資源簡介

§7.4　二項分布與超幾何分布
7.4.1　二項分布
[學習目標]　
1.理解n重伯努利試驗的概念，記住n重伯努利試驗的公式.
2.理解并熟記二項分布的隨機變量的概率、均值以及方差，能利用n重伯努利試驗及二項分布解決一些簡單的實際問題．
一、n重伯努利試驗
問題1　下列試驗有什么共同的特點？
(1)投擲一枚質地均勻的硬幣5次，每次正面向上的概率為0.5；
(2)某同學玩射擊氣球游戲，每次射擊擊破氣球的概率為0.7，現有氣球10個；
(3)某籃球隊員罰球命中率為0.8，罰球6次．
知識梳理
1．n重伯努利試驗：將一個伯努利試驗________________進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．
2．n重伯努利試驗的共同特征：
(1)同一個伯努利試驗________做n次；
(2)各次試驗的結果______________．
例1　判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：
(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面向上；
(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中；
(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．
反思感悟　n重伯努利試驗的判斷依據
(1)要看該試驗是不是在相同的條件下重復進行．
(2)每次試驗相互獨立，互不影響．
(3)每次試驗都只有兩種結果，即事件發生、不發生．
跟蹤訓練1　(多選)下列事件是n重伯努利試驗的是(　　)
A．運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”
B．甲、乙兩名運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”
C．一批產品的次品率為1%，有放回地隨機抽取20件
D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標
二、二項分布的推導
問題2　連續投擲一枚圖釘3次，且每次針尖向上的概率為p，針尖向下的概率為q，則僅出現1次針尖向上的概率是多少？
問題3　類似地，連續投擲一枚圖釘3次，出現k(k＝0,1,2,3)次針尖向上的概率是多少？有什么規律？
知識梳理
二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0例2　“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國民間的古老游戲，其規則是：用三種不同的手勢分別表示石頭、剪刀、布；兩個玩家同時出示各自手勢1次記為1次游戲，“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢相同時，不分勝負．現假設玩家甲、乙雙方在游戲時出示三種手勢是等可能的．
(1)求在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙兩方共進行了3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數記作隨機變量X，求X的分布列．
反思感悟　求n重伯努利試驗概率的三個步驟
(1)判斷：依據n重伯努利試驗的特征，判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗．
(2)分析：判斷所求事件是否需要拆分．
(3)計算：就每個事件依據n重伯努利試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算．
跟蹤訓練2　現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人參加甲游戲，擲出點數大于2的人參加乙游戲．
(1)求這4個人中恰有2人參加甲游戲的概率；
(2)求這4個人中參加甲游戲的人數大于參加乙游戲的人數的概率．
三、二項分布的均值與方差
問題4　若隨機變量X服從二項分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
知識梳理
1．若X服從兩點分布，則E(X)＝________，D(X)＝________.
2．若X～B(n，p)，則E(X)＝________，D(X)＝________.
例3　(1)已知X～B(10,0.5)，Y＝2X－8，則E(Y)等于(　　)
A．6 B．2 C．4 D．3
(2)將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球自由下落，在下落的過程中，小球將遇到黑色障礙物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障礙物時，向左、右兩邊下落的概率分別是，.
①分別求出小球落入A袋和B袋中的概率；
②在容器的入口處依次放入4個小球，記ξ為落入B袋中的小球的個數，求ξ的分布列、均值和方差．
反思感悟　解決此類問題的第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步是代入相應的公式進行求解．
跟蹤訓練3　某一智力游戲玩一次所得的積分是一個隨機變量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2.
X 0 3 6
P a b
(1)求a和b的值；
(2)某同學連續玩三次該智力游戲，記積分X大于0的次數為Y，求Y的分布列與均值．
1．知識清單：
(1)n重伯努利試驗的概念及特征．
(2)二項分布的概念及表示．
(3)二項分布的均值與方差．
2．方法歸納：公式法、數學建模．
3．常見誤區：二項分布的判斷錯誤．
1．隨機變量X～B，則P(X＝2)等于(　　)
A. B.
C. D.
2．設隨機變量X～B，則D(3X)等于(　　)
A．10 B．30
C．15 D．5
3．某同學參加學校數學知識競賽，規定每個同學答題20道，已知該同學每道題答對的概率為0.6，則該同學答對題目數量的均值和方差分別為(　　)
A．16,7.2 B．12,7.2
C．12,4.8 D．16,4.8
4．某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才能合格．若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨立，則他能合格的概率為________．
7.4.1　二項分布
問題1　(1)相同條件下的試驗：5次、10次、6次；
(2)每次試驗相互獨立；
