資源簡介

7.5　正態分布
[學習目標]　
1.利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態曲線的特點及正態曲線所表示的意義.
2.了解變量落在區間[ μ－σ，μ＋σ ]，[ μ－2σ，μ＋2σ ]，[ μ－3σ，μ＋3σ ]內的概率大小.
3.會用正態分布去解決實際問題．
一、正態曲線及其特征
問題1　下列隨機變量哪個是離散型隨機變量：
(1)擲一枚骰子一次，用X表示所得點數；
(2)白熾燈的使用時間．
問題2　教材P74例2的高爾頓板試驗中，隨著重復次數的增加，頻率分布直方圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線，那么這條曲線是否存在函數解析式呢？
知識梳理
1．我們稱f(x)＝______________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數，為______________________，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱______________．
2．若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為____________．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從________________．
3．若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
4．正態曲線的特點：
(1)非負性：對 x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的________．
(2)定值性：曲線與x軸之間的區域的面積為________．
(3)對稱性：曲線是單峰的，它關于直線________對稱．
(4)最大值：曲線在______處達到峰值.
(5)當|x|無限增大時，曲線無限接近____軸．
(6)當________一定時，正態曲線的位置由μ確定，正態曲線隨著________的變化而沿x軸平移，如圖①.
(7)當μ一定時，正態曲線的形狀由σ確定，當σ較小時，峰值高，正態曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當σ較大時，峰值低，正態曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②.
5.正態分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X≤b)為區域B的面積．
例1　(1)已知隨機變量服從正態分布，其正態曲線如圖所示，則總體的均值μ＝____，方差σ2＝________.
(2)某工廠有甲、乙兩條生產線生產同一型號的機械零件，產品的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正態曲線如圖所示，則下列結論中正確的是(　　)
A．甲生產線產品的穩定性高于乙生產線產品的穩定性
B．甲生產線產品的穩定性低于乙生產線產品的穩定性
C．甲生產線的產品尺寸平均值大于乙生產線的產品尺寸平均值
D．甲生產線的產品尺寸平均值小于乙生產線的產品尺寸平均值
反思感悟　利用正態曲線的特點求參數μ，σ
(1)正態曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此特點結合圖象求出μ.
(2)正態曲線在x＝μ處達到峰值，由此特點結合圖象可求出σ.
跟蹤訓練1　(1)(多選)下面關于正態曲線的敘述中，正確的有(　　)
A．曲線在x軸上方，且與x軸不相交
B．當x>μ時，曲線下降，當x<μ時，曲線上升
C．當μ一定時，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中
D．曲線關于直線x＝μ對稱，且當x＝μ時，位于最高點
(2)(多選)甲、乙兩類水果的質量(單位：kg)分別服從正態分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正態密度函數f(x)＝，x∈R的正態曲線如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．甲類水果的平均質量μ1＝0.4 kg
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從的正態分布的參數σ2＝1.99
二、利用正態分布的性質求概率
知識梳理
正態總體在三個特殊區間內取值的概率值
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________.
例2　設ξ～N(1,22)，試求：
(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)．
延伸探究　若本例條件不變，求P(ξ>5)．
反思感悟　利用正態分布求概率的兩個方法
(1)對稱法：由于正態曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區間概率相等．如：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率分別是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．
跟蹤訓練2　(1)已知隨機變量ξ服從正態分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，則P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
(2)隨機變量ξ服從正態分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，則μ等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
三、正態分布的應用
例3　(1)現實世界中的很多隨機變量遵循正態分布．例如反復測量某一個物理量，其測量誤差X通常被認為服從正態分布．若某物理量做n次測量，最后結果的誤差Xn ～N，則為使|Xn|>的概率控制在0.045 5及以下，至少要測量的次數為(附：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)(　　)
A．32 B．64 C．128 D．256
(2)某廠生產的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態分布N(4,0.52)．質檢人員從該廠生產的1 000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5.7 cm，試問：該廠生產的這批零件是否合格？
反思感悟　解題時，應當注意零件尺寸應落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內，否則可以認為該批產品不合格．判斷的根據是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發生的，而一旦發生了，就可以認為這批產品不合格．
跟蹤訓練3　已知某平臺某次促銷活動期間，某小區居民網上購物的消費金額(單位：元)近似服從正態分布N(600,10 000)，則該小區800名居民中，網購金額超過800元的人數大約為(附：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)(　　)
A．16 B．18 C．20 D．25
1.知識清單：
(1)正態曲線及其特征．
(2)利用正態分布的性質求概率．
(3)正態分布的應用．
2．方法歸納：轉化化歸、數形結合．
3．常見誤區：概率區間轉化不等價．
1．設有一正態總體，它的正態曲線是函數f(x)的圖象，且f(x)＝，則這個正態總體的均值與標準差分別是(　　)
A．10與8 B．10與2
C．8與10 D．2與10
2．某學校共1 000人參加數學測驗，考試成績ξ近似服從正態分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，則估計成績在120分以上的學生人數為(　　)
A．25 B．50 C．75 D．100
3．已知隨機變量X服從正態分布N(10,22)，則D(3X－1)等于(　　)
A．6 B．11 C．12 D．36
4．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，則μ＝________.
