資源簡介

7.1.2　全概率公式
[學習目標]　
1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推導全概率公式.
2.理解全概率公式，并會利用全概率公式計算概率.
3.了解貝葉斯公式，并會簡單應用．
一、全概率公式
問題　從有a個紅球和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．顯然，第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢？
知識梳理
全概率公式：一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B Ω，有_________________________________．
例1　某商店收進甲廠生產的產品30箱，乙廠生產的同種產品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為0.06，乙廠每箱裝120個，廢品率為0.05，求：
(1)任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；
(2)若將所有產品開箱混放，求任取一個為廢品的概率．
反思感悟　兩個事件的全概率問題求解策略
(1)拆分：將樣本空間拆分成互斥的兩部分，如A1，A2(或A與)．
(2)計算：利用乘法公式計算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
跟蹤訓練1　某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學共同在一個社區進行民意調查．參加活動的甲、乙兩班的人數之比為5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求該社區居民遇到一位進行民意調查的同學恰好是女生的概率．
二、多個事件的全概率問題
例2　甲、乙、丙三人同時對飛盤進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7.飛盤被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛盤必定被擊落，求飛盤被擊落的概率．
反思感悟　“化整為零”求多事件的全概率問題
(1)如圖，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
(2)已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B發生的可能性，就是各種可能情形Ai發生的可能性與已知在Ai發生的條件下事件B發生的可能性的乘積之和．
跟蹤訓練2　假設某市場供應的智能手機中，市場占有率和優質率的信息如表所示：
品牌 甲 乙 其他
市場占有率 50% 30% 20%
優質率 95% 90% 70%
在該市場中任意買一部智能手機，求買到的是優質品的概率．
*三、貝葉斯公式
知識梳理
*貝葉斯公式：設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝________________＝__________________，i＝1,2，…，n.
例3　設某工廠有甲、乙、丙三個車間，它們生產同一種工件，每個車間的產量占該廠總產量的百分比依次為25%,35%,40%，它們的次品率依次為5%,4%,2%.現從這批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲車間生產的概率．(精確到0.01)
反思感悟　貝葉斯公式的內涵
(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關系．
(2)P(A1)稱為先驗概率，P(A1|B)稱為后驗概率，其反映了事件A1發生的可能性在各種可能原因中的比重．
跟蹤訓練3　設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．
1.知識清單：
(1)全概率公式．
(2)貝葉斯公式．
2．方法歸納：化整為零、轉化化歸．
3．常見誤區：事件拆分不合理或不全面．
1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，則P(B)的值為(　　)
A．0.08 B．0.8
C．0.6 D．0.5
2．某工廠有兩個車間生產同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設第一、二車間生產的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺產品，則該產品合格的概率為(　　)
A．0.6 B．0.85
C．0.868 D．0.88
3．已知某次數學期末試卷中有8道4選1的單選題，學生小王能完整做對其中5道題，在剩下的3道題中，有2道題有思路，還有1道題完全沒有思路，有思路的題做對的概率為，沒有思路的題只好從4個選項中隨機選一個答案．小王從這8道題中任選1題，則他做對的概率為________．
4．甲袋中有3個白球，2個黑球，乙袋中有4個白球，4個黑球，今從甲袋中任取兩球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為________．
7.1.2　全概率公式
問題　因為抽簽具有公平性，所以第2次摸到紅球的概率也應該是，但是這個結果并不顯然，因為第2次摸球的結果受第1次摸球結果的影響．下面我們給出嚴格的推導．
用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍球”，i＝1,2.如圖所示．
事件R2可按第1次可能的摸球結果(紅球或藍球)表示為兩個互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2，
利用概率的加法公式和乘法公式，
得P(R2)＝P(R1R2∪B1R2)
＝P(R1R2)＋P(B1R2)
＝P(R1)P(R2|R1)＋P(B1)P(R2|B1)
＝×＋×＝.
知識梳理
P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
例1　解　記事件A，B分別為“甲廠、乙廠的產品”，事件C為“廢品”，
則Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由題意，得P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，
得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，
得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)
＝×＋×＝.
跟蹤訓練1　解　如果用事件A1，A2分別表示“居民所遇到的一位同學是甲班的與乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同學是女生”，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由題意可知，P(A1)＝，
P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝×＋×＝.
例2　解　設B＝“飛盤被擊落”，Ai＝“飛盤被i人擊中”，i＝1,2,3，
則B＝A1B∪A2B∪A3B，
依題意，得P(B|A1)＝0.2，
P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.
設Hi＝“飛盤被第i人擊中”，
i＝1,2,3，
則P(A1)＝P(H123∪1H23∪12H3)，
P(A2)＝P(H1H23∪H12H3∪1H2H3)，
P(A3)＝P(H1H2H3)，
又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，
P(H3)＝0.7，
所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，
P(A3)＝0.14，
則P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.
即飛盤被擊落的概率為0.458.
跟蹤訓練2　解　用A1，A2，A3分別表示事件“買到的智能手機為甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“買到的是優質品”，則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，依題意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.
知識梳理
例3　解　(1)設事件B1，B2，B3分別表示“取到的工件是甲、乙、丙車間生產的”，A表示“取到的是次品”．
易知B1，B2，B3兩兩互斥，根據全概率公式，
可得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)
＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
故取到次品的概率為0.034 5.
(2)P(B1|A)＝＝
＝
≈0.36.
故已知取到的是次品，則它是甲車間生產的概率約為0.36.
跟蹤訓練3　解　設B＝“中途停車修理”，A1＝“經過的是貨車”，A2＝“經過的是客車”，則B＝A1B∪A2B，
由貝葉斯公式，得P(A1|B)＝＝＝0.8.
隨堂演練
1．C　[因為P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.]
2．C　[設從倉庫中隨機提出的一臺產品是合格品為事件B，事件Ai表示提出的一臺產品是第i車間生產的，i＝1,2，
由題意可得P(A1)＝＝0.4，
P(A2)＝＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式得P(B)＝
P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
所以該產品合格的概率為0.868.]
3.
解析　設“小王從這8道題中任選1題且做對”為事件A，“選到能完整做對的5道題”為事件B，“選到有思路的2道題”為事件C，“選到完全沒有思路的1道題”為事件D，則P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，由全概率公式可得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＋P(D)P(A|D)＝×1＋×＋×＝.
4.
解析　設A＝“從乙袋中取出的是白球”，Bi＝“從甲袋中取出的兩球恰有i個白球”，i＝0,1,2.
則Ω＝B1∪B2∪B0，且B1，B2，B0兩兩互斥．
由全概率公式，得
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＋×＝.

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