作答（注意：若選兩個分別作答則按選①給分）.
①若恒成立，求實數的取值范圍；
②若關于的方程有兩個實根，求實數的取值范圍.
【解析】（1）函數的定義域為，
，解得，
當時，，單調遞增；
當時，單調遞減；
所以，無極小值.
（2）若選①：由恒成立，即恒成立，
整理得：，即，
設函數，則上式為，
因為恒成立，所以單調遞增，所以，
即，
令，，則，
當時，；
當時，；
所以在處取得極大值，的最大值為，故，即.
故當時，恒成立.
若選擇②：由關于的方程有兩個實根，
得有兩個實根，
整理得，
即，
設函數，則上式為，
因為恒成立，所以單調遞增，
所以，即，
令，，
則，
當時，；
當時，；
所以在處取得極大值，
的最大值為，又因為
所以要想有兩個根，只需要，
即，所以的取值范圍為.
題型五：利用同構求最值
例11．（2023·全國·高二專題練習）“朗博變形”是借助指數運算或對數運算，將化成，的變形技巧.已知函數，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
即，所以，，
令，則對任意的恒成立，
所以，函數在上單調遞增，
由可得，所以，
令，所以，
當時，；當時，.
所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，
故選：B.
例12．（2023·全國·高二期末）已知函數，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，
則．
于是．所以．
構造函數，
易知當時，單調遞增．所以，．
于是，
令，則．在上單調遞減，
在單調遞增．所以，即．
故選：A
例13．（2023·江西·臨川一中校聯考模擬預測）已知函數，，若，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定義域為，所以，..
，，則，
又因為，所以，
令，則，
，當時，，遞增，
所以，則，
，，
所以在區間遞減；在區間遞增，
所以的最小值為，即B選項正確.
故選：B
變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得，
所以，
所以，
所以，
由，得，
當時，由，得，
所以在上單調遞增，
所以，
所以，
令，則，
令，得，
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，
故選：A
變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知大于1的正數，滿足，則正整數的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．5 D．11
【答案】C
【解析】，，
令，，則，
令，解得：，
當時，，當時，，
故在上遞增，在，上遞減，
則的最大值是，
令，，則，
當時，此題無解，故，
則時，，當，，當，解得：，
故在遞減，在，遞增，
則的最小值是，
若成立，只需，
即，即，
兩邊取對數可得：，，
故的最大正整數為5，
故選：C．
變式16．（2023·安徽淮南·統考一模）已知兩個實數、滿足，在上均恒成立，記、的最大值分別為、，那么
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，利用導數證明出，可得出，，求得，，可求得、的值，由此可得出合適的選項.設，該函數的定義域為，則.
當時，，此時，函數單調遞減；
當時，，此時，函數單調遞增.
所以，，即，
令，則函數在上為增函數，且，，
所以，存在使得，
令，其中，.
當時，，此時函數單調遞減；
當時，，此時函數單調遞增.
所以，，又，
所以，存在使得.
，
當且僅當時，等號成立；
，
當且僅當時，等號成立.
所以，，即．
故選：B.
