資源簡介

6.2.3　組　合 6.2.4　組合數(shù)
第1課時　組合與組合數(shù)
[學(xué)習(xí)目標]　
1.理解組合的定義，正確認識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.
2.掌握組合數(shù)公式及性質(zhì)的應(yīng)用，會用組合知識解決一些簡單的組合問題．
一、組合概念的理解
知識梳理
組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素____________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
例1　(多選)下列四個問題中，屬于組合問題的是(　　)
A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列
B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌
C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星
D．將3本相同的書分給10人中的3人，每人1本
反思感悟　判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)的是組合問題．
跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列問題是組合問題還是排列問題：
(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票？
(2)把5本不同的書分給5個學(xué)生，每人一本；
(3)從7本不同的書中取出5本給某個學(xué)生．
二、利用組合數(shù)公式化簡、求值與證明
知識梳理
(1)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的______________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號________表示．
(2)組合數(shù)公式：
C＝＝____________________或C＝________________(n，m∈N*，且m≤n)．
(3)規(guī)定：C＝1.
(4)性質(zhì)1：C＝____________，
性質(zhì)2：C＝C＋C.
例2　(1)C＋C等于(　　)
A．25 B．30 C．35 D．40
(2)(多選)對于m∈N*，n∈N*，m≤n，下列關(guān)于排列組合數(shù)的結(jié)論正確的是(　　)
A．C＝C＋C
B．C＝C
C．A＝CA
D．A＝(m＋1)A
反思感悟　(1)在解有關(guān)組合數(shù)的方程或不等式時，必須注意隱含條件n≥m.求出方程或不等式的解后，要進行檢驗．
(2)合理選用組合數(shù)的兩個性質(zhì)C＝C，C＝C－C能起到簡化運算的作用，需熟練掌握．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)下列等式正確的是(　　)
A．若C＝C，則n＝8
B．C＝C＋C
C．C＋C＋C＝7
D．7C－4C＝0
(2)計算：C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝________.
三、組合數(shù)的簡單應(yīng)用
例3　從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽．
(1)如果4人中男生、女生各選2人，那么有多少種選法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有多少種選法？
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有多少種選法？
(4)如果4人中必須既有男生又有女生，那么有多少種選法？
反思感悟　解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題．與兩個基本原理的應(yīng)用有關(guān)的問題，在分類與分步時，一定要注意有無重復(fù)和遺漏．
跟蹤訓(xùn)練3　一個口袋內(nèi)裝有7個白球和1個黑球．
(1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？
(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？
(3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？
1．知識清單：
(1)組合與組合數(shù)的定義．
(2)組合數(shù)的計算與證明．
(3)組合數(shù)的簡單應(yīng)用．
2．方法歸納：公式法、間接法．
3．常見誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”．
1．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有(　　)
A．A種 B．C種
C．CA種 D．30種
2．若C＝36，則n的值為(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
3．學(xué)生可從本年級開設(shè)的6門選修課中任意選擇3門，并從5種課外活動小組中選擇2種，則不同的選法有(　　)
A．200種 B．400種
C．100種 D．300種
4．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的選法種數(shù)為(　　)
A．28 B．49
C．56 D．85
6.2.3　組　合 6.2.4　組合數(shù)
第1課時　組合與組合數(shù)
知識梳理
作為一組
例1　CD　[A，B與順序有關(guān)，是排列問題，而C，D與順序無關(guān)，是組合問題．]
跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)因為一種火車票與起點、終點順序有關(guān)，如甲→乙和乙→甲的車票是不同的，所以它是排列問題．
(2)由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問題．
(3)從7本不同的書中，取出5本給某個學(xué)生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題．
知識梳理
(1)所有不同組合的個數(shù)　C　
(2)　　(4)C
例2　(1)B　[C＋C＝＋＝10＋20＝30.]
(2)BC　[對于A，C＋C＝＋＝＋ ＝＝C，A錯誤；
對于B，由組合數(shù)的性質(zhì)知，C＝C成立，B正確；
對于C，因為C＝，因此A＝CA成立，C正確；
對于D，因為A＝(n＋1)n(n－1)·…(n－m＋1)，A＝m！，所以A≠(m＋1)A，D錯誤．]
跟蹤訓(xùn)練2　(1)BCD　[對于A，由C＝C，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，A不正確；
對于B，由組合數(shù)的性質(zhì)知B正確；
對于C，C＋C＋C＝1＋3＋3＝7，C正確；
對于D,7C－4C＝7×－4×＝140－140＝0，D正確．]
(2)490
解析　C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C－5＝C－5
＝C－5＝－5＝490.
