資源簡介

第2課時　條件概率的性質及應用
[學習目標]　
1.了解事件的獨立性與條件概率的關系，掌握概率的乘法公式.
2.會求互斥事件的條件概率，理解條件概率的性質．
一、概率的乘法公式
問題1　三張獎券中只有一張能中獎，現分別由甲、乙兩名同學有放回地抽取，事件A為“甲沒有抽到中獎獎券”，事件B為“乙抽到中獎獎券”， 事件A的發生會不會影響事件B發生的概率？P(B|A)與P(B)有什么關系？
知識梳理
概率的乘法公式：對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝____________.
例1　(1)某項射擊游戲規定：選手先后對兩個目標進行射擊，只有兩個目標都射中才能過關．某選手射中第一個目標的概率為0.8，繼續射擊，射中第二個目標的概率為0.5，則這個選手過關的概率為________．
(2)一個盒子中有6個白球、4個黑球，從中不放回地每次任取1個，連取2次．求：
①第一次取得白球的概率；
②第一、第二次都取得白球的概率；
③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
反思感悟　應用乘法公式求概率的關注點
(1)功能：是一種計算“積事件”概率的方法，即當不容易直接計算P(AB)時，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解．
(2)推廣：設A，B，C為三個事件，且P(AB)>0，則有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A)．
跟蹤訓練1　10個考簽中有4個難簽，2人參加抽簽(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到難簽的概率；
(2)甲、乙都抽到難簽的概率；
(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率．
二、互斥事件的條件概率
問題2　在必修第二冊中，我們已經學習了概率的基本性質，基本性質包括什么？
知識梳理
條件概率的性質
設P(A)>0，則
(1)P(Ω|A)＝________.
(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝________________.
(3)設和B互為對立事件，則P(|A)＝____________.
例2　(1)某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的條件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率為________．
(2)在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．
反思感悟　(1)利用加法公式可使條件概率的計算較為簡單，但應注意這個性質的使用前提是“兩個事件互斥”．
(2)為了求復雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復雜事件的概率．
跟蹤訓練2　拋擲兩顆質地均勻的骰子各一次．
(1)兩顆骰子向上的點數之和為7時，其中有一個的點數是2的概率是多少？
(2)兩顆骰子向上的點數不相同時，向上的點數之和為4或6的概率是多少？
1．知識清單：
(1)概率的乘法公式．
(2)互斥事件的條件概率．
2．方法歸納：公式法、正難則反．
3．常見誤區：判斷兩個事件是否是互斥事件．
1．已知事件A，B相互獨立，P(A)＝0.8，P(B)＝0.3，則P(A|B)等于(　　)
A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16
2．某地一農業科技實驗站，對一批新水稻種子進行試驗，已知這批水稻種子的發芽率為0.8，出芽后的幼苗成活率為0.9，在這批水稻種子中，隨機地抽取一粒，則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為(　　)
A．0.02 B．0.08
C．0.18 D．0.72
3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，則P(B∪C|A)等于(　　)
A. B. C. D.
4．有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為________．
第2課時　條件概率的性質及應用
問題1　不會，事件A與事件B是相互獨立事件；有放回地抽取獎券時，乙也是從原來的三張獎券中任抽一張，因此P(B|A)＝P(B)．
知識梳理
P(A)P(B|A)
例1　(1)0.4
解析　由題意，記“射中第一個目標”為事件A，
“射中第二個目標”為事件B，
則P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，
∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.5＝0.4.
即這個選手過關的概率為0.4.
(2)解　設A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，則＝“第一次取得黑球”，由題意，得
①P(A)＝＝.
②P(AB)＝P(A)P(B|A)
＝×＝.
③P(B)＝P()P(B|)
＝×＝.
跟蹤訓練1　解　記事件A，B分別表示甲、乙抽到難簽，則
(1)P(A)＝＝.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)
＝×＝.
(3)P(B)＝P()P(B|)
＝×＝.
問題2　性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；
性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由該性質可得，對于任意事件A，因為 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
知識梳理
(1)1　(2)P(B|A)＋P(C|A)
(3)1－P(B|A)
例2　(1)
解析　設事件A為“周日晚上值班”，事件B為“周五晚上值班”，事件C為“周六晚上值班”，
則P(A)＝，P(AB)＝，
P(AC)＝，
所以P(B|A)＝＝，
P(C|A)＝＝，
故他在周六晚上或周五晚上值班的概率為P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝.
(2)解　方法一　設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，則P(A)＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝，
P(C|A)＝＝＝.
