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7.2　離散型隨機變量及其分布列
[學習目標]　
1.理解隨機變量及離散型隨機變量的含義.
2.掌握離散型隨機變量分布列的表示方法和性質.
3.理解兩點分布．
一、隨機變量的概念及判定
問題1　(1)某人在射擊訓練中，射擊一次命中的環數，能否用數值表示相應結果呢？
(2)籃球運動員每次罰球具有一定的隨機性，那么他三次罰球的得分結果可能是什么？
(3)擲一枚骰子，出現正面向上的點數共有幾種不同的數字？能否用數值表示相應結果呢？
(4)拋擲一枚硬幣，可能會出現哪幾種結果？能否用數值來表示隨機試驗的結果呢？
知識梳理
1．隨機變量：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有________的實數X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量.
2．離散型隨機變量：可能取值為________或可以____________的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量，通常用________________表示隨機變量，例如X，Y，Z；用________________表示隨機變量的取值，例如x，y，z.
例1　(1)袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個球，可以作為隨機變量的是(　　)
A．至少取到1個白球
B．至多取到1個白球
C．取到白球的個數
D．取到的球的個數
(2)下列變量中，哪些是隨機變量，哪些是離散型隨機變量？并說明理由．
①某機場一年中每天運送乘客的數量；
②某單位辦公室一天中接到電話的次數；
③明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數；
④一瓶果汁的容量為500±2 mL.
反思感悟　判斷離散型隨機變量的方法
(1)明確隨機試驗的所有可能結果．
(2)將隨機試驗的結果數量化．
(3)確定試驗結果所對應的實數是否可以一一列出，若能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是．
跟蹤訓練1　指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量，并說明理由．
(1)從10張已編好號碼的卡片(1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數；
(2)一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數；
(3)某林場的樹木最高達30 m，則此林場中樹木的高度；
(4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規定的外徑尺寸之差．
二、離散型隨機變量的分布列
問題2　在擲一枚質地均勻的骰子的隨機試驗中，X表示向上的點數，X的取值有哪些？X取每個值的概率分別是多少？
知識梳理
1．離散型隨機變量的分布列：一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率______________________為X的概率分布列，簡稱分布列．
離散型隨機變量的分布列也可以用表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
離散型隨機變量的分布列的性質：
(1)________________；
(2)________________．
2．對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義X＝如果P(A)＝p，則P()＝1－p，那么X的分布列如表所示．
X 0 1
P 1－p p
我們稱X服從________分布或0－1分布．
例2　從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個自然數中，任取3個不同的數．設X為所取的3個數中奇數的個數，求隨機變量X的分布列．
反思感悟　求離散型隨機變量的分布列的關鍵
(1)隨機變量的取值．
(2)每一個取值所對應的概率．
(3)用所有概率之和是否為1來檢驗．
跟蹤訓練2　某班有學生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．現從中抽1人，其血型為隨機變量X，求X的分布列．
三、分布列的性質及應用
例3　設隨機變量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常數a的值；
(2)求P.
延伸探究　本例條件不變，求P.
反思感悟　分布列的性質及其應用
(1)驗證分布列是否正確．
(2)求參數的值或取值范圍．
(3)求隨機變量在某個范圍內取值的概率．
跟蹤訓練3　設隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
1．知識清單：
(1)隨機變量的概念及判定．
(2)離散型隨機變量的概念．
(3)離散型隨機變量分布列的概念及其性質．
(4)兩點分布．
2．方法歸納：轉化化歸．
3．常見誤區：隨機變量的取值不明確導致分布列求解錯誤．
1．下列敘述中，X不可以做離散型隨機變量的是(　　)
A．某座大橋一天經過的車輛數X
B．某無線電尋呼臺一天內收到的尋呼次數X
C．一天之內的溫度X
D．一位射擊手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用X表示該射擊手在一次射擊中的得分
2．下列表格中，不是某個隨機變量的分布列的是(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B.
X －2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
C.
X 1 2 3
P －
D.
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
3．某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X描述1次試驗的成功次數，則P(X＝1)等于(　　)
A．0 B.
C. D.
4．一批產品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品為二級品的一半，從這批產品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量X，則P＝______.
7.2　離散型隨機變量及其分布列
問題1　(1)射擊一次，可能命中1環，命中2環，…，命中10環，可以用1,2，…，10來表示相應結果．
(2)投進零個球——0分，投進一個球——1分，投進兩個球——2分，投進三個球——3分．
(3)共有6種，可以用1,2,3,4,5,6來表示相應結果．
(4)擲一枚硬幣，可能出現正面向上、反面向上兩種結果．可以用1表示正面向上，0表示反面向上．
知識梳理
1．唯一
2．有限個　一一列舉　大寫英文字母　小寫英文字母
例1　(1)C　[根據離散型隨機變量的定義可得，選項C是離散型隨機變量，其結果可以一一列出，用隨機變量X表示取到白球的個數，則X的可能取值為0,1,2.]
(2)解?、倌硻C場一年中每天運送乘客的數量可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量．
②某單位辦公室一天中接到電話的次數可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量．
③明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量．
④由于果汁的容量在498 mL～502 mL之間波動，是隨機變量，但不是離散型隨機變量．
跟蹤訓練1　解　(1)是離散型隨機變量．只要取出一張卡片，便有一個號碼，因此被取出的卡片的號數可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義．
(2)是離散型隨機變量．從10個球中取3個球，所得的結果有以下幾種：3個白球；2個白球和1個黑球；1個白球和2個黑球；3個黑球，即其結果可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義．
(3)不是離散型隨機變量．林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取(0,30]內的一切值，無法一一列舉，故不是離散型隨機變量．
(4)不是離散型隨機變量．實際測量值與規定值之間的差值無法一一列出，故不是離散型隨機變量．
問題2　列成表的形式
X 1 2 3 4 5 6
P
知識梳理
1．P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1
2．兩點
例2　解　根據題意，X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
跟蹤訓練2　解　將O，A，B，AB四種血型分別編號為1,2,3,4，則X的可能取值為1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故X的分布列為
X 1 2 3 4
P
例3　解　由題意，得X的分布列為
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由分布列的性質得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)方法一　P
＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
方法二　P
＝1－P
＝1－＝.
延伸探究　解　∵∴X＝，，.
∴P
＝P＋P
＋P＝＋＋＝.
跟蹤訓練3　解　(1)由題意知
P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，
∴＝1，∴a＝10，
∴P(X＝1或X＝2)＝＝.
(2)P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＝＝.
隨堂演練
1．C　[A，B，D中的X的可能取值可以一一列舉出來，而C中的X可以取某一區間內的一切值，屬于連續型的．]
2．C　[C選項中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特點，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特點，所以C選項不是隨機變量的分布列．]
3．D　[設失敗率為p，則成功率為2p，分布列為
X 0 1
P p 2p
由p＋2p＝1，得p＝，
所以P(X＝1)＝2p＝.]
4.
解析　設二級品有k個，則一級品有2k個，三級品有個，總數為個．
∴X的分布列為
X 1 2 3
P
∴P＝P(X＝1)＝.

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