資源簡介

7.3　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
7.3.1　離散型隨機(jī)變量的均值
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.掌握離散型隨機(jī)變量的均值的概念和性質(zhì).
2.掌握兩點(diǎn)分布的均值.
3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值和性質(zhì)，解決一些相關(guān)的實(shí)際問題．
一、離散型隨機(jī)變量的均值
問題1　某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？
知識(shí)梳理
(1)均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
則稱E(X)＝______________________＝ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱________．
(2)兩點(diǎn)分布的均值：一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝________________.
例1　(1)已知隨機(jī)變量X滿足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，則E(X)等于(　　)
A．0.3 B．0.7
C．0.21 D．1
(2)某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．
如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和均值，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率．
反思感悟　求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟
(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X所有可能的取值．
(2)求出X取每個(gè)值的概率P(X＝k)．
(3)寫出X的分布列．
(4)利用均值的定義求E(X)．
跟蹤訓(xùn)練1　從裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球的袋中隨機(jī)逐一取球，已知每個(gè)球被取到的可能性相同．若取后不放回，設(shè)取完紅球所需的次數(shù)為X，求X的分布列及均值．
二、均值的性質(zhì)
問題2　若X，η都是離散型隨機(jī)變量，且η＝aX＋b(其中a，b是常數(shù))，那么E(η)與E(X)有怎樣的關(guān)系？
知識(shí)梳理
離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機(jī)變量)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝__________.
例2　已知隨機(jī)變量X的分布列為
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，則E(Y)＝________.
延伸探究　本例條件不變，若Y＝2X－3，求E(Y)．
反思感悟　求線性關(guān)系的隨機(jī)變量η＝aξ＋b的均值的方法
(1)定義法：先列出η的分布列，再求均值．
(2)性質(zhì)法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)的值為(　　)
A. B．5 C．1 D．31
(2)已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，則m的值為(　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
三、均值的應(yīng)用
例3　某地盛產(chǎn)臍橙，該地銷售臍橙按照等級(jí)分為四類：珍品、特級(jí)、優(yōu)級(jí)和一級(jí)(每箱重量為5 kg)，某采購商打算在該地采購一批臍橙銷往外地，并從采購的這批臍橙中隨機(jī)抽取50箱，利用臍橙的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如表所示：
等級(jí) 珍品 特級(jí) 優(yōu)級(jí) 一級(jí)
箱數(shù) 10 15 15 10
(1)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機(jī)抽取3箱，ξ表示隨機(jī)抽取的3箱中是特級(jí)的箱數(shù)，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)利用樣本估計(jì)總體，該地提出兩種購銷方案供采購商參考：
方案一：不分等級(jí)賣出，價(jià)格為20元/kg；
方案二：分等級(jí)賣出，分等級(jí)的臍橙價(jià)格如表所示：
等級(jí) 珍品 特級(jí) 優(yōu)級(jí) 一級(jí)
售價(jià)(元/kg) 25 20 15 10
從采購商節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？
反思感悟　解答實(shí)際問題時(shí)，(1)把實(shí)際問題概率模型化；(2)利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相應(yīng)均值．
跟蹤訓(xùn)練3　某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；
(2)為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
1．知識(shí)清單：
(1)離散型隨機(jī)變量的均值．
(2)均值的性質(zhì)．
(3)均值的應(yīng)用．
2．方法歸納：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸．
3．常見誤區(qū)：不會(huì)應(yīng)用均值對實(shí)際問題作出正確分析．
1．已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
則E(X)的值為(　　)
A．2 B．2.4
C．3.6 D．不確定
2．已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，則E(X)等于(　　)
A．67 B．11 C．2 D．1
3．若對于某個(gè)數(shù)學(xué)問題，甲、乙兩人都在研究，甲解出該題的概率為，乙解出該題的概率為，甲、乙兩人解題互不影響，設(shè)解出該題的人數(shù)為X，則E(X)＝________.
4．利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是________．
自然狀況 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 －20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 －10
7.3.1　離散型隨機(jī)變量的均值
問題1　＝＝7×＋8×＋9×＋10×＝8.
知識(shí)梳理
(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　期望　(2)0×(1－p)＋1×p＝p
例1　(1)A　[根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，所以E(X)＝0.3.]
(2)解　ξ的所有可能取值為1,2,3,4.
ξ＝1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P(ξ＝1)＝0.6.
ξ＝2，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故P(ξ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
ξ＝3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故
P(ξ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
ξ＝4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故
P(ξ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
則ξ的分布列為
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以E(ξ)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為
1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.997 6.
跟蹤訓(xùn)練1　解　由題意知X的所有可能取值為2,3,4,5.
當(dāng)X＝2時(shí)，表示前2次取的都是紅球，
∴P(X＝2)＝＝；
當(dāng)X＝3時(shí)，表示前2次中取得1個(gè)紅球，1個(gè)白球或黑球，第3次取紅球，
∴P(X＝3)＝＝；
當(dāng)X＝4時(shí)，表示前3次中取得1個(gè)紅球，2個(gè)不是紅球，第4次取得紅球，
∴P(X＝4)＝＝；
當(dāng)X＝5時(shí)，表示前4次中取得1個(gè)紅球，3個(gè)不是紅球，第5次取得紅球，
∴P(X＝5)＝＝.
∴X的分布列為
X 2 3 4 5
P
∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
問題2　X，η的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
則E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
知識(shí)梳理
aE(X)＋b
例2　
解析　由分布列的性質(zhì)，得
＋＋＋m＋＝1，
解得m＝，
所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
延伸探究　解　由本例知
E(X)＝－，
則E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3
＝2×－3＝－.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)C　[因?yàn)镋(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，
所以E(X)＝1.]
(2)A　[因?yàn)棣牵?2ξ＋7，E(η)＝34，
則E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×
＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，
所以m＋n＝，②
由①②，解得m＝.]
例3　解　(1)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，特級(jí)品的箱數(shù)為10×＝3，非特級(jí)品的箱數(shù)為10－3＝7，所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3.
則P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
則ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)方案一的單價(jià)為20元/kg，
設(shè)方案二的單價(jià)為η，則η的均值為
E(η)＝25×＋20×＋15×＋10×＝17.5，
因?yàn)?7.5<20，所以從采購商節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)該采用方案二．
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列為
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0,80,100.
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12；
P(X＝100)＝0.6×0.8＝0.48.
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因?yàn)?4.4<57.6，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．
隨堂演練
1．C　[依題意和分布列的性質(zhì)得，0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E(X)＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6.]
2．C　[E(Y)＝4E(X)＋7＝15，
則E(X)＝2.]
3.
解析　記“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，則X的所有可能取值為0,1,2.
P(X＝0)＝P( )＝P()P()
＝×＝，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×
＝，
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)
＝×＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
4．A3
解析　A1的均值為50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
A2的均值為70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
A3的均值為－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
A4的均值為98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6，
因?yàn)锳3的均值最大，所以應(yīng)選擇的方案是A3.

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