∴P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
∴所求概率為.
方法二　∵n(A)＝1×C＝9，
n(B∪C|A)＝C＋C＝5，
∴P(B∪C|A)＝＝.
∴所求概率為.
跟蹤訓練2　解　(1)記事件A表示“兩顆骰子中，向上的點數有一個是2”，事件B表示“兩顆骰子向上的點數之和為7”，則事件AB表示“向上的點數之和為7，其中有一個的點數是2”，則P(B)＝＝，
P(AB)＝＝，
所以P(A|B)＝＝.
(2)記事件Mi表示“兩顆骰子向上的點數之和為i”，則事件“向上的點數之和為4或6”可表示為M＝M4∪M6，其中事件M4與M6互斥，記事件N表示“兩顆骰子向上的點數不相同”，則事件MiN表示“兩顆骰子向上的點數不相同，且向上的點數之和為i”．
因為P(N)＝＝，
P(M4N)＝＝，
P(M6N)＝＝，
所以P(M|N)＝P(M4∪M6|N)＝P(M4|N)＋P(M6|N)
＝＋
＝＋＝.
隨堂演練
1．B　[因為事件A，B相互獨立，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以P(A|B)＝＝P(A)＝0.8.]
2．D　[記“水稻種子發芽”為事件A，“發芽的種子成長為幼苗”為事件B，P(B|A)＝.
∴P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72.]
3．D　[因為B，C是互斥事件，所以
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.]
4.
解析　設事件A為“其中一瓶是藍色”，事件B為“另一瓶是紅色”，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”，
則D＝B∪C，且B與C互斥．
又P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋
＝＝＋＝.第七章　隨機變量及其分布
§7.1　條件概率與全概率公式
7.1.1　條件概率
第1課時　條件概率
[學習目標]　
1.結合古典概型，了解條件概率的定義.
2.掌握條件概率的計算方法.
3.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題．
一、條件概率的理解
問題　拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次．
(1)兩次都是正面向上的概率是多少？
(2)如果已知有一次出現正面向上，兩次都是正面向上的概率是多少？
(3)在第一次出現正面向上的條件下，第二次出現正面向上的概率是多少？
知識梳理
1．條件概率：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝______為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率，簡稱____________．
2．計算公式：
(1)事件個數法：P(B|A)＝.
(2)定義法：P(B|A)＝.
例1　判斷下列幾種概率哪些是條件概率：
(1)某校高中三個年級各派一名男生和一名女生參加市里的中學生運動會，每人參加一個不同的項目，已知一名女生獲得冠軍，則該名女生是高一的概率．
(2)擲一枚骰子，求擲出的點數為3的概率．
(3)在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張，已知抽到梅花的條件下，抽到的是梅花5的概率．
反思感悟　判斷是不是條件概率主要看一個事件的發生是否是在另一個事件發生的條件下進行的．
跟蹤訓練1　下面幾種概率是條件概率的是(　　)
A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7，各投籃一次都投中的概率
B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率
C．有10件產品，其中3件次品，抽2件產品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，則小明在一次上學中遇到紅燈的概率
二、利用定義求條件概率
例2　現有6個節目準備參加比賽，其中4個舞蹈節目，2個語言類節目，如果不放回地依次抽取2個節目，求：
(1)第1次抽到舞蹈節目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到舞蹈節目的概率．
延伸探究　本例條件不變，試求在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到語言類節目的概率．
反思感悟　利用定義計算條件概率的步驟
(1)分別計算概率P(AB)和P(A)．
(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發生．
跟蹤訓練2　(1)根據歷年的氣象數據，某市5月份發生中度霧霾的概率為0.25，刮四級以上大風的概率為0.4，既發生中度霧霾又刮四級以上大風的概率為0.02.則在發生中度霧霾的情況下，刮四級以上大風的概率為________．
(2)在5道試題中有2道代數題和3道幾何題，每次從中抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________．
三、縮小樣本空間求條件概率
例3　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙兩人各從A中任取一個數，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數的條件下，求乙抽到的數比甲抽到的數大的概率．
延伸探究　在本例條件下，求乙抽到偶數的概率．
反思感悟　利用縮小樣本空間法求條件概率的方法
(1)縮：將原來的樣本空間Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為事件AB.
