資源簡介

第2課時　排列的綜合問題
[學習目標]　
1.掌握幾種有限制條件的排列.
2.能應用排列數公式解決簡單的實際問題．
一、特殊元素或特殊位置問題
例1　從包括甲、乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題．
(1)甲不在首位的排法有多少種？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？
反思感悟　解決排列問題，常用的思考方法有直接法和間接法．把特殊元素或特殊位置作為研究對象．
跟蹤訓練1　5名學生和1位老師站成一排照相，問老師不排在兩端的排法有多少種？
二、“相鄰”與“不相鄰”問題
例2　3名男生，4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必須排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰．
反思感悟　處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則．元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內部全排列．元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素．
跟蹤訓練2　(1)小陳準備將新買的《尚書·禮記》《左傳》《孟子》《論語》《詩經》五本書立起來放在書架上，若要求《論語》《詩經》兩本書相鄰，且《尚書·禮記》放在兩端，則不同的擺放方法有(　　)
A．18種 B．24種
C．36種 D．48種
(2)永定土樓，位于中國東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨一無二的神奇的山區民居建筑，是中國古建筑的一朵奇葩，并成功列入世界遺產名錄．它歷史悠久、風格獨特，規模宏大、結構精巧．土樓具體有圓形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊腳樓等類型．現有某大學建筑系學生要重點對這七種主要類型的土樓依次進行調查研究．要求調查順序中，圓形要排在第一個或最后一個，方形、五角形相鄰，則不同的排法共有(　　)
A．480種 B．240種
C．384種 D．1 440種
三、定序問題
例3　將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？
反思感悟　在有些排列問題中，某些元素的前后順序是確定的(不一定相鄰)．解決這類問題的基本方法有兩個：
(1)整體法，即若有(m＋n)個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，將這(m＋n)個元素排成一列，有A種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有A種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法；
(2)插空法，即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空中．
跟蹤訓練3　某電視節目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相．
(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？
(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？
1．知識清單：
(1)有限制條件的排列問題．
(2)“相鄰”與“不相鄰”、“在”與“不在”、定序問題．
2．方法歸納：捆綁法、插空法、定序問題除法處理、間接法．
3．常見誤區：分類討論時，出現重復或遺漏，各種方法使用不當．
1．五聲音階(漢族古代音律)是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮、商、角、徵、羽．若將這五個音階排成一列，形成一個音序，且要求宮、羽兩音節不相鄰，則可排成不同的音序的種數為(　　)
A．12 B．48
C．72 D．120
2．(多選)若3男3女排成一排，則下列說法錯誤的是(　　)
A．共計有720種不同的排法
B．男生甲排在兩端的排法種數為120
C．男生甲、乙相鄰的排法種數為120
D．男、女生相間的排法種數為72
3．有五名學生站成一排照畢業紀念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有(　　)
A．66種 B．60種
C．36種 D．24種
4．某中學為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會．晚會組委會計劃在原定排好的5個學生節目中增加2個教師節目，若保持原來5個節目的出場順序不變，則有________種不同排法．(用數字作答)
第2課時　排列的綜合問題
例1　解　(1)方法一　把元素作為研究對象．
第一類，不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學中選出5名排在5個位置上，有A種排法；
第二類，含有甲，甲不在首位，先從除首位以外的其他4個位置中選出1個排甲，再從甲以外的6名同學中選出4名排在另外4個位置上，有A種排法．根據分步乘法計數原理，有4×A種排法．
由分類加法計數原理知，共有A＋4×A＝2 160(種)排法．
方法二　把位置作為研究對象．
第一步，從甲以外的6名同學中選1名排在首位，有A種排法；
第二步，從占據首位以外的6名同學中選4名排在除首位以外的其他4個位置上，有A種排法．
由分步乘法計數原理知，共有AA＝2 160(種)排法．
方法三　(間接法)先不考慮限制條件，從7人中選出5人進行排列，然后把不滿足條件的排列去掉．
不考慮甲不在首位的要求，總的可能情況有A種，甲在首位的情況有A種，
所以符合要求的排法有A－A＝2 160(種)．
(2)把位置作為研究對象．
第一步，從甲以外的6名同學中選2名排在首末2個位置上，有A種排法；
第二步，從剩下的5名同學中選3名排在中間3個位置上，有A種排法．
根據分步乘法計數原理，共有AA＝1 800(種)排法．
(3)把位置作為研究對象．
第一步，從甲、乙以外的5名同學中選2名排在首末2個位置，有A種排法；
第二步，從剩下的5名同學中選出3名排在中間3個位置上，有A種排法．
根據分步乘法計數原理，共有AA＝1 200(種)排法．
(4)間接法．
總的可能情況有A種，減去甲在首位的A種排法，再減去乙在末位的A種排法，注意到甲在首位，同時乙在末位的排法數被減去了兩次，所以還需補回一次A種排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(種)排法．
跟蹤訓練1　解　方法一　(先滿足特殊位置)由于排頭和排尾兩個位置有限制要求，因此先從5名學生中選出2名站在排頭和排尾，有A種方法，余下的四人可任意站，有A種方法，
