資源簡介

6.3.2　二項式系數的性質
第1課時　二項式系數的性質
[學習目標]　
1.理解二項式系數的性質并靈活運用.
2.掌握“賦值法”并會靈活應用．
一、二項式系數的性質
知識梳理
1．對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數________，即C＝C.
2．增減性與最大值：
(1)若n為奇數，當k≤時，C C，此時遞增，當k≥時，C C，此時遞減；若n為偶數，當k≤時，C C，此時遞增；當k≥時，C C，此時遞減．
(2)當n是偶數時，中間的一項________取得最大值；
當n是奇數時，中間的兩項__________與________相等，且同時取得最大值．
例1　已知在(x－2)n(n∈N*)的展開式中，第2項與第8項的二項式系數相等．
(1)求n的值；
(2)求展開式中二項式系數最大的項．
反思感悟　通過二項式系數的性質，利用對稱性二項式系數相等；利用對(a＋b)n的n的值進行討論，求解二項式系數最大問題．
跟蹤訓練1　(1)已知(a＋b)2n的展開式的第4項與第8項的二項式系數相等，則(2x－1)n的展開式中x3的系數為(　　)
A．80 B．40
C．－40 D．－80
(2)如圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘，a，b是某行的前兩個數，當a＝7時，b等于(　　)
A．20 B．21 C．22 D．23
二、各二項式系數的和
問題　在二項展開式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么結論？令a＝1，b＝－1，可得到什么結論？
知識梳理
1．C＋C＋…＋C＝________.
2．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________.
例2　(1)8的展開式中所有二項式系數的和是________；展開式中所有偶數項的二項式系數和是________．(用數字作答)
(2)已知(x－my)n的展開式中二項式系數之和為64，x3y3的系數為－160，則實數m＝________.
反思感悟　(a＋b)n的展開式的各二項式系數的和為2n.
跟蹤訓練2　已知(1＋2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為(　　)
A．512 B．210
C．211 D．212
三、二項展開式的各項系數的和
例3　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
反思感悟　求展開式的各項系數之和常用賦值法
(1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
跟蹤訓練3　設(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R)．
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值．
1．知識清單：
(1)二項式系數的性質．
(2)各二項式系數的和．
(3)二項展開式的各項系數的和．
2．方法歸納：賦值法．
3．常見誤區：系數與二項式系數的區別，中間項的個數，含絕對值的系數．
1．在(a－b)20的二項展開式中，二項式系數與第6項的二項式系數相同的項是(　　)
A．第15項 B．第16項
C．第17項 D．第18項
2.11的展開式中二項式系數最大的項是(　　)
A．第3項 B．第6項
C．第6,7項 D．第5,7項
3．若n的展開式中所有二項式系數的和為64，則展開式中的常數項是(　　)
A．240 B．－240
C．160 D．－160
4．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，則a0＋a1＋a2＋…＋a6的值為________．
6.3.2　二項式系數的性質
第1課時　二項式系數的性質
知識梳理
1．相等
2．(1)<　>　<　> (2)　　
例1　解　(1)依題意得，C＝C，解得n＝8.
(2)因為n＝8，展開式中共有9項，根據二項式系數的性質，可得第5項的二項式系數最大，于是展開式中二項式系數最大的項為Cx4(－2)4＝1 120x4.
跟蹤訓練1　(1)A　[由題意C＝C，所以3＋7＝2n，解得n＝5，
則(2x－1)5的展開式的通項為
Tk＋1＝C(2x)5－k(－1)k
＝(－1)k25－kCx5－k，
由5－k＝3，得k＝2，所以x3的系數為(－1)2×C×23＝80.]
(2)C　[由a＝7，可知b左肩上的數為6，右肩上的數為11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.]
問題　C＋C＋C＋…＋C＝2n；
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
知識梳理
1．2n　2.2n－1
例2　(1)256　128
解析　8的展開式中所有二項式系數的和是28＝256，展開式中所有偶數項的二項式系數和是27＝128.
(2)2
解析　由題意得，2n＝64，解得n＝6，而(x－my)6的通項公式為Cx6－k(－my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系數為C(－m)3＝－160，解得m＝2.
跟蹤訓練2　A　[∵(1＋2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，
∴C＝C，解得n＝10，各二項式系數之和為210，
∵奇數項的二項式系數與偶數項的二項式系數的和相等，
∴(1＋2x)10的展開式中奇數項的二項式系數和為×210＝29＝512.]
例3　解　(1)令x＝0，得a0＝－1.
令x＝1，
得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，則a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
(3)∵Tk＋1＝C(3x)7－k(－1)k，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|
＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384.