7.5　正態分布
問題1　(1)是，(2)不是．
問題2　存在．
知識梳理
1.　正態密度函數
正態曲線
2．X～N(μ，σ2)　標準正態分布
4．(1)上方　(2)1　(3)x＝μ　(4)x＝μ
(5)x　(6)σ　μ
例1　(1)20　2
解析　從給出的正態曲線可知，該正態曲線關于直線x＝20對稱，最大值是，所以＝，解得σ＝，因此總體的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.
(2)A　[由圖知甲、乙兩條生產線的平均值相等，甲的正態曲線較瘦高，所以甲生產線產品的穩定性高于乙生產線產品的穩定性．]
跟蹤訓練1　(1)ABD　[只有C錯誤，因為當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散．]
(2)ABC　[由圖象可知甲圖象關于直線x＝0.4對稱，乙圖象關于直線x＝0.8對稱，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正確；
因為甲圖象比乙圖象更“瘦高”，所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右，故B正確；
因為乙圖象的最大值為1.99，
即＝1.99，σ2≠1.99，故D錯誤．]
知識梳理
0．682 7　0.954 5　0.997 3
例2　解　∵ξ～N(1,22)，
∴μ＝1，σ＝2，
(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，
∴P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]
＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－
P(1－2≤ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－
P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
≈×(0.954 5－0.682 7)
＝0.135 9.
延伸探究　解　P(ξ>5)＝
P(ξ<－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)]
＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]
≈×(1－0.954 5)＝0.022 75.
跟蹤訓練2　(1)C　[由已知可得曲線關于直線x＝1對稱，
P(ξ<2)＝0.6，
所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4，
故P(0<ξ<2)＝1－0.4－0.4＝0.2.]
(2)B　[∵P(ξ<2)＝0.2，
P(2<ξ<6)＝0.6，
∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2，
即P(ξ<2)＝P(ξ>6)，
∴μ＝＝4.]
例3　(1)C　[根據題意，
P≤0.045 5 P＝P≥1－0.045 5＝0.954 5，
而μ＝0，
則P(－2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5，
所以2σ≤ σ＝≤ n≥128.]
(2)解　由于外直徑X～N(4,0.52)，
則X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之內取值的概率為0.997 3，在[2.5,5.5]之外取值的概率為0.002 7，
而5.7 [2.5,5.5]，這說明在一次試驗中，出現了幾乎不可能發生的小概率事件，據此可以認為這批零件是不合格的．
跟蹤訓練3　B　[∵小區居民網上購物的消費金額(單位：元)近似服從正態分布N(600,
10 000)，
∴P＝
≈＝0.022 75，
∴該小區800名居民中，網購金額超過800元的人數大約為0.022 75×800＝18.2≈18.]
隨堂演練
1．B　[由正態密度函數的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，
即σ＝2.]
2．B　[由已知可得，μ＝100，
所以P(ξ≥100)＝0.5.
又P(80≤ξ≤100)＝0.45，根據正態分布的對稱性可得P(100≤ξ≤120)＝0.45，
所以P(ξ>120)
＝P(ξ≥100)－P(100≤ξ≤120)
＝0.5－0.45＝0.05.
所以，可估計成績在120分以上的學生人數為1 000×0.05＝50.]
3．D　[因為隨機變量X服從正態分布N(10,22)，
所以D(X)＝22＝4，
所以D(3X－1)
＝32D(X)＝9×4＝36.]
4．2
解析　因為ξ～N(μ，σ2)，故正態曲線關于直線x＝μ對稱，又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)，從而μ＝＝2，即μ的值為2.

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