(3)每次試驗只有兩種可能的結果：發生或不發生；
(4)每次試驗發生的概率相同，為p，不發生的概率也相同，為1－p.
知識梳理
1．獨立地重復
2．(1)重復　(2)相互獨立
例1　解　(1)由于試驗的條件不同(質地不同)，因此不是n重伯努利試驗．
(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，因此是n重伯努利試驗．
(3)依次抽取不是獨立重復試驗，所以不是n重伯努利試驗．
跟蹤訓練1　CD　[A符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互獨立事件；C，D是n重伯努利試驗．]
問題2　連續投擲一枚圖釘3次，就是做3次伯努利試驗，用Ai(i＝1,2,3)表示“第i次擲得針尖向上”的事件，用B1表示“僅出現一次針尖向上”的事件，則B1＝(A1 23)∪(1A23)∪(12A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.
問題3　用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次擲得針尖向上”，
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出現k次針尖向上”，
P(B0)＝P(123)＝q3＝Cp0q3，
P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)
＝3q2p＝Cp1q2，
P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)
＝3qp2＝Cp2q1，
P(B3)＝P(A1A2A3)
＝p3＝Cp3q0，
規律：P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3.
知識梳理
Cpk(1－p)n－k
例2　解　(1)玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示手勢的所有可能結果是(石頭，石頭)，(石頭，剪刀)，(石頭，布)，(剪刀，石頭)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，(布，剪刀)，(布，布)，共9個樣本點．玩家甲勝玩家乙的樣本點分別是(石頭，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，共3個．
所以在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率P＝.
(2)由題意知，X＝0,1,2,3.
因為P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C×1×2＝，
P(X＝2)＝C×2×1＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
跟蹤訓練2　解　(1)依題意知，這4個人中，每個人參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為.
設“這4個人中恰有k人參加甲游戲”為事件Ak(k＝0,1,2,3,4)．
則P(Ak)＝Ck4－k.
故這4個人中恰有2人參加甲游戲的概率為
P(A2)＝C×2×2＝.
(2)設“這4個人中參加甲游戲的人數大于參加乙游戲的人數”為事件B，則B＝A3＋A4.
由于A3與A4互斥，
故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×3×＋C×4＝，
所以這4個人中參加甲游戲的人數大于參加乙游戲的人數的概率為.
問題4　當n＝1時，X服從兩點分布，分布列為
X 0 1
P 1－p p
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
二項分布的分布列為(q＝1－p)
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
則E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋kCpkqn－k＋…＋nCpnq0，
由kC＝nC，
可得E(X)＝n×Cp1qn－1＋n×Cp2qn－2＋…＋nCpkqn－k＋…＋nCpnq0
＝np(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1qn－k＋…＋Cpn－1q0)
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得D(X)＝np(1－p)．
知識梳理
1．p　p(1－p)
2．np　np(1－p)
例3　(1)B　[由題意，隨機變量X～B(10,0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5，
因為Y＝2X－8，所以E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2.]
(2)解　①設M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，
則P(M)＝××＋××＝，
所以P(N)＝1－P(M)
＝1－＝.
②易知ξ～B，
則ξ的分布列為
P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)，
故P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)＝4×＝，
D(ξ)＝4××＝.
跟蹤訓練3　解　(1)因為E(X)＝2，所以0×＋3×a＋6×b＝2，即3a＋6b＝2.①
又＋a＋b＝1，得a＋b＝，②
聯立①②，解得a＝，b＝.
(2)P(X>0)＝，
依題意知Y～B，
故P(Y＝0)＝3＝，
P(Y＝1)＝C××2＝，
P(Y＝2)＝C×2×＝，
P(Y＝3)＝3＝.
故Y的分布列為
Y 0 1 2 3
P
E(Y)＝3×＝.
隨堂演練
1．A　[隨機變量X～B，則P(X＝2)＝C×2×4＝.]
2．A　[由隨機變量X～B，
得D(X)＝5××＝，
所以D(3X)＝32D(X)＝9×＝10.]
3．C　[設該同學答對題目的數量為ξ，因為該同學每道題答對的概率為0.6，共答20道題，
所以ξ～B(20,0.6)，
所以E(ξ)＝20×0.6＝12，D(ξ)＝20×0.6×(1－0.6)＝4.8.]
4.
解析　4道題目中，答對的題目數
X～B，
所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C×4＋C×4＝.

展開更多......

收起↑