跟蹤訓練3　解　(1)在(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023中，令x＝0，得1＝a0，∴a0＝1.
(2)令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－2.
(3)分別令x＝－1，x＝1，
得
②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023)．
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 023
＝.
隨堂演練
1．B　[第6項的二項式系數為C，又C＝C，所以第16項符合條件．]
2．C　[11的展開式中第＋1項和＋1項，即第6,7項的二項式系數相等，且最大．]
3．A　[由二項式系數的性質可知，二項式系數和為2n＝64，所以n＝6，6的展開式的通項為Tk＋1＝C(2x)6－kk
＝(－1)kC26－kx6－3k，令6－3k＝0，則k＝2，則常數項為T3＝(－1)2C24＝240.]
4．129
解析　令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
則a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，
解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.第2課時　二項式定理的綜合應用
[學習目標]　
1.熟練掌握二項式定理.
2.能夠利用二項式定理解決兩個多項式乘積的特定項問題.
3.掌握二項展開式中系數最大(小)問題.
4.能利用二項式定理解決整除(余數)問題．
一、兩個二項式積與三項展開式問題
例1　(1)已知(2x－a)6的展開式中x2的系數為－240，則該二項展開式中的常數項為________．
(2)5的展開式中的常數項是________．
反思感悟　求解兩個二項式積的問題時，分別對每個二項展開式進行分析，找到構成展開式中特定項的組成部分，分別求解再相乘，求和即得；求解三項展開式時，應根據式子的特點，轉化為二項式(或二項式積)來解決．
跟蹤訓練1　(1)若5的展開式中各項系數的和為2，則a＝________，該展開式中的常數項為________．
(2)在(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為________．
二、整除和余數問題
例2　(1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　)
A．一 B．二 C．三 D．四
(2)求證：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．
反思感悟　(1)利用二項式定理處理整除問題，通常把底數寫成除數(或與除數密切關聯的數)與某數的和或差的形式，再利用二項式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項就可以了．
(2)解決求余數問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式．
跟蹤訓練2　(1)1.026的近似值(精確到0.01)為________．
(2)設a∈Z，且0≤a<13，若512 023＋a能被13整除，則a＝________.
三、二項展開式中的系數最值問題
例3　(1)在n的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數最小的項的系數為(　　)
A．－126
B．－70
C．－56
D．－28
(2)6的展開式中二項式系數最大的項為第____________項，系數最大的項為________．
反思感悟　求解二項展開式中系數的最值策略
(1)求二項式系數的最大值，依據(a＋b)n中n的奇偶及二項式系數的性質求解．
(2)求展開式中項的系數的最大值，由于展開式中項的系數是離散型變量，設展開式各項的系數分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數最大，因此在系數均為正值的前提下，求展開式中項的系數的最大值只需解不等式組
即得結果．
跟蹤訓練3　(多選)已知n的二項展開式中二項式系數之和為64，下列結論正確的是(　　)
A．二項展開式中各項系數之和為36
B．二項展開式中二項式系數最大的項為
C．二項展開式中無常數項
D．二項展開式中系數最大的項為90x3
1．知識清單：
(1)兩個二項式積與三項展開式問題．
(2)整除和余數問題．
(3)二項展開式中的系數最值問題．
2．方法歸納：分類討論、方程思想等．
3．常見誤區：分類不當，重復或遺漏．
1．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數為(　　)
A．30 B．20 C．15 D．10
2．9192被100除所得的余數為(　　)
A．1 B．81 C．－81 D．992
3．(x＋y＋3)5展開式中不含y的各項系數之和為(　　)
A．25
B．35
C．45
D．(x＋3)5
4．在5的展開式中，x3的系數等于－5，則該展開式各項的系數中最大值為________．
第2課時　二項式定理的綜合應用
例1　(1)－640
解析　6的展開式的通項公式為Tk＋1＝Cx6－kk
＝C2kx6－2k(k＝0,1,2,3,4,5,6),
令6－2k＝1，得k＝(舍去)；
令6－2k＝2，得k＝2.
故(2x－a)6的展開式中x2的系數為
－aC22＝－240，解得a＝4.
令6－2k＝－1，得k＝(舍去)；
令6－2k＝0，得k＝3.
故(2x－4)6的展開式中的常數項為－4C×23＝－640.
(2)
解析　方法一　原式＝5，
∴展開式的通項為(k1＝0,1,2，…，5)．
當k1＝5時，T6＝()5＝4，
當0≤k1<5時，的展開式的通項為
＝(k2＝0,1,2，…，5－k1)．
令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，
∴或
∴常數項為4＋CC×2×＋CC××()3＝4＋＋20＝.