例3　解　(1)4人中男生和女生各選2人，共有C×C＝10×6＝60(種)選法．
(2)除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，則男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)共有C＝21(種)選法．
(3)方法一　(直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，包含兩種情況，第一種情況：甲和乙都在內(nèi)，有C＝21(種)選法，第二種情況：甲、乙只有1人在內(nèi)，有CC＝70(種)選法，則男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)共有21＋70＝91(種)選法．
方法二　(間接法)男生中的甲和女生中的乙不在內(nèi)的情況，共有C＝35(種)選法，則可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在內(nèi)共有C－C＝126－35＝91(種)選法．
(4)方法一　(直接法)如果4人中必須既有男生又有女生，可以按含有女生的人數(shù)分成三類：1男3女；2男2女；3男1女．則4人中必須既有男生又有女生共有CC＋CC＋CC＝20＋60＋40＝120(種)選法．
方法二　(間接法)如果4人中必須既有男生又有女生，先從所有9人中選4人，再去掉只有男生和只有女生的情況，故共有C－C－C＝120(種)選法．
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球，
取法種數(shù)是C＝＝＝56.
(2)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是C＝＝＝35.
隨堂演練
1．B　[三張票沒區(qū)別，從10人中選3人即可，即C.]
2．C　[∵C＝36，∴＝36，
即n2－n－72＝0，
∴(n－9)(n＋8)＝0.
∵n∈N*，∴n＝9.]
3．A　[從6門選修課中任意選擇3門有C種方法，從5種課外活動小組中選擇2種有C種方法，由分步乘法計數(shù)原理得CC＝20×10＝200(種)，所以不同的選法有200種．]
4．B　[依題意，滿足條件的選法種數(shù)為CC＋CC＝49.]第2課時　排列、組合的綜合應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標]　
1.掌握具有限制條件的排列、組合問題的解決方法.
2.理解排列、組合中的多面手問題、分組分配等問題．
一、有限制條件的排列、組合問題
例1　課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？
(1)至少有一名隊長當選；
(2)至多有兩名女生當選；
(3)既要有隊長，又要有女生當選．
反思感悟　有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類
(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù)．
(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)某食堂每天中午準備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；②任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天午餐不同的搭配方法共有(　　)
A．210種 B．420種
C．56種 D．22種
(2)甲、乙兩名同學(xué)從生物、地理、政治、化學(xué)中各選兩門進行學(xué)習(xí)，若甲、乙不能同時選生物，則甲、乙總的選法有(　　)
A．27種 B．18種
C．36種 D．48種
二、多面手問題
例2　某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少種不同的選法？
反思感悟　解決多面手問題時，依據(jù)多面手參加的人數(shù)和從事的工作進行分類，將問題細化為較小的問題后再處理．
跟蹤訓(xùn)練2　某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現(xiàn)在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則共有多少種不同的選法？
三、分組、分配問題
角度1　不同元素分組、分配問題
例3　6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？
(1)每組2本(平均分組)；
(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；
(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組)．
反思感悟　“分組”與“分配”問題的解法
(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！；
②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！；
③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．
(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．
角度2　相同元素分配問題
例4　將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù)．
(1)每個盒子都不空；
(2)恰有一個空盒子．
反思感悟　相同元素分配問題的處理策略
(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此方法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．
(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有C種方法．可描述為(n－1)個空中插入(m－1)塊隔板．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)某社區(qū)服務(wù)站將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分別去三個不同的社區(qū)宣傳腎臟日的主題：“盡快行動，盡快預(yù)防”，則不同的分配方案有________種．(用數(shù)字作答)