題型六：利用同構證明不等式
例14．已知函數，．
（1）討論的單調區間；
（2）當時，證明．
【解析】解：（1）的定義域為，
，
①當時，，此時在上單調遞減，
②當時，由可得，由，可得，
在上單調遞減，在，上單調遞增，
③當時，由可得，由，可得，
在上單調遞增，在，上單調遞減，
證明（2）設，則，
由（1）可得在上單調遞增，
（1），
當時，，
當時，，
在上單調遞減，
當時，，
，
，
．
例15．已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，求證：在上恒成立；
（3）求證：當時，．
【解析】（1）解：函數的定義域為，，
令，即，△，解得或，
若，此時△，在恒成立，
所以在單調遞增．
若，此時△，方程的兩根為：
，且，，
所以在上單調遞增，
在上單調遞減，
在上單調遞增．
若，此時△，方程的兩根為：
，且，，
所以在上單調遞增．
綜上所述：若，在單調遞增；
若，在，上單調遞增，
在上單調遞減．
（2）證明：由（1）可知當時，函數在上單調遞增，
所以（1），所以在上恒成立．
（3）證明：由（2）可知在恒成立，
所以在恒成立，
下面證，即證2 ，
設，，
設，，
易知在恒成立，
所以在單調遞增，
所以，
所以在單調遞增，
所以，
所以，即當時，．
法二：，即，
令，則原不等式等價于，
，令，則，遞減，
故，，遞減，
又，故，原結論成立．
例16．已知函數．
（1）討論函數的零點的個數；
（2）證明：．
【解析】（1）解：函數定義域為，則，
故在，遞增，
當時，，沒有零點；
當時，單調遞增，，（1），
由函數零點存在定理得在區間，內有唯一零點，
綜上可得，函數只有一個零點．
（2）證明：法一：要證，
即證，
令，定義域為，
則，
由（1）知，在區間，內有唯一零點，設其為，
則①，因，且在區間上單調遞增，
所以當時，，，單調遞減，
當，時，，，單調遞增；
所以，
由式①可得，，
所以，
又時，恒成立，
所以，得證．
法二：問題轉化為證明，
令，易知，（當且僅當時“”成立）
又，則，
故（當且僅當時“”成立）．
變式17．已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）若函數在處取得極值，對，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，求證：．
【解析】（1）解：，
得，得，
在上遞減，在上遞增．
（2）解：函數在處取得極值，
，
，
令，則，
由得，，由得，，
在，上遞減，在，上遞增，
，即．
（3）證明：，即證，
令，
則只要證明在上單調遞增，
又，
顯然函數在上單調遞增．
，即，
在上單調遞增，即，
當時，有．
變式18．已知函數，函數，，．
（1）討論的單調性；
（2）證明：當時，．
（3）證明：當時，．
【解析】解：（1）的定義域為，，
當，時，，則在上單調遞增；
當，時，令，得，
令，得，則在上單調遞減，在上單調遞增；
當，時，，則在上單調遞減；
當，時，令，得，
令，得，則在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）證明：設函數，則．
，，，，
則，從而在，上單調遞減，
，即．
（3）證明：方法一：當時，．
由（1）知，（1），，即．
當時，，，則，
即，又，
，
即．
方法二：當時，要證，
只需證
即證，
令，易證，
故，
所以當時，．重難點突破11 導數中的同構問題
目錄
方法技巧總結一、常見的同構函數圖像
函數表達式 圖像 函數表達式 圖像
函數極值點
函數極值點 函數極值點
函數極值點 過定點
函數極值點 函數極值點
函數極值點 函數極值點
方法技巧總結二：同構式的基本概念與導數壓軸題
1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式
2、同構式的應用：
（1）在方程中的應用：如果方程和呈現同構特征，則可視為方程的兩個根
（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進而和函數的單調性找到聯系．可比較大小或解不等式．<同構小套路>
①指對各一邊，參數是關鍵；②常用“母函數”：，；尋找“親戚函數”是關鍵；
③信手拈來湊同構，湊常數、、參數；④復合函數（親戚函數）比大小，利用單調性求參數范圍．
（3）在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構式，則為方程所表示曲線上的兩點．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程
（4）在數列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于與的同構式，從而將同構式設為輔助數列便于求解
3、常見的指數放縮：
4、常見的對數放縮：
5、常見三角函數的放縮：
6、學習指對數的運算性質時，曾經提到過兩個這樣的恒等式：
（1） 且時，有
（2） 當 且時，有
再結合指數運算和對數運算的法則，可以得到下述結論（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再結合常用的切線不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的結論，這里僅以第（3）條為例進行引申：
（7）；
（8）；
7、同構式問題中通常構造親戚函數與，常見模型有：
①；
②；
③
8、乘法同構、加法同構
（1）乘法同構，即乘同構，如；
（2）加法同構，即加同構，如，
（3）兩種構法的區別：
①乘法同構，對變形要求低，找親戚函數與易實現，但構造的函數與均不是單調函數；
②加法同構，要求不等式兩邊互為反函數，構造后的函數為單調函數，可直接由函數不等式求參數范圍；
題型一：不等式同構
例1．（2023·四川達州·高二?？茧A段練習）已知，且，，，則（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·湖北黃石·高二?？计谥校┮阎?，，，則（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2023·陜西榆林·高二?？计谀┮阎猘，b，，且，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·河南·高二校聯考期中）已知，，，則，，的大小順序是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，其中e為自然對數的底數，則下列選項中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2023·江西贛州·高二江西省信豐中學?？茧A段練習）已知函數的導數滿足對恒成立，且實數，滿足，則下列關系式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
題型二：同構變形
例4．（2023·全國·高三專題練習）對下列不等式或方程進行同構變形，并寫出相應的同構函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
題型三：零點同構
例5．（2023·全國·高三專題練習）設，滿足，則（ ）
A． B． C． D．6
例6．（2023·全國·高二專題練習）在數學中，我們把僅有變量不同，而結構 形式相同的兩個式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式．若關于的方程和關于b的方程可化為同構方程，則的值為（ ）
A． B．e C． D．1
例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）已知函數和有相同的最大值.