方法二　原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式的展開式中的常數項，轉化為求(x＋)10的展開式中含x5項的系數，即C()5.
∴所求的常數項為＝.
跟蹤訓練1　(1)1　40
解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，
故5的展開式中的常數項即為5的展開式中與x的系數之和．
5的展開式的通項為
Tk＋1＝(－1)k25－kCx5－2k，
令5－2k＝1，得k＝2，
∴展開式中x的系數為
C×25－2×(－1)2＝80.
令5－2k＝－1，得k＝3，
∴展開式中的系數為
C×25－3×(－1)3＝－40，
∴5的展開式中的常數項為80－40＝40.
(2)30
解析　方法一　(x2＋x＋y)5
＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的項為T3＝C(x2＋x)3y2，
而(x2＋x)3中含x5的項為
Cx4x＝Cx5，
所以x5y2的系數為CC＝30.
方法二　(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可得含x5y2的項，所以x5y2的系數為CCC＝30.
例2　(1)A　[求第810天是星期幾，實質是求810除以7的余數．
因為810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，所以第810天相當于第1天，故為星期一．]
(2)證明　32n＋2－8n－9
＝(8＋1)n＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋C8＋C－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋8(n＋1)＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.
上式中的每一項都含有82這個因數，故原式能被64整除．
跟蹤訓練2　(1)1.13
解析　由二項式定理得，1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.
(2)1
解析　因為512 023＋a＝(52－1)2 023＋a＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C×521－1＋a能被13整除，故－1＋a能被13整除，又0≤a<13，故a＝1.
例3　(1)C　[因為只有第5項的二項式系數最大，所以n＝8，8的展開式的通項為
Tk＋1＝(－1)kC(k＝0,1,2，…，8)，
所以展開式中奇數項的二項式系數與相應奇數項的系數相等，偶數項的二項式系數與相應偶數項的系數互為相反數，而展開式中第5項的二項式系數最大，因此展開式中第4項和第6項的系數相等且最小，為(－1)3C＝－56.]
(2)4　240x－8y2
解析　因為6的展開式中二項式系數的最大值為C，所以二項式系數最大的項為第4項．
因為6的展開式的通項為
Tk＋1＝Cy6－kk
＝C(－2)kx－2ky6－k，所以展開式中系數最大的項為奇數項．
方法一　設第r＋1項的系數最大，則
因為r∈Z,2≤r≤4，且r為偶數，
所以r＝4，
則T5＝C·(－2)4x－8y2
＝240x－8y2，
所以展開式中系數最大的項為240x－8y2，
方法二　展開式中第1,3,5,7項的系數分別為C·(－2)0，C·(－2)2，C·(－2)4，C·(－2)6，即1,60,240,64，所以展開式中系數最大的項為240x－8y2.
跟蹤訓練3　AB　[因為n的二項展開式中二項式系數之和為64，所以2n＝64，得n＝6，
二項式6的展開式的通項為Tk＋1＝C(2x)6－kk＝，
對于A，令x＝1，可得二項展開式中各項系數之和為36，所以選項A正確；
對于B，第4項的二項式系數最大，此時k＝3，則二項展開式中二項式系數最大的項為T4＝，所以選項B正確；
對于C，令6－k＝0，得k＝4，所以二項展開式中的常數項為＝60，所以選項C錯誤；
對于D，令第k＋1項的系數最大，則解得≤k≤，
因為k∈N*，所以當k＝2時，二項展開式中系數最大，則二項展開式中系數最大的項為
T3＝C24x3＝240x3，所以選項D錯誤．]
隨堂演練
1．C　[因為(1＋x)6的展開式的通項為Tk＋1＝Cxk，所以x(1＋x)6的展開式中含x3的項為Cx3＝15x3，所以含x3項的系數為15.]
2．B　[9192＝(90＋1)92＝C×9092＋C×9091＋…＋C×902＋C×90＋C.
前91項均能被100整除，剩下兩項為92×90＋1＝8 281，顯然8 281除以100所得的余數為81.
故9192被100除所得的余數為81.]
3．C　[由(x＋y＋3)5＝[(x＋3)＋y]5，則展開式的通項為
Tk＋1＝C(x＋3)5－kyk，
當k＝0時，不含y的項，
T1＝C(x＋3)5＝(x＋3)5，
令x＝1，可得不含y的各項系數之和為45.]
4．10
解析　5的展開式的通項
Tk＋1＝Cx5－kk
＝(－a)kCx5－2k，
令5－2k＝3，得k＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，
展開式中第2,4,6項的系數為負數，第1,3,5項的系數為正數，
故各項的系數中最大值為C＝10.

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