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習(xí)題課　二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.了解二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系.
2.掌握超幾何分布、二項(xiàng)分布的均值和方差的計(jì)算．
一、二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用
例1　一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)紅綠燈，假設(shè)他在各紅綠燈遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.
(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的均值；
(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列；
(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率．
反思感悟　(1)二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用類問題的求解步驟
①根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；
②分析隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；
③求出參數(shù)n和p的值；
④根據(jù)二項(xiàng)分布的均值、方差的計(jì)算公式求解．
(2)利用二項(xiàng)分布求解“至少”“至多”問題的概率，其實(shí)質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件發(fā)生概率的和，或者利用對(duì)立事件求概率．
跟蹤訓(xùn)練1　世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規(guī)則為：90分鐘內(nèi)進(jìn)球多的球隊(duì)取勝，如果參賽雙方在90分鐘內(nèi)無法決出勝負(fù)(踢成平局)，將進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽階段兩隊(duì)仍未分出勝負(fù)，則進(jìn)入“點(diǎn)球大戰(zhàn)”．點(diǎn)球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；②如果在踢滿5球前，一隊(duì)進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢5球可能踢中的球數(shù)，則該隊(duì)勝出，譬如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方進(jìn)球數(shù)比為2∶0，則不需踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪．直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝．現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽中相遇，雙方勢(shì)均力敵，120分鐘(含加時(shí)賽)仍未分出勝負(fù)，須采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”決定勝負(fù)．設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為，乙隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為.每輪點(diǎn)球結(jié)果互不影響．
(1)設(shè)甲隊(duì)踢了5球，X為射進(jìn)點(diǎn)球的個(gè)數(shù)，求X的分布列與均值；
(2)若每輪點(diǎn)球都由甲隊(duì)先踢，求在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并剛好勝出的概率．
二、超幾何分布的綜合應(yīng)用
例2　交通擁堵指數(shù)(TPI)是衡量交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，TPI越大代表?yè)矶鲁潭仍礁撸称脚_(tái)計(jì)算TPI的公式為：TPI＝，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4個(gè)等級(jí)：
TPI [1,1.5) [1.5,2) [2,4) 不低于4
擁堵等級(jí) 暢通 緩行 擁堵 嚴(yán)重?fù)矶?br/>某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖：
(1)從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；
(2)從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天數(shù)記為X，求X的分布列及均值E(X)．
反思感悟　超幾何分布的求解步驟
(1)辨模型：結(jié)合實(shí)際情境分析所求概率分布問題是否由具有明顯特征的兩部分組成，如“男生、女生”“正品、次品”“優(yōu)劣”等，或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分．具有該特征的概率模型為超幾何分布模型．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、組合及概率的知識(shí)求解，需注意借助公式求解時(shí)應(yīng)理解參數(shù)M，N，n，k的含義．
(3)列分布表：把求得的概率值通過表格表示出來．
跟蹤訓(xùn)練2　已知一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球．
(1)若從袋中一次任取3個(gè)球，取到的3個(gè)球中有X個(gè)黑球，求X的分布列及均值；
(2)若從袋中每次隨機(jī)取出一個(gè)球，記下顏色后將球放回袋中，重復(fù)此過程，直至他連續(xù)2次取到黑球才停止，設(shè)他在第Y次取球后停止取球，求P.
三、二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系
例3　已知條件①采用無放回抽取；②采用有放回抽取．請(qǐng)?jiān)谏鲜鰞蓚€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上并作答，選兩個(gè)條件作答的以條件①評(píng)分．
問題：在一個(gè)口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，若________，從這7個(gè)球中隨機(jī)抽取3個(gè)球，記取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值．
反思感悟　不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項(xiàng)分布，求均值可利用公式代入計(jì)算．
跟蹤訓(xùn)練3　某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為[490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40件產(chǎn)品中質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；
(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列和均值；
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列和均值．
1．知識(shí)清單：
(1)二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用．
(2)超幾何分布的綜合應(yīng)用．
(3)二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系．
2．方法歸納：類比．
3．常見誤區(qū)：超幾何分布與二項(xiàng)分布混淆，前者是不放回抽樣，后者是有放回抽樣．
1．同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，設(shè)2枚硬幣均正面向上的次數(shù)為X，則X的均值是(　　)
A. B.
C．1 D.