所以符合要求的排法有AA＝480(種)．
方法二　(先滿足特殊元素)老師既然不能排在兩端，于是可以從中間四個位置中任選一個，有A種方法.5名學生在余下的五個位置中任意排列，有A種排法．因此符合題意的排法有AA＝480(種)．
方法三　(間接法)由于六個人任意排有A種排法，但實際必須減去老師排在排頭的A種方法和排在排尾的A種方法，
因而有A－2A＝480(種)排法．
例2　解　(1)(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起，即把3名男生進行全排列，有A種排法，女生必須站一起，即把4名女生進行全排列，有A種排法，全體男生和全體女生各看作一個元素全排列有A種排法，由分步乘法計數原理知，共有A·A·A＝288(種)排法．
(2)(捆綁法)把所有男生看作一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，
故有A·A＝720(種)不同的排法．
(3)(不相鄰問題插空法)先排女生有A種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五個空中，有A種排法，故有A·A＝1 440(種)不同的排法．
(4)先排男生有A種排法，讓女生插空，有A·A＝144(種)不同的排法．
跟蹤訓練2　(1)B　[先將《論語》《詩經》兩本書捆綁看作一個整體，則可以看作共4個位置．
先排《尚書·禮記》，排法種數為A；然后剩余3個位置全排列，排法種數為A；最后排好《論語》《詩經》，兩本書的排法種數為A.所以不同的擺放方法有AAA＝2×6×2＝24(種)．]
(2)A　[當圓形排在第一個時，因為方形、五角形相鄰，所以捆在一起與其他圖形全排列，且方形、五角形內部排列，有AA＝240(種)不同的排法，
同理當圓形排在最后一個時，有AA＝240(種)不同的排法．
綜上，圓形要排在第一個或最后一個，方形、五角形相鄰，則共有480種不同的排法．]
例3　解　5個不同元素中部分元素A，B，C的排列順序已定，這種問題有以下兩種常用的解法．
方法一　(整體法)5個元素無約束條件的全排列有A種，由于字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(種)．
方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”，將字母D，E插入形成的4個空中，分兩類：
第一類，若字母D，E相鄰，則有A·A種排法；
第二類，若字母D，E不相鄰，則有A種排法．
所以有A·A＋A＝20(種)不同的排列方法．
同理，若字母A，B，C的排列順序為“C，B，A”，也有20種不同的排列方法．
因此滿足條件的排列有20＋20＝40(種)．
跟蹤訓練3　解　(1)5位嘉賓無約束條件的全排列有A種，由于3位老者的排列順序已定，因此滿足3位老者按年齡從大到小的順序出場，出場順序有＝20(種)．
(2)設符合條件的排法共有x種，
用(1)的方法可得x·A·A＝A，
解得x＝＝10.
隨堂演練
1．C　[先排其他三個，然后在空檔插入宮、羽兩音節，方法數為AA＝72.]
2．BC　[3男3女排成一排共計有A＝720(種)不同的排法；男生甲排在兩端的排法種數為2A＝240；男生甲、乙相鄰的排法種數為AA＝240；男、女生相間的排法種數為2AA＝72.]
3．B　[五名學生進行全排列共有A種站法，而甲站在乙的左邊，或乙的右邊，故甲不排在乙的左邊的情況共有＝60(種)．]
4．42
解析?、佼?個教師節目相鄰時，利用插空法有6A＝12(種)不同的排法，②當2個教師節目不相鄰時，有A＝30(種)不同的排法，所以共有12＋30＝42(種)不同的排法．6.2　排列與組合
6.2.1　排　列 6.2.2　排列數
第1課時　排列與排列數
[學習目標]　
1.理解并掌握排列的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列.
2.掌握排列數公式并會應用．
一、排列概念的理解
問題1　從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？
知識梳理
1．排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照________________排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
2．根據排列的定義，兩個排列相同的充要條件：(1)兩個排列的元素______________；(2)元素的排列________也相同．
例1　(多選)下列問題是排列問題的是(　　)
A．北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)
B．選2個小組分別去植樹和種菜
C．選10人組成一個學習小組
D．選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員
反思感悟　判斷一個問題是否為排列問題，主要從“取”與“排”兩方面考慮
(1)“取”，檢驗取出的m個元素是否重復；
(2)“排”，檢驗取出的m個元素是否有順序性，其關鍵方法是，交換兩個位置看其結果是否有變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序．
跟蹤訓練1　下列問題是排列問題的是(　　)
A．從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法
B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信
C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線
D．從1,2,3,4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種
二、排列數公式
問題2　怎樣推導從n個不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)個元素的排列數A？
知識梳理
1.
排列數定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有____________的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數
排列數表示法 A
排列數公式 乘積式 A＝________________
階乘式 A＝________________
備注 n，m∈N*，m≤n
2.全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列．
正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用________表示，于是，n個元素的全排列數公式可以寫成____________．
規定：0！＝1.