(2)將12枝相同顏色的鮮花放入編號為1,2,3,4的花瓶中，要求每個花瓶中的鮮花的數(shù)量不小于其編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)為________．
1．知識清單：
(1)有限制條件的排列、組合問題．
(2)多面手問題．
(3)分組、分配問題．
2．方法歸納：分類討論、插空法、隔板法、均分法．
3．常見誤區(qū)：分類不當；平均分組理解不到位．
1．登山運動員10人，平均分為兩組，其中熟悉道路的有4人，每組都需要2人，那么不同的分配方法種數(shù)是(　　)
A．30 B．60
C．120 D．240
2．空間中有10個點，無三點共線，其中有5個點在同一個平面內(nèi)，其余點無四點共面，則以這些點為頂點，共可構(gòu)成四面體的個數(shù)為(　　)
A．205 B．110
C．204 D．200
3．某大廈一層有A，B，C，D四部電梯，現(xiàn)有3人在一層乘坐電梯上樓，其中恰有2人乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有________種．(用數(shù)字作答)
4．某校從8名教師中選派4名去某個偏遠地區(qū)支教，其中甲和乙不能都去，則不同的選派方案共有________種．(用數(shù)字作答)
第2課時　排列、組合的綜合應(yīng)用
例1　解　(1)C－C＝825(種)．
(2)至多有2名女生當選含有三類：
有2名女生當選；只有1名女生當選；沒有女生當選，
所以共有CC＋CC＋C＝966(種)選法．
(3)分兩類：
第一類：女隊長當選，有C＝495(種)選法；
第二類：女隊長沒當選，有CC＋CC＋CC＋C＝295(種)選法，
所以共有495＋295＝790(種)選法．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)A　[由分類加法計數(shù)原理知，兩類午餐的搭配方法之和即為所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有CC＋CC＝210(種)．]
(2)A　[當甲選生物，乙不選生物時，甲、乙的選法有CC＝9(種)；
當甲不選生物，乙隨便選時，甲、乙的選法有CC＝18(種)，
則甲、乙總的選法共有9＋18＝27(種)．]
例2　解　由題意知，有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語．
方法一　分兩類．
第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2＋1＝3(種)選法．此時共有6×3＝18(種)選法．
第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法．
所以由分類加法計數(shù)原理知，共有18＋2＝20(種)不同的選法．
方法二　設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語．
第一類：甲入選．
(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理知，有1×2＝2(種)選法；
(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理知，有1×6＝6(種)選法．
故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種)．
第二類：甲不入選，可分兩步：
第一步，從只會英語的6人中選1人，有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人，有2種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，有6×2＝12(種)不同的選法．
綜上，共有8＋12＝20(種)不同的選法．
跟蹤訓(xùn)練2　解　分三類：第一類，選出的4名鉗工中無“多面手”，
此時選法有CC＝75(種)；
第二類，選出的4名鉗工中有1名“多面手”，
此時選法為CCC＝100(種)；
第三類，選出的4名鉗工中有2名“多面手”，
此時選法為CCC＝10(種)．
由分類加法計數(shù)原理得，共有75＋100＋10＝185(種)不同的選法．
例3　解　(1)每組2本，均分為3組的分組種數(shù)為＝＝15.
(2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數(shù)為CCC＝20×3＝60.
(3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數(shù)為＝＝15.
例4　解　(1)先把6個相同的小球排成一行，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，故共有C＝10(種)放法．
(2)恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有C種選法，第二步在小球之間5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，由分步乘法計數(shù)原理得，共有C·C＝40(種)放法．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)90
解析　·A＝90(種)．
(2)10
解析　先給每個花瓶放入數(shù)量與其編號數(shù)相同的鮮花，則還剩2枝鮮花．這2枝鮮花可以放在1個或2個花瓶中，
所以不同的放法共有C＋C＝10(種)．
隨堂演練
1．B　[先將4個熟悉道路的人平均分成兩組，有種，再將余下的6人平均分成兩組，有種，然后這四個組自由搭配還有A種，故最終分配方法有＝60(種)．]
2．A　[方法一　可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類，則可構(gòu)成四面體的個數(shù)為CC＋CC＋CC＋CC＝205.
方法二　從10個點中任取4個點的方法數(shù)中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構(gòu)成四面體的個數(shù)為C－C＝205.]
3．36
解析　由題意得，不同的乘坐方式有CCA＝36(種)．
4．55
解析　由于“甲和乙不能都去”，故要分三類完成：
第一類，甲去乙不去，有C種選派方案；
第二類，乙去甲不去，有C種選派方案；
第三類，甲、乙都不去，有C種選派方案．
故共有C＋C＋C＝55(種)不同的選派方案．

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