2．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(ξ≤1)等于(　　)
A. B.
C. D.
3．已知每門大炮擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)有10門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次．記恰好擊中目標(biāo)3次的概率為A；若擊中目標(biāo)記2分，記10門大炮總得分的均值為B，則A，B的值分別為(　　)
A.，5 B.，10
C.，5 D.，10
4．某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè)．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰好全為黑球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為____．若記取出的3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X，則D(X)＝________.
習(xí)題課　二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用
例1　解　(1)方法一　由ξ～B，得P(ξ＝k)＝C×k×5－k，
k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝C×0×5＝，
P(ξ＝1)＝C××4＝，
P(ξ＝2)＝C×2×3＝，
P(ξ＝3)＝C×3×2＝，
P(ξ＝4)＝C×4×＝，
P(ξ＝5)＝C×5＝.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4 5
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
方法二　∵ξ～B，
∴E(ξ)＝5×＝.
(2)P(η＝k)＝P(前k個(gè)是綠燈，第k＋1個(gè)是紅燈)＝k×，k＝0,1,2,3,4，η＝5時(shí)，5個(gè)均為綠燈．
即P(η＝0)＝0×＝，
P(η＝1)＝×＝，
P(η＝2)＝2×＝，
P(η＝3)＝3×＝，
P(η＝4)＝4×＝，
P(η＝5)＝5＝.
故η的分布列為
η 0 1 2 3 4 5
P
(3)所求概率為P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－＝.
跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)由題意知，
X～B，X可能的取值為0,1,2,3,4,5.
P(X＝0)＝5＝，
P(X＝1)＝C5＝，
P(X＝2)＝C5＝，
P(X＝3)＝C5＝，
P(X＝4)＝C5＝，
P(X＝5)＝5＝.所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5
P
E(X)＝5×＝.
(2)設(shè)“第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并勝出”為事件A，
由題意知，甲、乙兩隊(duì)比分為1∶4或2∶4，設(shè)“甲、乙兩隊(duì)比分為1∶4”為事件A1，“甲、乙兩隊(duì)比分為2∶4”為事件A2，
若甲、乙兩隊(duì)比分為1∶4，則乙射進(jìn)4次，甲前三次射進(jìn)一次，第4次未進(jìn)，P(A1)＝C×
3××4＝，
若甲、乙兩隊(duì)比分為2∶4，則乙射進(jìn)4次，甲前四次射進(jìn)兩次，P(A2)＝C×4×4＝，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
即在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并剛好勝出的概率為.
例2　解　(1)由題圖可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的共2天，
所以這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為.
(2)由題圖可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的只有1月3日和1月4日這2天，
所以X的可能取值為0,1,2，
則P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)X的可能取值為0,1,2，P(X＝k)＝，其中k＝0,1,2，故分布列為
X 0 1 2
P
均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(2)當(dāng)Y＝5時(shí)知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前兩次不能都取到黑球，
∴所求概率P＝×××＝.
例3　解　若選①，由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3，服從超幾何分布，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
若選②，由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3，且X～B，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為
5×0.05＋5×0.01＝0.3，
∴質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12.
(2)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12，則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28，X的可能取值為0,1,2，X服從超幾何分布．
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列為
X 0 1 2
P
∴X的均值為
方法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　E(X)＝＝.
(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為＝.
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗(yàn)，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C×k×2－k，k＝0,1,2，
∴P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝.
∴Y的分布列為
Y 0 1 2
P
∴Y的均值為
方法一　E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　E(Y)＝2×＝.
隨堂演練
1．B　[設(shè)拋擲2枚硬幣一次，2枚硬幣均正面向上為事件A，則P(A)＝，
易知X～B，
所以E(X)＝3×＝.]
2．D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.]
3．B　[設(shè)10門大炮擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，則根據(jù)題意可得X～B，
所以A＝P(X＝3)＝C×3×7＝，
10門大炮總得分的均值B＝10××2＝10.]
4．3　
解析　設(shè)袋中黑球有n個(gè)，則從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰好全為黑球的概率為P＝＝，可得n＝3，由題意知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，
取出的3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)X的可能取值為1,2,3，則P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故X的分布列為
X 1 2 3
P
則E(X)＝×1＋×2＋×3＝，D(X)＝×2＋×2＋×2＝.

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