(1)求；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.
變式4．（2023·安徽安慶·高三校聯考階段練習）在數學中，我們把僅有變量不同，而結構 形式相同的兩個式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式.若關于的方程和關于的方程可化為同構方程.
（1）求的值；
（2）已知函數.若斜率為的直線與曲線相交于，兩點，求證：.
變式5．（2023·上海浦東新·高一上海南匯中學?？计谀┰O函數的定義域為，若函數滿足條件：存在，使在上的值域為（其中，則稱為區間上的“倍縮函數”.
(1)證明：函數為區間上的“倍縮函數”；
(2)若存在，使函數為上的“倍縮函數”，求實數的取值范圍；
(3)給定常數，以及關于的函數，是否存在實數，使為區間上的“1倍縮函數”.若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)設函數，若函數有兩個零點，求實數a的取值范圍．
變式7．（2023·全國·統考高考真題）已知函數和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．
變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.
變式9．（2023·江蘇常州·高三統考階段練習）已知函數和有相同的最大值.
(1)求實數的值；
(2)證明：存在直線，其與兩曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.
題型四：利用同構解決不等式恒成立問題
例8．（2023·全國·高三專題練習）完成下列各問
（1）已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
（2）已知函數，若恒成立，則正數a的取值范圍是_______；
（3）已知函數，若恒成立，則正數a的取值范圍是_______；
（4）已知不等式對任意正數x恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
（5）已知函數，其中，若恒成立，則實數a與b的大小關系是_______；
（6）已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
（7）已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
（8）已知不等式，對恒成立，則k的最大值為_______；
（9）若不等式對恒成立，則實數a的取值范圍是_______；
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知.設實數，若對任意的正實數，不等式恒成立，則的最小值為___________.
例10．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學?？寄M預測）已知不等式對恒成立，則實數m的最小值為__________.
變式10．設實數，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為　　
A． B． C． D．
變式11．設實數，若對任意的，，不等式恒成立，則的最大值為　　
A． B． C． D．
變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，當時，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式13．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知函數，.
(1)求函數的極值；
(2)請在下列①②中選擇一個作答（注意：若選兩個分別作答則按選①給分）.
①若恒成立，求實數的取值范圍；
②若關于的方程有兩個實根，求實數的取值范圍.
題型五：利用同構求最值
例11．（2023·全國·高二專題練習）“朗博變形”是借助指數運算或對數運算，將化成，的變形技巧.已知函數，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·全國·高二期末）已知函數，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例13．（2023·江西·臨川一中校聯考模擬預測）已知函數，，若，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知大于1的正數，滿足，則正整數的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．5 D．11
變式16．（2023·安徽淮南·統考一模）已知兩個實數、滿足，在上均恒成立，記、的最大值分別為、，那么
A． B． C． D．
題型六：利用同構證明不等式
例14．已知函數，．
（1）討論的單調區間；
（2）當時，證明．
例15．已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，求證：在上恒成立；
（3）求證：當時，．
例16．已知函數．
（1）討論函數的零點的個數；
（2）證明：．
變式17．已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）若函數在處取得極值，對，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，求證：．
變式18．已知函數，函數，，．
（1）討論的單調性；
（2）證明：當時，．
（3）證明：當時，．

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