(2)數：數出A中事件AB所包含的樣本點．
(3)算：利用P(B|A)＝求得結果．
跟蹤訓練3　(1)在單詞“warbarrier”中不放回地任取2個字母，則在第一次取到“a”的條件下，第二次取到“r”的概率為(　　)
A. B. C. D.
(2)袋中共有5個大小相同的球，其中紅色球1個，藍色球、黑色球各2個，某同學從中一次任取2個球，若取得的2個中有一個是藍色球，則另一個是紅色球或黑色球的概率為(　　)
A. B. C. D.
1．知識清單：
(1)條件概率的理解．
(2)利用定義求條件概率．
(3)縮小樣本空間求條件概率．
2．方法歸納：定義法、縮小樣本空間法．
3．常見誤區：分不清在“誰的條件”下，求“誰的概率”．
1．把一枚骰子連續拋擲兩次，記事件M＝“兩次所得點數均為奇數”，N＝“至少有一次點數是3”，則P(N|M)等于(　　)
A. B.
C. D.
2．某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天的空氣質量為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是(　　)
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
3．某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數學競賽(每人被選中的機會均等)，則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少有一個被選中的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4．一個盒子內裝有大小相同的3個紅球，5個白球，從盒子中任取2個球，已知其中一個球是白球，另一個球也是白球的概率為________．
7.1.1　條件概率
第1課時　條件概率
問題　(1)兩次拋擲硬幣，試驗結果的樣本點組成樣本空間Ω＝，其中兩次都是正面向上的事件記為B，則B＝，故P(B)＝.
(2)將兩次試驗中有一次正面向上的事件記為A，則A＝，那么，在A發生的條件下，B發生的概率為.在事件A發生的條件下，事件B發生的概率產生了變化．
(3)將第一次出現正面向上的事件記為C，則C＝，那么，在C發生的條件下，B發生的概率為.在事件C發生的條件下，事件B發生的概率產生了變化．
知識梳理
1.　條件概率
例1　解　由條件概率定義可知(1)(3)是，(2)不是．
跟蹤訓練1　B　[由條件概率的定義知B為條件概率．]
例2　解　設“第1次抽到舞蹈節目”為事件A，“第2次抽到舞蹈節目”為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節目為事件AB.
(1)從6個節目中不放回地依次抽取2個，總的樣本點數n(Ω)＝A＝30.
根據分步乘法計數原理，得n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因為n(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到舞蹈節目的概率P(B|A)＝＝＝.
延伸探究　解　設“第1次抽到舞蹈節目”為事件A，“第2次抽到語言類節目”為事件C，則第1次抽到舞蹈節目、第2次抽到語言類節目為事件AC.
P(A)＝，P(AC)＝＝，
∴P(C|A)＝＝.
跟蹤訓練2　(1)0.08
解析　設發生中度霧霾為事件A，刮四級以上大風為事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.02，P(B|A)＝＝＝0.08.
(2)
解析　設事件A＝“第1次抽到代數題”，事件B＝“第2次抽到幾何題”，
則P(A)＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
例3　解　將甲抽到數字a，乙抽到數字b，記作(a，b)，甲抽到奇數的樣本點有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15個．在這15個樣本點中，乙抽到的數比甲抽到的數大的樣本點有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9個，所以所求概率P＝＝.
延伸探究　解　在甲抽到奇數的樣本點中，乙抽到偶數的樣本點有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9個，所以所求概率P＝＝.
跟蹤訓練3　(1)B　[在第一次取到“a”的條件下，還剩余9個字母，其中“r”有4個，故所求概率為.]
(2)D　[設1個紅色球為a,2個藍色球為b，c,2個黑色球為d，e，從中隨機任取2個，事件“取得的2個中有一個是藍色球”包含的樣本點有(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，d)，(c，e)，共7個，
其中“另一個是紅色球或黑色球”有6個，
所以所求概率為.]
隨堂演練
1．B　[事件M＝“兩次所得點數均為奇數”，則事件M包含的樣本點有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，故n(M)＝9；N＝“至少有一次點數是3”，則事件MN包含的樣本點有(1,3)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,3)，
故n(MN)＝5，所以P(N|M)＝.]
2．A　[設某天的空氣質量為優良為事件A，隨后一天的空氣質量為優良為事件B，則P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，所以P(B|A)＝＝＝0.8.]
3．D　[男生甲被選中記作事件A，男生乙和女生丙至少有一個被選中記作事件B，
則P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
由條件概率公式可得
P(B|A)＝＝.]
4.
解析　取出2個球，記事件A＝“其中一個球是白球”，
則P(A)＝＝，
取出2個球，記事件B＝“另一個球也是白球”，
則P(AB)＝＝＝，
由條件概率公式得
P(B|A)＝＝＝，
所以已知其中一個球是白球，另一個球也是白球的概率為.

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