例2　計算：
(1)；
(2)解方程：A＝140A.
反思感悟　排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算．
跟蹤訓練2　(1)不等式A<6A的解集為(　　)
A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8}
(2)計算：＝________.
三、排列數公式的簡單應用
例3　用0～9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？
反思感悟　對于簡單的排列問題可直接代入排列數公式，也可以用樹狀圖法．對于情況較多的情形，可以先進行分類討論再計算．
跟蹤訓練3　已知有4名司機，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有1名司機和1名售票員，則可能的分配方法有(　　)
A．A種 B．A種
C．AA種 D．2A種
1．知識清單：
(1)排列、排列數的定義．
(2)排列的簡單應用．
(3)排列數公式的應用．
2．方法歸納：樹狀圖法．
3．常見誤區：忽視A中“m，n∈N*”這個條件．
1．(多選)下列問題中是排列問題的是(　　)
A．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數學、物理興趣小組
B．從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動
C．從a，b，c，d中選出3個字母
D．從1,2,3,4,5這五個數字中取出2個數字組成一個兩位數
2．A－A的值是(　　)
A．480 B．520
C．600 D．1 320
3．3個學生在4本不同的參考書中各挑選1本，不同的選法種數為(　　)
A．3 B．24
C．34 D．43
4．從班委會的5名成員中選出3名分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有________種．(用數字作答)
6.2.1　排　列 6.2.2　排列數
第1課時　排列與排列數
問題1　如圖所示，共有6種不同的選法．
知識梳理
1．一定的順序
2．(1) 完全相同　(2)順序
例1　BD　[三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格，不存在順序問題，所以A選項不是排列問題；植樹和種菜是不同的，存在順序問題，所以B選項是排列問題；C選項中不存在順序問題，所以不是排列問題；每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，所以D選項是排列問題．]
跟蹤訓練1　B　[對于A,8名同學中選取2名，不涉及順序問題，不是排列問題，A錯誤；
對于B,10個人互相通信，涉及到順序問題，是排列問題，B正確；
對于C,5個點中任取2點，不涉及順序問題，不是排列問題，C錯誤；
對于D,4個數字中任取2個，根據乘法交換律知，結果不涉及順序，不是排列問題，D錯誤．]
問題2　我們把從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)個元素的排列，看成從n個不同的球中取出m個球，放入排好的m個盒子中，每個盒子里放一個球，我們根據分步乘法計數原理排列這些球：
第1步，從全體n個球中任選一個放入第1個盒子，有n種方法；
第2步，從剩下的(n－1)個球中任選一個放入第2個盒子，有(n－1)種方法；
第3步，從剩下的(n－2)個球中任選一個放入第3個盒子，有(n－2)種方法；
…
第m步，從剩下的[n－(m－1)]個球中任選一個放入第m個盒子，有[n－(m－1)]種方法，如表所示．
盒子 1 2 3 … m
方法數 n n－1 n－2 … n－(m－1)
因此，根據分步乘法計數原理，從n個不同的球中取出m個球的排列，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]種方法．
知識梳理
1．不同排列　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　
2．n！　A＝n!
例2　解　(1)＝
＝＝＝.
(2)因為
所以x≥3，x∈N*.
由A＝140A得
(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)
＝140x(x－1)(x－2)．
化簡得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝(舍去)．
所以原方程的解為x＝3.
跟蹤訓練2　(1)D　[由A<6A，得<6×，
化簡得x2－19x＋84<0，
解得7又
所以2由①②及x∈N*，得x＝8.]
(2)－
解析?。剑剑剑剑?
例3　解　方法一　分兩步完成：
(1)從1到9這九個數中任選一個占據百位，有A種方法．
(2)從余下的9個數(包括數字0)中任選2個占據十位，個位，有A種方法．
由分步乘法計數原理可得，所求的三位數的個數為AA＝9×9×8＝648.
方法二　符合條件的三位數可以分三類：
(1)每一位數字都不是0的三位數有A個；
(2)個位數字是0的三位數有A個；
(3)十位數字是0的三位數有A個．
由分類加法計數原理可得，所求的三位數的個數為A＋A＋A＝648.
方法三　不考慮任何限制條件求出所有的三位數的個數，再減去不符合條件的三位數的個數，
即A－A＝648.
跟蹤訓練3　C　[司機、售票員各有A種分配方法，由分步乘法計數原理知，共有AA種不同的分配方法．]
隨堂演練
1．AD　[由排列的定義知AD是排列問題．]
2．C　[A＝12×11×10＝1 320，
A＝10×9×8＝720，
故A－A＝1 320－720＝600.]
3．B　[3個學生在4本不同的參考書中各挑選一本，相當于從4個不同元素中選3個的排列，其選法種數為4×3×2＝24.]
4．36
解析　文娛委員有3種選法，則安排學習委員、體育委員有A＝12(種)方法，由分步乘法計數原理知，共有3×12＝36(種)選法．

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